3.4.2工程问题（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一次方程（组）中的工程问题，系统梳理核心公式、效率求法、等量关系及解题步骤，通过行程问题情境（如甲乙两车相遇、小楠小华骑行）搭建学习支架，帮助学生从熟悉的行程问题过渡到工程问题，构建知识脉络。 其亮点在于采用分层训练（基础填空到进阶应用），结合生活情境（刺绣、智能机器人清扫），培养学生数学眼光（发现数量关系）、数学思维（推理运算）和数学语言（方程模型）。如刺绣工程问题引导学生规范列方程，助力学生提升解决实际问题能力，教师可借助系统资源高效教学。

湘教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 3.4.2工程问题 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级上册3.4.2 工程问题 专项练习 一、核心知识点（必考应用题） 1. 工程问题三大核心公式 工程问题默认：把总工作量看作单位“1”。 ① 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 ② 工作效率 = $$\frac{\text{工作总量}}{\text{工作时间}}$$ ③ 工作时间 = $$\frac{\text{工作总量}}{\text{工作效率}}$$ 2. 基础效率求法（必背） 一项工作，甲单独做需要10天完成 → 甲的工作效率：$$\frac{1}{10}$$ 一项工作，乙单独做需要8天完成 → 乙的工作效率：$$\frac{1}{8}$$ 规律：单独几天做完，效率就是几分之一。 3. 两类核心等量关系 ① 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（1） ② 先后干活问题：先做的工作量 + 后做的工作量 = 1 4. 标准解题步骤 ① 设：设合作时间、或单独完成时间为$$x$$天； ② 写效率：写出每个人的工作效率； ③ 算工作量：效率 × 时间 = 工作量； ④ 列方程：各部分工作量相加 = 1； ⑤ 解方程、作答。 5. 高频易错点 ① 忘记把总工程看作单位1，乱用具体数字； ② 合作效率不是时间相加，是效率相加； ③ 部分工作量做完，剩余工作量不会计算； ④ 漏写解、设、答，格式扣分。 二、基础填空题（效率专项训练） 1. 一项工程甲单独做5天完成，甲的工作效率是________。 2. 一项工程乙单独做12天完成，乙的工作效率是________。 3. 甲效率$$\frac{1}{6}$$，工作2天，完成的工作量是________。 4. 甲乙合作，甲效率$$\frac{1}{4}$$，乙效率$$\frac{1}{8}$$，合作效率是________。 5. 总工程量看作________，各部分工作量之和等于________。 三、基础应用题（单人、合作基础题） 1. 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作需要多少天完成？ 2. 一项工程，甲单独做8天完成，甲工作3天，完成这项工程的几分之几？剩下的工程还有多少？ 3. 一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成，两人合作2天，一共完成总工程的几分之几？ 四、进阶应用题（考试必考题型） 1. 一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。甲先单独做2天，剩下的由甲乙合作完成，还需要多少天？ 2. 一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，两人合作几天后还剩$$\frac{1}{3}$$没有完成？ 3. 修路队修一条路，甲队单独修需10天，乙队单独修需15天，两队合作修一段时间后，甲队中途离开，乙队单独修3天完成剩余工程，两队合作了多少天？ 五、参考答案与详细解析 1. 填空题答案 1. $$\frac{1}{5}$$ 2. $$\frac{1}{12}$$ 3. $$\frac{1}{3}$$ 4. $$\frac{3}{8}$$ 5. 1，1 2. 基础应用题解答 1. 解： 设两人合作需要$$x$$天完成。 甲效率：$$\frac{1}{10}$$，乙效率：$$\frac{1}{15}$$ 列方程：$$\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right)x=1$$ 通分合并：$$\frac{3+2}{30}x=1，\frac{1}{6}x=1$$ 解得：$$x=6$$ 答：两人合作需要6天完成。 2. 解： 甲效率：$$\frac{1}{8}$$ 3天完成：$$\frac{1}{8} \times 3=\frac{3}{8}$$ 剩余：$$1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$$ 答：完成工程的$$\frac{3}{8}$$，剩余$$\frac{5}{8}$$。 3. 解： 甲效率$$\frac{1}{6}$$，乙效率$$\frac{1}{12}$$ 合作效率：$$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$$ 2天完成：$$\frac{1}{4} \times 2=\frac{1}{2}$$ 答：一共完成总工程的$$\frac{1}{2}$$。 3. 进阶应用题解答 1. 解： 设还需要$$x$$天完成。 甲效率$$\frac{1}{12}$$，乙效率$$\frac{1}{18}$$ 甲先做2天工作量：$$\frac{2}{12}$$ 合作工作量：$$\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\right)x$$ 方程：$$\frac{2}{12}+\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\right)x=1$$ 化简：$$\frac{1}{6}+\frac{5}{36}x=1$$，$$\frac{5}{36}x=\frac{5}{6}$$ 解得：$$x=6$$ 答：还需要6天完成。 2. 解： 设两人合作$$x$$天后剩$$\frac{1}{3}$$。 实际完成工作量：$$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ 甲效率$$\frac{1}{4}$$，乙效率$$\frac{1}{6}$$ 方程：$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=\frac{2}{3}$$ 化简：$$\frac{5}{12}x=\frac{2}{3}$$，解得$$x=\frac{8}{5}$$ 答：两人合作$$\frac{8}{5}$$天后还剩$$\frac{1}{3}$$未完成。 3. 解： 设两队合作了$$x$$天。 甲效率$$\frac{1}{10}$$，乙效率$$\frac{1}{15}$$ 合作工作量：$$\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right)x$$ 乙单独3天工作量：$$\frac{3}{15}$$ 方程：$$\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right)x+\frac{3}{15}=1$$ 化简：$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{5}=1$$，$$\frac{1}{6}x=\frac{4}{5}$$ 解得：$$x=\frac{24}{5}$$ 答：两队合作了$$\frac{24}{5}$$天。 六、本节满分口诀 工程总量就是1，几天做完效率几分之一； 合作效率相加算，分段干活累加完； 总量为1列方程，步骤规范得满分。 经历建立一元一次方程模型解决实际问题的过程，培养学生解决实际问题的基本技能. 能通过工作量、工作效率、工作时间的关系列方程解决实际问题. 读懂题意，分析数量关系. 情境导入 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20 km/h，乙速度为30 km/h，出发 x小时后，两人相遇. 那么甲车行了______km，乙车行了______km A、B两地相距_________km.若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____. 20x 30x 20x+30x 20x+30x=500 10 为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆． 探索新知 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达. 他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？ 思 考 小楠家 小华家 雷锋纪念馆 同时出发，距离相等 10 km/h 上午10时到 15 km/h 上午9时30分到 本问题中有什么等量关系？ 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h 若设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为 x km， 则根据等量关系，得 解得 x=15 . 因此，他俩的家到雷锋纪念馆的路程为15 km. 时间=路程÷速度 路程=时间×速度 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h 某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10 km，可早到6 min ；若每小时骑 8 km，就迟到6 min，则他家到工厂的路程是_______. 练一练 8 km 例2 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成. 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品? 工作时间 工作效率 工作总量 甲 乙 设再合绣 x 天 x + 1 x + 4 本题中等量关系为： 甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝总工作量. 解得 x＝4. 解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，则根据题意，得 答：甲、乙两人再合绣 4 天就可以完成这件作品. 例3 一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？ 解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙 合作 3 天的工作量 + 乙、丙合作的工作量 = 1，得 解得 x = 3. 答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作. 做一做 6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ， 第二天耕了剩余部分的 ，还剩下 42 公顷，则 这片地共有 公顷. 解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得 解得 x = 189. 189 课堂练习 1.一队学生步行去参加社会公益活动，每小时走4km，学生甲因故推迟30 min 出发，为赶上队伍，甲以6 km/h的速度追赶，试问：甲用多长时间就可追上队伍? 解：设甲用t h就可追上队伍，根据等量关系，得 4(0.5+t)=6t 解得 t=1 答：甲用1 h就可追上队伍. 【课本P115 练习 第1题】 随堂练习 2. 某村一条道路一侧装有路灯56盏（两端都有），且相邻两盏灯的距离为30m. 为进一步建设美丽乡村，该村计划将该道路的路灯全部更换为亮度更强的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为25m，则需要安装节能灯多少盏？ 路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1) 本问题中有什么等量关系？ 【课本P115 练习 第2题】 随堂练习 解：设需要安装节能灯x盏，根据等量关系，得 25×(x-1)=30×(56-1) 解得 x=67 答：需要安装节能灯67盏. 路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1) 随堂练习 3.甲、乙两列火车从相距480 km的A，B两地同时出发，相向而行，甲火车每小时行驶120 km，乙火车每小时行驶100 km，经过多长时间两列火车相距40 km？ 随堂练习 随堂练习 应用1 行程问题 1. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样 一个问题：今有凫起南海，七日至北海.雁起北海，九日至南 海.今凫雁俱起.问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到 北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天.它们从两地同时起飞， 几天后相遇？设 天后相遇，根据题意可列方程为_________ ____. 返回 中考考法 18 2. 如图，已知正方形 的边长为4，甲、 乙两动点分别从正方形的顶点， 同时出发，沿正方形的边开始移动，甲以 顺时针方向环行移动，乙以逆时针方向环 行移动，若乙的速度是甲的速度的3倍， 则它们第2 028次相遇时所在的边是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 19 3.一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要 的时 间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的 时间是.设火车长 ，解答下列问题. （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是___ ，这段时间内火车的速度是___.（用含 的代数式表示） （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 __________，这段时间内火车的速度是______ . （用含 的代数式表示） 中考考法 20 （3）求这列火车的长度. 【解】根据题意，得 ， 解得 . 答：这列火车的长度是 . 返回 中考考法 21 4. 随着人们生活水平的提高，人工智能扫 地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电.为了测试两款扫 地机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人 从， 两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫 （路途中没有障碍物阻挡），已知出发后经3分钟两个扫地 机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达地，， 两地相距 45米. 中考考法 22 （1）甲、乙两个扫地机器人的速度分别是多少？ 【解】根据题意，得乙扫地机器人的速度为 （米/分）. 设甲扫地机器人的速度为米/分，则 ，解得 . 答：甲扫地机器人的速度为6米/分，乙扫地机器人的速度为9 米/分. 中考考法 23 （2）从， 两地同时出发后，经过多长时间后两个扫地机 器人相距6米？ 【解】设经过 分钟后两个扫地机器人相距6米. 当两个扫地机器人相遇前相距6米时，则 ， 解得 ； 当两个扫地机器人相遇后相距6米时，则 ， 解得 . 综上，经过或 分钟后两个扫地机器人相距6米. 返回 中考考法 24 应用一元一次方程解决问题的步骤： 1. 审：审题，分析题目中的数量关系； 2. 设：设适当的未知数，并表示未知量； 3. 列：根据题目中的数量关系列方程； 4. 解：解这个方程； 5. 答：检验并作答. 课堂小结 $