5.5一元一次方程的应用（分层作业，16大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 5.5 一元一次方程的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 销售问题 题型04 数字问题 题型05 几何问题 题型06 和差倍分问题 题型07 电费水费问题 题型08 行程问题 题型09 日历问题 题型10 古代问题 题型11 其他问题 B组 能力进阶 题型01 比赛积分问题 题型02 比例分配问题 题型03 图表信息问题 C组 思维拔高 题型01 方案选择问题 题型02 动点问题 配套问题题型01 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系并列出方程是解题的关键． 设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母，根据每天生产的螺丝和螺母按配套，列出方程即可． 【详解】解：设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母， 每天生产螺丝个，生产螺母个， 每天生产的螺丝和螺母按配套， ， 故选：． 2．用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．设把张白铁皮制盒身，则可列方程为_______________． 【答案】 【分析】设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据“一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒”列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 3．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 【答案】用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设用张制盒身，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张制盒身． （张） 答：用80张制盒身，60张制盒底，可以正好制成整套罐头盒． 4．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人．每个工人平均每天可以生产螺丝50个或螺母120个． (1)该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝． 【答案】(1)男生18人，女生26人； (2)24人生产螺丝，20人生产螺母 【分析】（1）设男生有x人，则女生有（2x-10）人，根据总人数44人列方程求解； （2）设分配y人生产螺丝，则分配（44-y）人生产螺母，列方程求解． 【详解】（1）解：设男生有x人，女生有（2x-10）人，依题意得 （2x-10）+x=44， 解得x=18， ∴2x-10=26， 答：车间有男生18人，女生26人； （2）解：设分配y人生产螺丝，则分配（44-y）人生产螺母， ， 解得y=24， ∴44-y=20， 答：分配24人生产螺丝，20人生产螺母． 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解配套问题应用题的解决方法是解题的关键． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)一共做了8个无盖长方体纸盒； (2)大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； (3) 解：该说法正确，理由如下： 设按图①方式裁剪的大长方形纸板有张，按图②方式裁剪的大长方形纸板有张，按图③方式裁剪的大长方形纸板有张(为自然数)， 根据裁剪规律，裁剪得到的小长方形总数为，正方形总数为， ∵制作纸盒恰好用完所有材料， ∴，展开整理得， ∵按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张， ∴设(为正整数)， 将其代入得， ∵为正整数， ∴为正整数，即是4的倍数， ∴按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料，故该说法正确． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用以及方案设计的数学问题，核心是根据三种裁剪方式得到的小长方形、正方形数量，结合无盖长方体纸盒的制作要求建立数量等量关系，通过设未知数、列方程、分析数量需求和代数推理解决问题． （1）设出两种裁剪方式的纸板张数，分别表示出小长方形和正方形的总数，根据纸盒制作的数量关系列一元一次方程求解； （2）先明确制作14个纸盒所需的小长方形和正方形数量，再分别分析任选两种裁剪方式的三种组合，计算每种组合所需的大长方形纸板总数，对比后确定耗材最少的方案； （3）设出三种裁剪方式的纸板张数，列出小长方形总数与正方形总数的等量关系，化简得到三者的代数关系式，结合图②裁剪纸板张数为偶数的条件，通过代数变形推导出图①裁剪纸板张数为4的倍数． 【详解】（1）解：设将张大长方形纸板按图①方式裁剪，则张大长方形纸板按图②方式裁剪，则小长方形总数为，正方形总数为， 根据题意，列方程， 解得， 则正方形个数为，即为无盖长方体纸盒的个数， 答：一共做了8个无盖长方体纸盒； （2）解：制作14个无盖纸盒，根据制作要求可知至少需要14个正方形纸板和个小长方形纸板， ①采取图①、图②方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪，此方式同时得到个小长方形纸板，还需要小长方形纸板个， 故需要张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ②若采取图①、图③方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图③裁剪得到， ∴需要张，即需3张大长方形纸板按图③裁剪， 张，即需19张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ③若采取图②、图③方式裁剪， ∵小长方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪； ∵， ∴大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； （3）略 工程问题题型02 1．