精品解析：黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

哈十七中学2024-2025学年度九年级上期中检测 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（ ）． A. 5元 B. 元 C. 元 D. 7元 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据正负数的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意得：支出5元记作元 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正负数的性质，从而完成求解． 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示可得出答案． 【详解】根据科学记数法的知识可得:1700000=． 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示，主要是要对小数点的位置要清楚． 4. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上边看第一行是两个小正方形，第二行是一个小正方形并且在第二列， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形． 5. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用加减消元法解出的值即可． 【详解】解： ①+②得：，解得：， 把代入②中得：，解得：， ∴方程组的解为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键． 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移2个单位长度，得到， 整理得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键． 7. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的4倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， ……， 以此类推，可知第5个图形需要枚棋子， 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵DE//AB， ∴ ∴的值为． 故答案为A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 9. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 10. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可． 【详解】设每分钟的进水量为，出水量为 由第一段函数图象可知， 由第二段函数图象可知， 即 解得 则当时， 因此， 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式． 13. 如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__． 【答案】3 【解析】 【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长． 【详解】连接OC， Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4； 由勾股定理，得：OH=； 即线段OH的长为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 14. 若在反比例函数的图象，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将代入中求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象的点的坐标满足其解析式是解答的关键． 15. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集是 故答案为：． 16. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 18. 在中，，点、、分别是边、、的中点，若，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，再根据，进而求得，再由勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， 故答案为：2． 19. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 20. 如图，的面积为3，为中线，，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用中线倍长模型，延长到H，使，连接，证明得到，，过A作于E，过C作于F，证明得到，进而得到，设,，证明是等腰直角三角形，得到，延长到T，使，证明，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得，再利用中线性质得到，进而求得，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：延长到H，使，连接， ∵为中线， ∴，又， ∴， ∴，， 过A作于E，过C作于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设,， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 延长到T，使， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵在中，， ∴， 解得，（负值已舍去）， ∴，， ∵的面积为3，为中线， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形求解是解答的关键． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25题、26题、27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，三角函数的计算，熟练掌握分式混合运算的法则和特殊角三角函数值是解题的关键． 先根据分式混合运算法则与顺序化简，再把特殊角三角函数值代入求得，然后代入化简式，计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 22. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2，1)，B(﹣4，5)，C(﹣5，2)． （1）画出△ABC关于y轴对称的； （2）画出△ABC关于原点O成中心对称的． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示. AI 【解析】 【详解】 略 23. 某校开展了丰富多彩的选课活动，综合实践类共开设了“礼行”、“礼知”、“礼思”、“礼艺”、“礼源”五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程．为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图； （1）被随机抽取的学生共有多少名? （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有学生人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人? 【答案】（1）人 （2） 补全条形统计图如下： （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图的信息关联，补全条形统计图，样本所占百分比估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由礼思人数为人，占被随机抽取的学生人数的，可得被随机抽取的学生共有人． （2）由被随机抽取的学生共有人，可得礼艺人数为（人），补全条形统计图即可． （3）先算礼源课程的学生人数为占被随机抽取的学生的百分比，再乘以该校学生人即可． 【小问1详解】 解：∵礼思人数为，占被随机抽取的学生人数的， ∴（人）， 答：被随机抽取的学生共有人． 【小问2详解】 解：∵被随机抽取的学生共有人， ∴礼艺人数为（人）； 【小问3详解】 解：∵礼源课程的学生人数为，被随机抽取的学生共有人， ∴当该校共有学生人时，估计参与“礼源”课程的学生共有（人）， 答：估计其中参与“礼源”课程的学生有人． 24. 已知：，于，于，、交于点； （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，请直接写出图中的四对全等三角形． 【答案】（1） 解：连接 ， ， ，， ， （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据得到，证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在和中， ， ； ， ， ， 在和中， ， ； ， ， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 故图中的四对全等三角形为，，，． 25. 某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成本多元，且投入元生产甲种零部件的件数和投入元生产乙种零部件的件数相同； （1）求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元? （2）如果两种零部件共生产件，该厂家至少要投入元，那么，甲种零部件至少生产多少件? 【答案】（1）甲每件成是元，乙每件成本是元 （2）甲种零部件至少生产件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等关系． （1）设乙种零部件每件成本是元，则甲种零部件每件成本是元，根据题意列出方程，即可求解； （2）设甲种零部件生产了件，根据题意列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设乙种零部件每件成本是元，则甲种零部件每件成本是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程得解， ， 答：甲种零部件每件成是元，乙种零部件每件成本是元； 【小问2详解】 解：设甲种零部件生产了件， ， 解得，， 答：甲种零部件至少生产件． 26. 已知：四边形内接于，分别连接、，且； （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在上取点，使，在上取点，使，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，在上取点，连接，使，若，的面积为，，求半径． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， 同理：是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出结论； （2）连接，，证明是等边三角形，是等边三角形，从而证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （3）延长到，使，连接，，先证明是等边三角形，又根据是等边三角形，从而证明是等边三角形，继而可证明，得到，从而可证得，，三点共线，过作于，于，则四边形是矩形，得到，设，则，根据，解之求得，（舍），从而求得，，，则 ，作直径，连，则，，即，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长到，使，连接， ∵， ∴ ∴是等边三角形， 又∵是等边三角形 ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴ 又∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴，，三点共线， ∴ 过作延长线于，于，则四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴，（舍）， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 作直径，连， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题属圆的综合题目，主要考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 已知，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接； （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，过点作于，延长交直线于点，设点横坐标为，的长度为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，连接，取上一点，连接，当，时，求的值． 【答案】（1）17 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，再根据B、C的坐标，利用勾股定理求解即可； （2）先用待定系数法求出直线解析式为，然后设 ， ，由根据求解即可； （3）连接，先证明，得到，即，再证明，得到，求出直线解析式为，设 ，则，，得到，得到，从而证得，解得，求出，，代入即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∵点P在抛物线上，， ∴设 ， ， ∴ ， ∴． 【小问3详解】 解：连接，如图3， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∵点N在直线：上， ∴设 ，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，抛物线上点的坐标特征，勾股定理，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈十七中学2024-2025学年度九年级上期中检测 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（ ）． A. 5元 B. 元 C. 元 D. 7元 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 8. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 10. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 12. 分解因式：_________． 13. 如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__． 14. 若在反比例函数的图象，则___________． 15. 不等式组的解集是________． 16. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 18. 在中，，点、、分别是边、、的中点，若，，则的值为________． 19. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 20. 如图，的面积为3，为中线，，，则的长度为________． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25题、26题、27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2，1)，B(﹣4，5)，C(﹣5，2)． （1）画出△ABC关于y轴对称的； （2）画出△ABC关于原点O成中心对称的． 23. 某校开展了丰富多彩的选课活动，综合实践类共开设了“礼行”、“礼知”、“礼思”、“礼艺”、“礼源”五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程．为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图； （1）被随机抽取的学生共有多少名? （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有学生人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人? 24. 已知：，于，于，、交于点； （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，请直接写出图中的四对全等三角形． 25. 某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成本多元，且投入元生产甲种零部件的件数和投入元生产乙种零部件的件数相同； （1）求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元? （2）如果两种零部件共生产件，该厂家至少要投入元，那么，甲种零部件至少生产多少件? 26. 已知：四边形内接于，分别连接、，且； （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在上取点，使，在上取点，使，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，在上取点，连接，使，若，的面积为，，求半径． 27. 已知，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接； （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，过点作于，延长交直线于点，设点横坐标为，的长度为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，连接，取上一点，连接，当，时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $