专题11 一元一次方程应用的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（北师大版2024）

专题11 一元一次方程应用的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 2 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 4 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 7 类型四、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 9 压轴能力测评（14题） 16 解题知识必备 1. 列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2. 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 压轴题型讲练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 例题：（23-24七年级上·广东佛山·期末）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元． (1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？ (2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？ 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的、两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表： 款器材 款器材 进货价/（元/个） 销售价/（元/个） (1)该专卖店用元购进了，两款器材共个，求两款器材分别购进多少个？ (2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润元．求两款器材分别购进多少个？ 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）友谊商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证，不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的八折购物． (1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？讨论在什么情况下购物合算？ (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，应如何购买合算？小张能节省多少元钱？ (3)在（2）的条件下，小张按合算的方案把这台冰箱买下，如果友谊商场还能盈利，则这台冰箱的进价是多少元？ 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）临近2024元旦节，民生超市准备“元旦”大酬宾，对顾客实行优惠购物，规定如下：若顾客一次性购物不超过100元，则不予优惠；若顾客一次性购物超过100元，但不超过300元，则按标价给予九折优惠；若顾客一次性购物超过300元，其中300元按上述给予九折优惠，超过300元的部分给予八折优惠． (1)小强在该超市购买了一台标价为450元的学习机，他应付多少元？ (2)小强的妈妈先后两次去该超市购物，分别付款99和354元，如果小强的妈妈一次性购买，只需要付款多少元？ 【变式训练2】（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）印江县为了响应国家乡村振兴战略，大力扶持各乡镇茶叶产业，茶叶产业成为了印江县财政的重要收入来源．今年国庆期间某茶叶公司为了宣传本公司的产品，准备印制一批宣传材料．甲广告公司收费方式：每份材料收元印制费，另收元设计费；乙广告公司收费方式：每份材料收元印制费，不收设计费．该茶叶公司准备印制份宣传材料． (1)若选择甲广告公司，则需付款______元；（用含的代数式表示） 若选择乙广告公司，则需付款______元．（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两广告公司收费一样？ (3)当时，通过计算说明此时选哪家广告公司收费更少？ 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 例题：（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【变式训练1】（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【变式训练2】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 类型四、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期中）已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点，的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点，出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度，若点先出发秒后点出发，当、两点相距个单位长度时，求此时点、分别对应的数； (4)若点、分别同时从点，出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，并且当点或点其中一个点回到起点时停止运动，直接写出、距离为时的值． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24九年级下·四川南充·自主招生）某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利（相对于进货价），则该商品的进货价是（　　） A．9504元 B．9600元 C．9900元 D．10000元 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 二、填空题 4．（23-24六年级上·山东淄博·期末）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为 元． 5．（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 三、解答题 7．（17-18七年级下·湖北荆州·阶段练习）某商场计划拨款9万元购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不同的进货方案？并写出这些方案； (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利润最多，你选择哪种方案？并说明理由． 8．（23-24七年级上·广东广州·期中）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)甲种商品每件进价为 元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件， 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予折优惠 若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 9．（24-25七年级上·广东惠州·期中）已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 10．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）某超市销售美味食用油，每桶20L，定价为100元，节日期间进行促销活动，为满足大众采购需求，在购买不少于10桶时，该超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费． (1)假设某饭店需要购买10桶美味食用油，且需送货上门． 若采用方案一购买，需要______元；若采用方案二购买，该饭店只需要购买______桶美味食用油即可． (2)假设某饭店需要购买x桶美味食用油（，x是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买x桶美味食用油需要______元；采用方案二购买x桶美味食用油需要______元． ②某次进货时，饭店的采购员发现两种采购方案相差100元，请你算一算饭店这次采购多少桶美味食用油？ 11．