精品解析：浙江省杭州市公益中学2024-2025学年八年级上学期期中质量检测数学试卷

杭州市公益中学2024学年第一学期期中阶段性质量检测 八年级数学 试题卷 一． 选择题(共10小题，每题3分) 1. 下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 与三边长分别为3，4，5的三角形全等，满足条件的的边角可以是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 10. 如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（ ） A. 以BC为边的正方形面积 B. 以AC为边的正方形面积 C. 以AB为边的正方形面积 D. △ABC的面积 二． 填空题(共6小题，每题3分) 11. 将“与9的差是负数”用不等式表示为“_____”． 12. 命题“如果互为相反数，那么”的逆命题为_________________． 13. 在中，，，则______． 14. 如图表示某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则__________． 16. 一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G． （1）_____； （2）若，则_____（用含a的代数式表示）． 三． 解答题(共8小题) 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2） 18. 如图，，．求证：平分． 19. 一个等腰三角形的周长为． （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为．求其它两边的长． 20. 在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 关于x的方程的方程 的解满足． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 22. 通过类比已知，找到新问题的解决方法，是学会学习的表现． 【提出问题】如图1，，，求证：． 【类比探究】如图2，点A、B均落在格点上，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O． 【类比运用】如图3，点F在 上，，，，求的长． 23. 如图，在中，，点D在边上(不与A，C重合)，连接，． （1）设，． ①当时，求． ②请求出β与α的数量关系． （2）若， ， 求的长． 24. 如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市公益中学2024学年第一学期期中阶段性质量检测 八年级数学 试题卷 一． 选择题(共10小题，每题3分) 1. 下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不轴对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后根据取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是3和5， ∴第三边的取值范围为：第三边，即第三边， ∴A符合题意． 故选A． 3. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义，利用邻补角互补求角度，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的一个外角等于，可得等腰三角形的顶角为，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ∵三角形的内角和等于， ∴等腰三角形的顶角为， ∴两个底角都为． 故选：A． 6. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后求周长即可． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D， ∴AD=BD， ∵AC=3，BC=4 ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7． 故选A． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 7. 与三边长分别为3，4，5的三角形全等，满足条件的的边角可以是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，再根据直角三角形的判定方法判定即可． 【详解】∵32+42=52， ∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，且斜边为5． ∵△ABC与三边长分别为3，4，5的三角形全等， ∴满足条件的△ABC的边角可以是∠A=90°，AB=3，BC=5；或∠B=90°，AC=5，BC=3；或∠C=90°，AC=3，AB=5；或∠C=90°，AB=5，BC=3． 故选A． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．也考查了勾股定理的逆定理． 8. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 9. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 过M作于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过M作于E， ，M是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 的面积为 ， 故选：A． 10. 如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（ ） A. 以BC为边的正方形面积 B. 以AC为边的正方形面积 C. 以AB为边的正方形面积 D. △ABC的面积 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E， ∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°， ∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°， ∴∠ADE=∠CAN， 又∵AD=CA， ∴△ADE≌△CAN（AAS）， ∴，AE=CN 同理可证△BGH≌△CBN， ∴，BH=CN ∴， ∴ ， ∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积， 故选D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形． 二． 填空题(共6小题，每题3分) 11. 将“与9的差是负数”用不等式表示为“_____”． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键“负数”正确选择不等号．首先表示出与9的差为，再表示负数是，即可获得答案． 【详解】解：将“与9的差是负数”用不等式表示为． 故答案为：． 12. 命题“如果互为相反数，那么”的逆命题为_________________． 【答案】如果，那么互为相反数 【解析】 【分析】把原命题的条件作为逆命题的结论，把原命题的结论作为逆命题的条件，即可． 【详解】“如果互为相反数，那么”的逆命题为：“如果，那么互为相反数”． 故答案是：如果，那么互为相反数． 【点睛】本题主要考查逆命题的定义，掌握逆命题与原命题的关系，是解题的关键． 13. 在中，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件证明△ABC是等边三角形，由此得到答案. 【详解】∵AB=AC，， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边相等. 14. 