（25-26七年级·浙江杭州·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，将总工作量看作单位“1”，先确定甲乙的工作效率，再根据“甲的总工作量乙的工作量总工作量”的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：把这项工程的总工作量看作单位1， 由甲单独做需12天完成，可得甲的工作效率为， 由乙单独做需8天完成，可得乙的工作效率为， 设合作完成这项工程还需天，则甲一共工作了天，乙工作了天， 根据总工作量的等量关系，可得， 故选：B． 2．已知一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，4h可把空水池灌满；单独开乙水龙头，6h可把空水池灌满．若要灌满水池，则要同时开甲、乙两个水龙头_________h． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为． 设两个同时开注满水池的时间是小时．根据甲乙效率之和×工作时间=工作总量，列出方程求解即可． 【详解】解：设两个同时开注满水池的时间是小时， 由题意得：， 解得：， 答：两个同时开注满水池的时间是小时． 故答案为：． 3．列方程解应用题： 整理一批数据，由一人做需完成现在计划先由一些人做，再增加5人做，完成这项工作的．怎样安排参与整理数据的具体人数？ 【答案】计划先由2人整理数据 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据先由一些人做，再增加5人做，完成这项工作的，列出方程． 【详解】解：设计划先由x人整理数据，根据题意得： 解得 答：计划先由2人整理数据． 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天．已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 【答案】10天 【分析】本题考查了列方程解决问题，根据题干从乙开始做完工时间要比前一种多半天，得出甲的工作效率要比乙的工作效率高，每次交替轮流做这项工程时，最后一次都是由甲做才能满足题意，这也是理解并解决本题的一个难点． 把这项工程总量看作单位“1”，根据题干可知，乙的工作效率是，设甲的工作效率为，则可以得出：（1）如果按照甲、乙、甲、乙…交替轮流做，；（2）如果按照乙、甲、乙、甲…交替轮流做，由上述推理可得：甲的工作效率=乙的工作效率甲的工作效率；由此即可解决问题， 【详解】解：把这项工程总量看作单位“1”，根据题干可知，乙的工作效率是，且甲的工作效率乙的工作效率甲的工作效率． 设甲的工作效率为，可得方程： （天） 答：甲单独完成这项工程需要10天． 5．修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成．如果甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的，问：这一段公路全长多少米？ 【答案】8400 【分析】设乙每天可修米，甲每天可修米，这一段公路全长为米，根据“甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成”可列出方程，解方程即可得x，从而完成计算． 本题考查了用一元一次方程解应用题，合理的设未知数并找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙每天可修米，则甲每天可修米，这一段公路全长为米， 根据题意得， 解得， 则甲每天可修（米）， 这一段公路全长为米． 答：这一段公路全长为8400米． 销售问题题型03 1．某商店有两进价不同的耳机都卖120元，其中一个盈利，另一个亏本，在这次买卖中，这家商店（    ） A．赔10元 B．赔36元 C．赚10元 D．不赔不赚 【答案】C 【分析】设盈利的耳机进价为x元/个，亏本的耳机进价为y元/个，列方程分别求出x和y的值即可解答． 【详解】解：设盈利的耳机进价为x元/个， 由题意得：， 解得：， ∴盈利的耳机进价为80元/个； 设亏本的耳机进价为y元/个， 由题意得：， 解得：， ∴亏本的耳机进价为150元/个； ∴这两个耳机的总进价（元）， ∴（元）， ∴在这次买卖中，这家商店赚了10元， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打8折出售，结果获利56元，如果设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用利润售价成本价，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：． 3．某商场把某种排球按进价提高进行标价，再打折优惠出售，这样每个排球就可盈利21元，已知这种排球的进价是60元，请问商场是打 _____ 折进行优惠出售的． 【答案】九## 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设商场是打折进行优惠出售的，利用利润销售价格-进价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设商场是打折进行优惠出售的， 依题意得：， 解得：， ∴商场是打九折进行优惠出售的． 故答案为：九． 4．某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.2元，从产地到商店的距离是400km，运费为每吨货物每运1km收1.50元，如果在运输及销售过程中的损耗为10%，商店要想获得其成本的25%的利润，零售价应是每千克多少元？ 【答案】零售价应定每千克2.50元. 【分析】设商店收购苹果mkg,零售价每千克x元，则成本为， 销售额为，再根据获得其成本的25%的利润，即可列出方程进行求解. 【详解】设商店收购苹果mkg,零售价每千克x元， 依题意得()(1+0.25)= 解得x=2.50 即零售价应定每千克2.50元. 5．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①若一次性购物商品总价不超过100元，则不予优惠； ②若一次性购物商品总价超过100元，但不超过300元，给予九折优惠； ③若一次性购物商品总价超过300元，其中300元以下部分（包括300元）给予九折优惠；超过300元部分给予八折优惠．小李前后分两次去该超市购物，分别付款234元和94.5元． （1）求小李第一次购物所购商品的总价是多少元？ （2）小张决定一次性购买小李分两次购买的商品，他可以比小李节约多少元？ 【答案】（1）小李第一次购物所购商品的总价是260元；（2）小张可以比小李节约14.9元或6.5元． 【分析】（1）先求出原价为300元时所需付钱数，与234比较后可得出第一次购物所购商品的总价小于300元，再用234除以折扣率即可求出小李第一次购物所购商品的总价； （2）设小李第二次购物所购商品的总价是x元，由90＜94.5＜100可知分两种情况考虑，当x＜100时，可得出x＝94.5，根据小李两次购物所付金额总数﹣小张所需付金额＝节约的钱数，即可求出结论；当x＞100时，根据原价×折扣率＝所付金额，可求出x的值，再根据小李两次购物所付金额总数﹣小张所需付金额＝节约的钱数，即可求出结论． 【详解】（1）∵300×0.9＝270（元），234＜270，∴第一次购物所购商品的总价是234÷0.9＝260（元）． 答：小李第一次购物所购商品的总价是260元． （2）设小李第二次购物所购商品的总价是x元，当x＜100时，x＝94.5，此时节约的钱数为（234+94.5）﹣[300×0.9+（260+94.5﹣300）×0.8]＝14.9（元）； 当x＞100时，有0.9x＝94.5，解得：x＝105，此时节约的钱数为（234+94.5）﹣[300×0.9+（260+105﹣300）×0.8]＝6.5（元）． 答：小张可以比小李节约14.9元或6.5元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量间的关系，列式计算；（2）分两种情况求出小李第二次购物所购商品的总价． 数字问题题型04 1．一个数乘它与12的和，积恰好等于这个数的3倍．若设这个数为a，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一个数乘它与12的和，积恰好等于这个数的3倍，列出一元二次方程即可. 【详解】解：设这个数为，它与12的和为， 依题意得. 故选：D. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程. 2．已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【答案】33 【详解】解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 3．一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小27，原来的两位数是______. 【答案】63 【分析】根据十位上的数字是个位上数字的2倍，设个位上数字为x，表示出十位上的数字，再用把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小27列出方程，解出即可． 【详解】设这个两位数个位上数字为x，则十位上的数字为2x， 对调后，两位数个位上数字为2x，则十位上的数字为x， 根据题意列方程得：(10×2x)+x-27=10x+2x， 解得：x=3， 则：2x=6， 答：原来的两位数是63． 故答案为：63． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，此题的关键设出一个数位上的数字，另一个数位上的数表示出来，再表示出这个数，据题意列出方程，解决问题． 4．（25-26七年级上·山西太原·月考）阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数.事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可以看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例. 例：将化成分数，解决方法如下. 设，即， 将方程两边都乘10，得，即. 又因为，所以，所以， 所以，所以. 任务： (1)请利用材料中给出的方法，把化成分数； (2)把化成分数为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，熟练掌握一元一次方程的解法． （）设，则，得出，解方程即可； （2）设，则，得出，解方程即可； 【详解】（1）解：设， 即． 将方程两边都乘10， 得． 即. 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴. （2）解：设， 即． 将方程两边都乘100， 得． 即. 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴. 故答案为：． 5．定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）． 若，为整数，我们称为“倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；，则称1940为“倍数”；，因为不是整数，所以2548不是“倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“倍数”，若是，直接写出的值； (2)若一个三位数为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为（即），十位数字和个位数字组成的两位数记为（即）．若为整数，求这个四位数． (4)若一个四位数为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，为“倍数”，直接写出满足条件的的最大值． 【答案】(1)3274不是“倍数”；2961是“倍数”， (2)可以， ∵为三位数， ∴，， ， 整理得：， 这个三位数为： ， ∵是整数， ∴这个三位数x能被7整除． (3)9810或1098 (4)8888 【分析】（1）根据题干信息列出关于m的方程，求出m的值，再进行判断即可； （2）根据为“倍数”，且个位数字为7，得出，然后表示出这个三位数为，再进行判断即可； （3）根据四位数为“1倍数”，得出，根据为整数，得出为8的倍数，求出，，即可得出答案； （4）设x的四位数字分别为a、b、c、d，根据为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，得出，，根据为“倍数”，分两种情况：当时，当时，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∵不是整数， ∴3274不是不是“倍数”； 令， 解得：， ∴2961是“倍数”，； （2） 略 （3）解：∵四位数为“1倍数”， ∴， 即， ∵ ， ∵为整数， ∴为8的倍数， ∴，， ∵各数位的数字互不相等， ∴，，，或，，，， ∴这个四位数为或． （4）解：设x的四位数字分别为a、b、c、d， ∵为“4倍数”， ∴， ∵将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”， ∴， 得：， ∴， 即， 将代入得：， 整理得：， ∵为“倍数”， ∴当时，， 把，代入得： ， 整理得：， ∵a，b，c，d均为小于10的非负整数， ∴不可能等于6， ∴不符合题意； 当时，， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， 即， ∴， ∵为四位数， ∴， ∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，一元一次方程的应用，整式加减的应用，等式的性质，解题的关键是理解题意，根据题意列出等式． 几何问题题型05 1．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽？设这枚纪念币的长宽分别为，，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据长和宽的比例关系设出未知数，再结合周长公式列出方程．已知长和宽的比为，设长为，宽为，根据长方形周长（长+宽），将长、宽和周长的数值代入公式即可得到对应的方程． 【详解】解：∵这枚纪念币的长宽分别为，， ∴根据题意，可得． 故选：B． 2．若一个角的补角比这个角大，则这个角是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（几何问题），读懂题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 设这个角为，则它的补角为，依据题意可得，解方程即可求出这个角的度数． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 依据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·广东阳江·月考）有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20厘米，倒立时空余部分高度为5厘米，则瓶内现有饮料______立方分米． 【答案】24 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设饮料瓶瓶底的面积为平方分米，根据瓶内饮料的体积不变，列出方程即可求解． 【详解】解：20厘米分米，5厘米＝分米， 设饮料瓶瓶底的面积为平方分米， 由题意得：， 解得， ∴瓶内现有饮料为． 故答案为：24． 4．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，就可以成为一个正方形．求正方形的边长． 【答案】 【分析】设这个长方形的长为则长方形的宽为cm，由题意得长=宽+2．进而得到方程，解方程，可得到长方形的长，进而得到正方形的边长，即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为xcm， 由题意得：， 解得： 正方形的边长为： 答：这个正方形的边长为 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而得到方程． 5．网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少；竹筒空心部分底面直径为，竹筒内部总高；先装入奶茶，奶茶高度为．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高，母线长． (1)求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； (2)若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； (3)为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 【答案】(1)表面积为； (2)液面不会溢出．理由： 奶茶体积：， 圆锥冰淇淋体积：， 融化后冰淇淋体积：， 竹筒总容积：， 融化后总体积：， 因此液面不会溢出． (3)纯奶茶款需要个，混合款需要个． 