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，其中，． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为______． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 12．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 14．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸福点”；若点到点、的距离之和为6，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______： （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁从点出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过秒电子蚂蚁是点、的“幸福中心”，求出的值． 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上存在点（点与点不重合），使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”，请直接写出点表示的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一元一次方程应用的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 2 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 4 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 7 类型四、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 9 压轴能力测评（14题） 16 解题知识必备 1. 列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2. 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 压轴题型讲练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 例题：（23-24七年级上·广东佛山·期末）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元． (1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？ (2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？ 【答案】(1)甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元 (2)乙种商品每件的进价是800元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题是关键是： （1）设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是元．再根据等量关系“参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元，”建立方程，即可解题； （2）设乙种商品每件的进价是m元，根据“这次促销活动中乙种商品仍可获利” 建立方程，即可解题． 【详解】（1）解：设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元； （2）解：设乙种商品每件的进价是m元， 根据题意，得， 解得， 答：乙种商品每件的进价是800元． 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的、两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表： 款器材 款器材 进货价/（元/个） 销售价/（元/个） (1)该专卖店用元购进了，两款器材共个，求两款器材分别购进多少个？ (2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润元．求两款器材分别购进多少个？ 【答案】(1)购进款玩具个，款玩具个 (2)购进款玩具个，则购进款玩具个 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设购进款玩具个，根据购进，两款玩具费用和列方程求解即可； （2）设购进款玩具个，根据单件利润=售价－进价和，两款玩具的利润和列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进款玩具个，则购进款玩具个 由题意得： 解得：， 答：购进款玩具个，款玩具个． （2）解：设购进款玩具个，则购进款玩具个 由题意得： 解得： 答：购进款玩具个，则购进款玩具个． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【答案】(1)批发甲商品40千克，乙商品60千克 (2)打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设批发甲商品x千克，则批发乙商品千克， 根据总进货价为520元列出方程，解之即可； （2）设打折前售出相同的重量为千克，根据打折前和打折后的利润之和为464元列出方程，解之可得结果． 【详解】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克， 依题意，得， 解得， ∴（千克）， ∴批发甲商品40千克，乙商品60千克； （2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得： ， 解得， ∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）； ∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克． 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）友谊商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证，不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的八折购物． (1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？讨论在什么情况下购物合算？ (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，应如何购买合算？小张能节省多少元钱？ (3)在（2）的条件下，小张按合算的方案把这台冰箱买下，如果友谊商场还能盈利，则这台冰箱的进价是多少元？ 【答案】(1)当顾客消费少于1500元时，不买卡合算；当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费多于1500元时，买卡合算 (2)小张可以节省400元 (3)这台冰箱的进价是2480元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设顾客购买元的商品，根据“买卡与不买卡花钱相等”列出等式，即可求解， （2）根据“”判断，即可求解， （3）设这台冰箱的进价是y元，根据“还能盈利”列式，即可求解， 本题考查了，一元一次方程的应用，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式． 【详解】（1）解：设顾客购买元的商品，买卡与不买卡花钱相等， 根据题意得：，解得：． ∴当顾客消费少于1500元时，不买卡合算； 当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等； 当顾客消费多于1500元时，买卡合算． （2）解：， ∴买卡合算， 则（元）， 答：小张买卡合算，可以节省400元． （3）解：设这台冰箱的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：这台冰箱的进价是2480元． 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）临近2024元旦节，民生超市准备“元旦”大酬宾，对顾客实行优惠购物，规定如下：若顾客一次性购物不超过100元，则不予优惠；若顾客一次性购物超过100元，但不超过300元，则按标价给予九折优惠；若顾客一次性购物超过300元，其中300元按上述给予九折优惠，超过300元的部分给予八折优惠． (1)小强在该超市购买了一台标价为450元的学习机，他应付多少元？ (2)小强的妈妈先后两次去该超市购物，分别付款99和354元，如果小强的妈妈一次性购买，只需要付款多少元？ 【答案】(1)元 (2)元或元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题以及有理数的混合运算： （1）根据题意列出算式计算即可； （2）分两种情况，一种是不享受优惠，一种是享受优惠，分别计算两种情况下的费用之和即可； 设未知数列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：（元）， ∴他应付元； （2）解：∵小强的妈妈先后两次去该超市购物，分别付款99和354元， ∴有两种情况： 第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠， ∴设第二次实际购物的钱数为x元， 则， 解得：， ∴小强的妈妈先后两次去该超市购物的钱数为元， ∴一次性购买后需付款元； 第一次付款99元有享受优惠，即打九折， 那么第一次世纪购物的钱数为元， 由①可知第二次也享受优惠，实际付款数为元， ∴小强的妈妈先后两次去该超市购物的钱数为元， ∴一次性购买后需付款元 答：如果小强的妈妈一次性购买，只需要付款元或元． 【变式训练2】（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）印江县为了响应国家乡村振兴战略，大力扶持各乡镇茶叶产业，茶叶产业成为了印江县财政的重要收入来源．今年国庆期间某茶叶公司为了宣传本公司的产品，准备印制一批宣传材料．甲广告公司收费方式：每份材料收元印制费，另收元设计费；乙广告公司收费方式：每份材料收元印制费，不收设计费．该茶叶公司准备印制份宣传材料． (1)若选择甲广告公司，则需付款______元；（用含的代数式表示） 若选择乙广告公司，则需付款______元．（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两广告公司收费一样？ (3)当时，通过计算说明此时选哪家广告公司收费更少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)选甲广告公司收费更少． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据题意，列出代数式即可； （）解方程即可求解； （）把代入计算即可判断求解； 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，选择甲广告公司需付款元， 选择乙广告公司需付款元， 故答案为：，； （2）解：当两广告公司收费一样时， 则， 解得， ∴当时，两广告公司收费一样； （3）解：当时， 需向甲广告公司支付元， 需向乙广告公司支付元， ∵， ∴选甲广告公司收费更少． 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 例题：（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 【变式训练1】（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 【变式训练2】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 【答案】(1)制作了1200盒月饼． (2)当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元． 【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键． （1）设制作了盒月饼，根据“制作若干盒月饼共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式即可． 【详解】（1）解：设制作了盒月饼． 根据题意得， 解得． 答：制作了1200盒月饼． （2）解：当时，则购买月饼的费用为元： 当时，则购买月饼的费用为元． 类型四、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)当或时，，两点的距离为 (3)在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴与动点的关系，两点之间距离的计算，一元一次方程的综合， （1）根据绝对值、偶次幂的非负性即可求解； （2）根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出点P，Q表示的数，根据点，两点的距离为列方程求解即可； （3）分类讨论：点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上，由此列式求解；点到达后返回时与点相遇；点都在返回的过程中相遇；根据行程问题中的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点表示的有理数是，点表示的有理数的是，点 从向右运动的速度为个单位每秒，点从向右的运动速度为个单位每秒，设运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当点在点的左边时，， 解得，； 当点在点的右边时，， 解得，； 综上所述，当或时，，两点的距离为； （3）解：点表示的有理数是， ∴，， ∴点从的时间为，从的时间也是，点从的时间为，从的时间为，且， ①点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上， ∴， 解得，， 此时表示的数为：； ②点到达后返回时与点相遇， ∴， 解得，， ∵，符合题意， ∴此时表示的数为； ③点都在返回的过程中相遇， 当到的时间为，此时点从表示的数为， ∴当时，假设点相遇， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期中）已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 【答案】(1)； (2)或 (3)秒或秒或秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）根据“路程速度时间”可得，若点从到运动，则点表示的数为；若点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①当时，分点在点的左边和点在点的右边；②当t时，分点在点的左边和点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：；； （2）解：设数轴上点表示的数为， ∵， ∴，即， 若点在点的左边，则，不符合题意， ∴点在线段上和线段的延长线上， 当点在线段上时， 得：， 解得：； 当点在线段的延长线上时， 得：， 解得：； 综上所述，点对应的数为或； （3）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止， ∴点从点到点的运动时间为秒、从点到点的运动时间为秒，点从点到点的运动时间为秒， ∴点从到运动，则点表示的数为；点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为， ①当时，即点从到运动， 若点在点左侧，则， 解得：； 若点在点右侧，则， 解得：； ②当t时，即点从到运动， 若点在点右侧，则， 解得：； 若点在点左侧，则， 解得：； 综上所述，当为秒或秒或秒或秒时，点与点之间的距离为个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点，的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点，出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度，若点先出发秒后点出发，当、两点相距个单位长度时，求此时点、分别对应的数； (4)若点、分别同时从点，出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，并且当点或点其中一个点回到起点时停止运动，直接写出、距离为时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)点，对应的数分别为，或， (4)秒或秒或秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查一元一次方程的应用，两点间的距离和数轴， （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）因为，因此点不可能在点、之间，所以分两种情况进行解答，即点在点的左侧，在点的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设移动的时间为，用含有的代数式表示移动后点、所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数； （4）分，，，，五种情况进行讨论求解即可； 解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1）解：∵点所对应的数是，点在点的右边， ∴， ∴点所对应的数是； （2）∵， ∴点不可能在点、之间， 当点在点的左侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：； 当点在点的右侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：， ∴当点到点，的距离之和是个单位时，点所对应的数是或； （3）点从点向左移动后所对应的数为：， 设点移动的时间为，则点所对应的数为，点所对应的数为， ①当点在点的右侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； ②当点在点的左侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； 答：当，两点相距个单位长度时，点，对应的数分别为，或，； （4）∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为； ∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为， 又∵，两点第一次相遇所需时间为：， 当点到达点时，点表示的数为：，点P和点Q第二次相遇所需时间为：， ①，两点第一次相遇前，相距个单位长度，即当时： 得：， 解得：； ②，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ③点从点返回，点未到点时，即， ，不符合题意； ④点从点返回，点从点返回，第二次相遇前，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ⑤，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； 综上所述，点、距离为时的值为秒或秒或秒或秒． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24九年级下·四川南充·自主招生）某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利（相对于进货价），则该商品的进货价是（　　） A．9504元 B．9600元 C．9900元 D．10000元 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设该商品的进货价为元，商品标价13200元商品的进价获利，据此列出方程组求解． 【详解】解：设进货价为， 由题意得：， 解得，， ∴进价为元 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据两种分法书的本数不变可列方程为：，进而可得答案． 【详解】解：设这个班有x名学生，根据题意得： ； 故选B． 3．（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运用时间，设运用时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 二、填空题 4．（23-24六年级上·山东淄博·期末）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为 元． 【答案】100 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的基础应用，掌握销售问题的名词，准确列出方程是解题的关键． 设商品每件进价为元，由题意售价为：元，列方程为：，解方程即可． 【详解】解：设商品每件进价为元， 由题意，售价为：元， ， 解得：． 故答案为：100． 5．（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 【答案】8 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面，根据每小时加工桌腿的总数量等于加工桌面总数量的4倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面， 根据题意得：， 解得：， 该车间应安排8名工人加工桌腿． 故答案为：8． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 【答案】0或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当在的右侧及当在的左侧，利用及，列出方程解答即可． 【详解】解：设对折后，使点落在处， 当在的右侧且距离是2时， 点表示的数为5， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是0． ②当在的左侧且距离是2时， 点表示的数为1， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：0或． 三、解答题 7．（17-18七年级下·湖北荆州·阶段练习）某商场计划拨款9万元购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不同的进货方案？并写出这些方案； (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利润最多，你选择哪种方案？并说明理由． 【答案】(1)共有两种方案：方案一：购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台；方案二：购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台 (2)应选择方案二，理由见解析 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程与算式是解此题的关键． （1）分情况讨论，根据“商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）分别求出两种方案所获利润，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台； 设购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台； 设购进乙种电视机台，则购进丙种电视机台， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，共有两种方案：方案一：购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台；方案二：购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台； （2）解：方案一：（元）， 方案二：， ∵， ∴方案二获利更多， ∴应选择方案二． 8．（23-24七年级上·广东广州·期中）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)甲种商品每件进价为 元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件， 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予折优惠 若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)70 (2)30件 (3)5或6件 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可； （2）设该商场购进乙种商品件，根据总进价为3800元，再建立方程求解即可； （3）设小华在该商场购买乙种商品件，再分两种情况讨论：①当过480元，但不超过680元时， ②当超过680元时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品的进价为元，则 ． 解得．即甲种商品每件进价为 70元， 故答案是：70； （2）设该商场购进乙种商品件，根据题意可得： ， 解得：； 答：该商场购进乙种商品30件． （3）设小华在该商场购买乙种商品件，根据题意，得： ①当超过480元，但不超过680元时，， 解得． ②当超过680元时，， 解得．   答：小华在该商场购买乙种商品5或6件． 9．（24-25七年级上·广东惠州·期中）已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)，1 (2)①秒；②秒或秒 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14． ∴点B表示的数为， 当点P运动到的中点时，它所表示的数是， 故答案为∶，1； （2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇， 则， 解得， 即点P和点Q运动秒时，点P和点Q第一次相遇； ②设点P运动t秒 根据题意得： 当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得； 当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 10．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）某超市销售美味食用油，每桶20L，定价为100元，节日期间进行促销活动，为满足大众采购需求，在购买不少于10桶时，该超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费． (1)假设某饭店需要购买10桶美味食用油，且需送货上门． 若采用方案一购买，需要______元；若采用方案二购买，该饭店只需要购买______桶美味食用油即可． (2)假设某饭店需要购买x桶美味食用油（，x是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买x桶美味食用油需要______元；采用方案二购买x桶美味食用油需要______元． ②某次进货时，饭店的采购员发现两种采购方案相差100元，请你算一算饭店这次采购多少桶美味食用油？ 【答案】(1)600；5 (2)①；；②饭店这次采购10或30桶美味食用油 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可． （2）①利用总价=单价×数量，结合两种销售方案的优惠方法，即可用含x的代数式表示出采用两种方案所需费用；②由①的结论，结合两种采购方案相差100元，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】（1）方案一购买，需要（元）． 方案二，需要购买5桶美味食用油即可． （2）根据题意得：采用方案一购买x桶美味食用油需要（元）． 采用方案二购买x桶美味食用油需要（元）． ②根据题意得：或， 解得或． 答：饭店这次采购10或30桶美味食用油． 11．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，其中，． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为______． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 【答案】(1)1 (2)存在，x的值为或4，理由见详解 (3)秒或4秒后点P到点A，点B的距离相等 【知识点】数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据中点公式即可求解； （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点到点，点的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可． 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，其中，． ∴点，表示的数分别为：、3， ∵点到点，点的距离相等， ∴， 点对应的数是1， 故答案为：1； （2）解：存在，理由如下： 当在之间，（不可能有）， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， x的值为或4； （3）解：设经过秒后点到点，点的距离相等，此时点，，表示的数分别为：，，， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则： ， 解得：，当点在右侧时，此时、重合，则： ， 解得：， 答：它们同时出发，秒或4秒后点到点，点的距离相等． 12．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式加减的应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 【答案】(1)应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘 (2) 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘，根据每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍列出方程求解即可； （2）先分别求出窗户的总面积和遮光帘的面积，再分别用含a的式子表示出甲、乙两个厂家所给方案的费用，再根据选择甲、乙两个厂家所需费用相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘； （2）解：由题知，窗户的总面积为平方米，遮光帘的面积为（平方米）， ∴该窗户的透光面积共平方米． ∵． ∴， ∴窗户玻璃的面积超过平方米． 甲商家所需的费用为：， ∵，， ∴赠送的遮光帘面积小于实际需要的遮光帘面积． 乙商家所需的费用为：， ∵李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同， ∴， 解得：． 故的值为． 14．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸福点”；若点到点、的距离之和为6，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______： （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁从点出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过秒电子蚂蚁是点、的“幸福中心”，求出的值． 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上存在点（点与点不重合），使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”，请直接写出点表示的数． 【答案】（1） 或  （2）(答案不唯一)  （3）或   （4）或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴和两点间的距离，注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值. （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）先求得I 再根据“幸福中心”的定义可直接进行求解； （3）由题意可分两种情况列式：①点Q在点B和点P之间，②点Q在点A的左侧讨论； 进而分类求解即可； （4）根据题意，结合数轴，在（3）的条件下，根据新定义得分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意得：点的“幸福点”表示的数为或 ， 故答案为： 或； （2）∵点表示的数是，点表示的数是，且 ， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴点、的距离为， ∵点为点, 的“幸福中心”， ∴点在点、之间, 即点表示的数可以是与3之间的数， ∴点表示的数可以是， 故答案为：(答案不唯一)； （3）由题意可得、之间的距离为，故有两种可能： 设经过秒点是、的“幸福中心”，则点表示的数为， ①点在点和点之间，则有： 解得： ， ②点在点的左侧，则有 解得：， 综上所述：当经过或 秒时, 点是、的“幸福中心”； （4）由（3）可得, 当时，点表示的数为 ， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∵点与点不重合， ∴点在点的右侧， ∴点表示的数是； 当，点表示的数为， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”, ， ∵点与点不重合，则点在点的左侧， ∴点表示的数是 综上所述，点表示的数为或 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$