如图表示某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴可得不等式的解集为再结合是该不等式的一个解，可得 再解不等式可得答案． 【详解】解：∵不等式的解集是 而是该不等式的一个解， ∴ 整理得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，熟练的建立不等式解题是解本题的关键． 15. 如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则__________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】先由轴对称的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质得到，设，，则，根据三角形内角和得，即，得根据三角形外角性质得方程即，求解即可． 【详解】解：∵将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D， ∴， ∵将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， 在中， ∴，即 ∵在中，， 又∵， ∴即 把②代入①，解得： ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 16. 一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G． （1）_____； （2）若，则_____（用含a的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）连接，推出，，进而得到，得到，利用互余关系，求出即可； （2）利用含30度的直角三角形的性质得到，证明为等腰三角形，进而得到，求出的长，证明为等腰三角形，得到即可． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴， ∵互相平分于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三． 解答题(共8小题) 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2） 【答案】（1）， 不等式的解集在数轴上表示如下： （2）， 不等式的解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1． （1）移项，合并同类项，化系数1，据此求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，据此求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，，．求证：平分． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，角平分线的判定，由证明，由全等三角形的判定以及性质可得出，根据角平分线的定义即可证明． 【详解】略 19. 一个等腰三角形的周长为． （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为．求其它两边的长． 【答案】（1）这个等腰三角形的各边的长为，，； （2）另外两边的长为，． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系． （1）设底边长为，则腰长为，根据等腰三角形的周长为列方程求出x，即可得出答案； （2）分情况讨论：①当底边长为时，②当腰长为时，分别根据等腰三角形的周长为列式计算即可． 【小问1详解】 解：设底边长为，则腰长为， ∵三角形的周长是， ∴， 解得：，则， ∴这个等腰三角形的各边的长为，，； 【小问2详解】 解：①当底边长为时， 则腰长为：， 所以另外两边的长为，，且符合三角形三边关系定理； ②当腰长为时， 则底边长为：， 所以另外两边长为，，，不符合三角形三边关系定理． 综上，另外两边的长为，． 20. 在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，D为延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形等边对等角． （1）利用即可得证； （2）由全等三角形对应角相等得到，利用外角的性质求出的度数，即可确定出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， 由（1）得：， ， 为的外角， ， ． 21. 关于x的方程的方程 的解满足． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解等知识点， （1）先解方程可得：，然后把x的值代入中进行计算，即可解答； （2）根据不等式的性质可得：，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得：，即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵a是整数， ∴． 22. 通过类比已知，找到新问题的解决方法，是学会学习的表现． 【提出问题】如图1，，，求证：． 【类比探究】如图2，点A、B均落在格点上，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O． 【类比运用】如图3，点F在 上，，，，求的长． 【答案】 （1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图2，点O就是的中点； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点， （1）由得到，根据证，根据全等三角形的性质推出即可； （2）取格点M，N，得，连接交于点O，得，得，，根据，即可得点O就是所求作的点； （3）如图3，延长至点C，使，连接，根据证明，从而可以解答． 解决本题的关键正确作辅助线构建全等三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，延长至点C，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，点D在边上(不与A，C重合)，连接，． （1）设，． ①当时，求． ②请求出β与α的数量关系． （2）若， ， 求的长． 【答案】（1）①②； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和等知识， （1）①由等腰三角形的性质得出，则可求出答案；②由等腰三角形的性质得出，，则可求出β，由三角形外角的性质可得出答案； （2）过点A作于点M，过点B作于点N，由勾股定理可得出，由勾股定理得出，则可得出答案； 熟练掌握勾股定理，合理添加辅助线是解决本题的关键． 【小问1详解】 ①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点A作于点M，过点B作于点N， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求的值． 【答案】（1） 证明：如图，取的中点H，连接， ∵，， ，， ，点H是的中点， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证是等边三角形，可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由“”可证，可得，可证，即可求解； （3）由直角三角形的性质可得，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点E作于，于点G， 又， ， 平分，，， ， ∵，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $