4.6函数的应用（二）4.7数学建模活动练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4．6函数的应用（二）4．7　数学建模活动 必备知识基础练 1．(5分)某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 2．(5分)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A． B． C． D．－1 3．(5分)我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　) A．倍 B．10倍 C．10倍 D．ln 倍 4．(5分)已知一科研人员研究A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010.为便于研究，科研人员用PA＝lg (nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，则下列判断中正确的个数为(　　) ①PA≥1；②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个； ③假设科研人员将B菌的个数控制为5万个，则此时5<PA<5.5. A．0 B．1 C．2 D．3 5．(5分)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元． 6．(5分)2023年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，则该地区每年人口的平均增长率为________．(lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017) 关键能力综合练 7．(5分)下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A．指数函数：y＝2t　　　B．对数函数：y＝log2t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2 8．(6分)(多选)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象，则(　　) A．第3个月有害物质的剩留量是 B．第4个月时，剩留量就会低于 C．每月减少的有害物质质量都相等 D．当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 9．(5分)在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 给出下列几个函数： ①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b； ④y＝a＋. 其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________． 10．(5分)有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4 000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 11．(12分)现有按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)? 核心素养升级练 12．(10分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 13．(17分)为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数y＝83＋loga(t－5)(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p≥80时听课效果最佳． (1)试求p＝f(t)的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由． 参考答案 必备知识基础练 1．(5分)某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 答案：D 解析：由题意分析，符合对数型函数的特点． 2．(5分)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A． B． C． D．－1 答案：D 解析：设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1. 3．(5分)我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　) A．倍 B．10倍 C．10倍 D．ln 倍 答案：B 解析：依题意可知，η1＝10lg ，η2＝10lg ，所以η1－η2＝10lg －10lg ，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10. 4．(5分)已知一科研人员研究A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010.为便于研究，科研人员用PA＝lg (nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，则下列判断中正确的个数为(　　) ①PA≥1；②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个； ③假设科研人员将B菌的个数控制为5万个，则此时5<PA<5.5. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：对于①，当nA<10时，则有PA<1，故①不正确； 对于②，PA值增加1，则个数变为原来的10倍，而不是增加10个，故②不正确； 对于③，将B菌个数控制为5万个时，A菌个数为＝2×105， 则PA＝lg (nA)＝lg (2×105)＝5＋lg 2，此时有5<PA<5.5，故③正确．所以选B. 5．(5分)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元． 答案：125 解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125. 6．(5分)2023年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，则该地区每年人口的平均增长率为________．(lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017) 答案：1.7% 解析：设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y， 则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30， 即30(1＋x)40＝60， ∴(1＋x)40＝2，两边取对数， 则40lg (1＋x)＝lg 2， 则lg (1＋x)＝≈0.007 5， ∴1＋x≈1.017， 解得x≈1.7%. 关键能力综合练 7．(5分)下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A．指数函数：y＝2t　　　B．对数函数：y＝log2t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2 答案：A 解析：由题干中的图象可知，该函数模型为指数函数模型． 8．(6分)(多选)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象，则(　　) A．第3个月有害物质的剩留量是 B．第4个月时，剩留量就会低于 C．每月减少的有害物质质量都相等 D．当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 答案：BD 解析：由于函数的图象经过点(2，)，故函数的关系式为y＝()t.当t＝3时，y＝()3＝，故A错误；当t＝4时，y＝<，故B正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，比上月减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故C错误；分别令y＝，，，解得t1，t2＝，t3，所以t1＋t2＝t3，故D正确． 9．(5分)在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 给出下列几个函数： ①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b； ④y＝a＋. 其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________． 答案：② 解析：由题中表格数据画出函数的大致图象，可知这些数据满足的规律近似于指数函数． 10．(5分)有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4 000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案：2021 解析：设该行业生产的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量， 由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×()n， 当y＝4 000时，有()n＝10， 两边取对数可得n(lg 3－lg 2)＝1， ∴n(0.477 1－0.301 0)＝1，解得n≈6， ∴从2015＋6＝2021年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4 000万吨． 11．(12分)现有按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)? 解析：由题意可得1年期到期的本利和为y＝a(1＋r)， 2年期到期的本利和为y＝a(1＋r)2， 3年期到期的本利和为y＝a(1＋r)3， x年期到期的本利和为y＝a(1＋r)x(x∈N*)， 将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入y＝a(1＋r)x(x∈N*)得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 118. 故本利和y随存期x变化的函数关系式为 y＝a(1＋r)x(x∈N*)，5期后的本利和约为1 118元． 核心素养升级练 12．(10分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案：(1)y＝　(2)0.6 解析：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比， 则设函数为y＝kt(k>0)， 将点(0.1，1)代入y＝kt， 可得k＝10，所以y＝10t， 将点(0.1，1)代入y＝()t－a得a＝0.1， 故所求的函数关系式为y＝ (2)由()t－0.1＝0.25＝得t＝0.6， 即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 13．(17分)为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数y＝83＋loga(t－5)(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p≥80时听课效果最佳． (1)试求p＝f(t)的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由． 解析：(1)当t∈(0，14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将点(14，81)的坐标代入得c＝－，此时p＝f(t)＝－(t－12)2＋82，t∈(0，14]； 当t∈(14，40]时，将点(14，81)的坐标代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝，此时p＝f(t)＝ (t－5)＋83，t∈(14，40]. 综上所述，p＝f(t)＝ (2)当t∈(0，14]时，令－(t－12)2＋82≥80，解得12－2≤t≤12＋2，所以t∈[12－2，14]； 当t∈(14，40]时，令 (t－5)＋83≥80，解得5<t≤32， 所以t∈(14，32]. 综上所述，当t∈[12－2，32]时，学生听课效果最佳，此时32－(12－2)＝20＋2>22，教师能够合理安排时间讲完题目． 归纳总结：(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数模型表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型． (2)分段函数的实质是因变量在每一段区间上变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 学科网（北京）股份有限公司 $$