5.5 一元一次方程的应用 教案 2024—2025学年浙教版七年级数学上册

5.5 一元一次方程的应用教学设计 课题 5.5 一元一次方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级（上） 教材分析 在一元一次方程应用中，销售与容斥问题的教材具有重要意义。销售问题贴近生活实际，能让学生感受到数学在经济领域的应用。通过分析成本、售价、利润等关系，锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。容斥问题则着重培养学生的集合思维，理解不同集合之间的重叠与包含关系。教材通过实例引导学生建立方程模型，提升其数学建模能力。然而，这部分内容对于学生来说可能存在一定难度，需要教师深入浅出地讲解，帮助学生理清思路，掌握解题方法。 核心素养 能力培养 1. 分析问题能力：能从复杂的销售与容斥情境中提取关键信息，构建方程模型。 2. 数学建模能力：熟练运用一元一次方程解决实际的销售和容斥问题。 3. 思维拓展能力：通过不同类型的题目，培养创新和灵活的解题思维。 教学目标 1.学生能够理解并掌握销售和容斥问题中涉及的数量关系，准确列出一元一次方程。 2.培养学生运用方程解决实际销售和容斥问题的能力，提高解题的准确性和效率。 3.激发学生对数学在实际生活中应用的兴趣，增强应用数学知识解决问题的意识。 教学重点 掌握销售和容斥问题中的数量关系，列出方程。 教学难点 分析复杂情境，找准等量关系。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 小明以3千米/时的速度步行45分钟，然后以一定的速度跑步30分钟，一共前进了6千米。求小明跑步的速度。 【解析】 解:设小明跑步的速度是x千米/时 由题意，得3×+x=6, 解得x=7.5 检验:x=7.5适合方程，且符合题意 答:小明跑步的速度是7.5千米/时: 创设情境、导入新课 某商场在国庆节期间，开展商品促销活动.该商场将某型号的电脑按进价提高50%后，以打8折再送50元路费的方式销售，每台电脑仍获利350元，问每台电脑的进价是多少元? 复习回顾之前学习第五章的一元一次方程的解法内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习一元一次方程实际应用行程问题的相关知识。 从电脑先提价再打折引出一元一次方程的实际应用的销售问题。 新知探究 探究一：引入概念 “双11”期间，各个电商平台、网络店铺都展开了促销活动，小黄是一家服装网店的店主，为了吸引顾客搭配了的一套套装进行促销，上衣是裤子进价两倍，其中上衣标价1240 元，裤子标价560元，商家盘算着如果按自己的促销活动买一套打八折还能赚20%请问上衣的进价是多少? 思考：销售问题应如何作解？ 解: 设上衣的进价是2x元,裤子的进价是x元. 由题意,得(1240+560)×0.8-2x-x=(2x+x)·20%， 解得x=400,则2×400=800(元). 答:上衣的进价是800元. 销售问题： (1)相等关系:①利润=售价-进价,②利润率=×100%；③售价=进价×(1+利润率) (2)打折:n折就是标价的,如7折就是标价的(或70%),其中n叫折数，实际售价=标价×. 分段计费问题常见类型: 我国公民个人所得税按分段累进税制计算；为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、燃气费实行分段收费标准；解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系:①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 利息问题： (1)本金×利率×期数=利息；(若未特别说明,银行定期存款的利率是指年利率,期数是年数) (2)本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数). 容斥原理: 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 【强调】： 用一元一次方程解决实际问题时，可以先用文字表述数量关系，再将其中的一个未知量设为未知数，把其他的未知量用含该未知数的代数式表示， 根据相等关系列出方程。 探究二：例题讲解 教材第151页 ▶例7 某商店一款无线耳机按进价提高30%后标价，再优惠15元销售，能获得20%的毛利率(毛利率＝ ) 。销售一副该款耳机所得毛利润为多少元？ 分析：题中的数量有进价、标价、售价、毛利率、毛利润，它们之间有如下的相等关系： 如果设进价为x元，那么根据前两个数量关系，就能用含 x的代数式表示售价。然后根据第三个数量关系列方程、求解。 解：设一副该款无线耳机的进价为x元，则售价为［（1+30%）x－15］元。 根据题意，得（1＋30%）x－15－x＝［（1＋30%）x－15］×20%， 解得x＝300。 所获得的毛利润为300×30%－15＝75（元）。 答：销售一副该款耳机所得的毛利润是75元。 ▶例8 七年级二班有 45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人。问：参加书画社的有多少人？ 分析：我们可通过画示意图来分析数量关系。在图中，左边圆的面积表示参加书画社的人数，右边圆的面积表示参加文学社的人数，则两圆公共部分的面积表示两个社都参加的人数。 根据图中的面积关系，有下面的相等关系： 根据上面的分析，可列方程求解。 解：设参加书画社的有x人，那么参加文学社的有（x＋5）人。根据题意，得x＋(x＋5)－20＝45。 解这个方程，得x＝30。 答：参加书画社的有30人。 想一想：哪一部分的面积表示只参加文学社的数？ 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 激发学生兴趣，引入新课主题， 通过对实际销售和容斥问题的讨论，学生将学习一元一次方程实际应用的解法。 课堂练习 【例1】家乐福超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打八折销售后每件可获利2元设该商品每件的进价为x元，根据题意可列出的一元一次方程为( ) A.12×0.8-x=2 B.12-x×0.8=2 C.(12-x)×0.8=2 D.12-x=2×0.8 【例2】电视台向100人调查昨天收看电视状况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问:两个频道都没看过的有多少人? 【例3】小杰妈妈去银行存款,银行一年定期储蓄的年利率是1.5%,两年后取出的本息和为61800元。设小杰妈妈存入银行的本金为x元，那么下列方程正确的是（ ） A.1.5%x×2-61800 B.x+1.5%x×2=61800 C.x(1+1.5%)×2=61800 D.(1+1.5%x)×2=61800 【例4】某校开展丰富多彩的社团活动,每位同学可报名参加1~2个社团,现有25位同学报名参加了书法社或摄影社,已知参加摄影社的人数比参加书法社的人数多5,两个社团都参加的同学有12人.设参加书法社的同学有x人,则可得方程（ ） A.x+(x-5)=25 B.x+(x+5)+12=25 C.x+(x+5)-12=25 D.x+(x+5)-24=25 【选做】5.某学校女生人数是全体学生人数的52%,女生人数比男生人数多80,则这个学校有学生_______人。 【选做】6.某校六年级(1)班有60人,其中参加数学小组的人数占全班总人数的,参加英语小组的人数是参加数学小组人数的,并且两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2,则同时参加两个小组的人数是_______。 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对实际销售和容斥问题的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力. 课堂小结 知识点1 销售问题： (1)相等关系:①利润=售价-进价,②利润率=×100%；③售价=进价×(1+利润率) (2)打折:n折就是标价的,如7折就是标价的(或70%),其中n叫折数，实际售价=标价×. 知识点2 分段计费问题常见类型: 我国公民个人所得税按分段累进税制计算；为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、燃气费实行分段收费标准；解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系:①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 知识点3 利息问题： (1)本金×利率×期数=利息；(若未特别说明,银行定期存款的利率是指年利率,期数是年数) (2)本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数). 知识点4 容斥原理: 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。 作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-3 2.选做题：学案课后练习 习题4-5 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力 学科网（北京）股份有限公司 $$