专题08 线段和角的动态问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（北师大版2024）

专题08 线段和角的动态问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、线段上动点求线段长问题 2 类型二、线段上动点求定值问题 6 类型三、线段上动点求时间问题 10 类型四、线段上动点的新定义型问题 13 类型五、几何图形中动角求定值问题 18 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 22 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 25 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 30 压轴能力测评（6题） 35 解题知识必备 1. 线段的中点模型 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 压轴题型讲练 类型一、线段上动点求线段长问题 例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 类型二、线段上动点求定值问题 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，的长为定值 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案； （2）分及两种情况分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0， 根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 若点P表示的有理数是6， ， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 【变式训练1】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①2，②； (2)当时，，当时，； (3)的长度不变，为 【知识点】用代数式表示式、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式： （1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案； （2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得． 【详解】（1）解；①由题意得，； ②∵，， ∴， ∵N是线段的中点， ∴； （2）解：当时，， 当时，； （3）解：∵点C和点N分别是的中点， ∴， ∴， ∴的长度不变，为． 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3 (2)或 (3)，定值为5 【知识点】整式加减中的无关型问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，， ∵是线段的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当点从时， 当点从时， ∵点沿的路线需要 故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图， 由题意得：点的速度是，点速度为 ∵， ∴点在点右侧， 由题意可知 ∴ ∵是线段的中点 ∴ 即 ∵线段的长度始终是一个定值 ∴ 故解得，定值为5 类型三、线段上动点求时间问题 例题：（23-24七年级·四川达州·阶段练习）如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、两点间的距离、与线段有关的动点问题 【分析】（1）由题意列出方程并求解即可； （2）分两种情况：①    当点M未追上点N时；②    当点M追上点N后，分别列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：， ∴当点追上点时， 的值为； （2）当点未追上点时，，得； 当点追上点后，，得； 综上，当或时，点M与N相距． 【点睛】本题考查线段上动点问题，一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型． 【变式训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 类型四、线段上动点的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)或3或9 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、与线段有关的动点问题 【分析】（1）根据美好点的定义即可求解； （2）根据美好点的定义，分三种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据题意得∶， 此时，故点E不是美好点； ， 此时，故点F不是美好点； ， 此时，故点G是美好点； 故答案是：G． 设点H所表示的数是x，则， ∵点H为美好点， ∴， ∴， 解得：或； 故答案是：或． （2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1， ∵，， ∴， ∴秒； 第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2， ∵，， ∴， ∴秒； 第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3， ∵，， ∴， ∴秒； 综上所述，t的值为：或3或9． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 【变式训练1】（22-23七年级上·山东青岛·期末）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2)或或 (3)或或，理由见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可； （2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”； 故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴， 或， 或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点， ∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 类型五、几何图形中动角求定值问题 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义． （1）根据即可求解； （2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解； （3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， 平分，平分， ， ， ； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解； （2）根据角平分线的定义得出：， ，然后代入求值即可； （3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）的值是定值；理由如下： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． ∴的值是定值，定值为； （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（23-24七年级上·吉林·期末）已知，平分． (1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先根据角之间的关系得到，再由角平分线的定义得到，则； （2）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【知识点】角的比较、角的分类、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 【变式训练2】（2024七年级上·河北·专题练习）已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 【变式训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：；； ②猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴ ； ②如图所示，当点G在上方时， ∵， ∴， ∴由（3）①的结论可知，， ∴， ∴；    如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴； 综上所述，t的值为3或21．    类型八、几何图形中动角之新定义型问题 例题：（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【知识点】用代数式表示式、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 压轴能力测评（6题） 1．（23-24七年级上·河北承德·期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． （1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ()； （2）为的中点， ， 点是的中点， ； （3）点是的中点， ， 点是的中点， ， ()， 的长不变． 2．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)观察分析∶若则 ，若则 ； (2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系． 【答案】(1) ； ； (2)，理由见解析． (3)，理由见解析． 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （2）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （3）根据角度和差求解即可； 本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴ 故答案为：，； （2），理由： 由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 4．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． （1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t； （2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案； ②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 6．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或， 解得：或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 线段和角的动态问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、线段上动点求线段长问题 2 类型二、线段上动点求定值问题 6 类型三、线段上动点求时间问题 10 类型四、线段上动点的新定义型问题 13 类型五、几何图形中动角求定值问题 18 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 22 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 25 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 30 压轴能力测评（6题） 35 解题知识必备 1. 线段的中点模型 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 压轴题型讲练 类型一、线段上动点求线段长问题 例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【变式训练1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【变式训练2】（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 类型二、线段上动点求定值问题 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【变式训练1】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 类型三、线段上动点求时间问题 例题：（23-24七年级·四川达州·阶段练习）如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 【变式训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 类型四、线段上动点的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【变式训练1】（22-23七年级上·山东青岛·期末）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 类型五、几何图形中动角求定值问题 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（23-24七年级上·吉林·期末）已知，平分． (1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由． 【变式训练1】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【变式训练2】（2024七年级上·河北·专题练习）已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【变式训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【变式训练2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 例题：（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 压轴能力测评（6题） 1．（23-24七年级上·河北承德·期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 2．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)观察分析∶若则 ，若则 ； (2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 4．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 6．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$