【分析】（1）表面积的组成部分：圆柱侧面积、圆柱下底面积、圆锥侧面积，三者无重叠且题目要求含竹筒，分别计算三部分面积后求和，用到圆柱侧面积公式、圆的面积公式、圆锥侧面积公式． （2）先计算竹筒内奶茶体积，圆锥冰淇淋的体积，融化后体积减少30%，可得融化后的冰淇淋体积；再计算竹筒内总容积，比较奶茶体积加融化后冰淇淋体积和总容积的大小即可判断是否溢出，用到圆锥体积公式 、圆柱体积公式． （3）先根据比值求出迷你纸杯的底面半径和高，计算单个迷你纸杯的容积；再计算一个竹筒冰淇淋中奶茶和未融化冰淇淋的总体积；接着设混合试吃装数量为未知数，因为纯奶茶款数量比混合款少12个，所以可表示出纯奶茶款数量，结合两款试吃装的体积占比关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵竹筒底面直径为， ∴半径， ∵竹筒总高，圆锥母线长， ∴竹筒冰淇淋的表面积为． （2）略 （3）解：设混合款需要x个．则纯奶茶款需要个， ∵杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是， ∴试吃装底面半径、高均为原竹筒的​， ∴试吃装底面半径，高， ∴单个体积． ∵奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）， ∴混合款每个含奶茶、冰淇淋，纯奶茶每个含奶茶，且所有材料用完， ∴，即， 解得． ∴． 答：纯奶茶款需要个，混合款需要个． 和差倍分问题题型06 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）某班共有学生45人，男生比女生多3人．设女生有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出男生人数，进而根据“共有学生45人”列方程即可． 【详解】解：∵设女生有x人，男生比女生多3人， ∴男生有人， ∵共有学生45人， ∴可列方程为． 2．今年儿子8岁，父亲40岁，a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别得出a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁，然后再根据题意：a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁， ∵a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程． 3．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地工作量是乙工地工作量的倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去了甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有_______人． 【答案】36 【分析】设每个工人半天的工作量为1，设总人数为，分别计算甲总工作量和乙已完成工作量，根据甲乙工作量的倍数关系和剩余工作量列方程求解． 【详解】解：设每个工人半天的工作量为1，这批工人共有人， ∵上午去甲工地人数是去乙工地人数的3倍，总人数为， ∴上午去甲工地人数为，去乙工地人数为， ∵下午的工人去甲工地， ∴下午去甲工地人数为，去乙工地人数为， 甲工地总工作量为上午加下午的工作量，即， ∵甲工地工作量是乙工地工作量的倍， ∴乙工地总工作量为，乙工地已完成工作量为， 剩余工作量为4名工人做1天，1天等价于2个半天， 因此剩余工作量为， 列方程得， 化简得， 解得， 即这批工人共有人． 4．把10000元奖学金按照两种奖项奖给20名学生，其中一等奖每人800元，二等奖每人400元．获得一等奖的学生有多少人？ 【答案】获得一等奖的学生有5人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据奖学金总额建立等量关系，列出方程并求解． 设获得一等奖的学生有x人，则获得二等奖的学生有人；根据一等奖总金额与二等奖总金额之和等于元，列出方程解方程得到一等奖的学生人数． 【详解】解：设获得一等奖的学生有x人，则获得二等奖的学生有人． 根据题意，一等奖每人元，二等奖每人元，且奖学金总额为元，可得： ． 去括号得：． 合并同类项得：． 移项得：，即． 系数化为1得：． 答：获得一等奖的学生有5人． 5．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】调往甲处人，调往乙处人． 【详解】试题分析：本题可列方程进行解答，设调往甲处x人，甲处现有23+x人，则调往乙处20-x人，乙处现有17+20-x人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，由此可得方程：．解此方程后即得调往乙处的人数，进而求出调往甲处多少人． 试题解析：设调往甲处人， 则调往乙处人， ， ∴， ∴调往甲处人，调往乙处人． 电费水费问题题型07 1．如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．设小刘在该月的主叫通话时间为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设小刘在该月的主叫通话时间为， 则可列方程为， 故选：A． 2．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0＜x≤200 0.48 200＜x≤400 0.53 x＞400 0.78 七月份是用电高峰期，李叔七月份用电量为300度，直接写出李叔家七月份应缴纳的电费为__________元． 【答案】149 【分析】300度处于第二阶梯，根据表格数据进行计算即可． 【详解】解：∵300大于200，且小于400，处于第二阶梯， ∴电费为：（元）， 故答案为：149． 【点睛】本题考查从表格获取信息，理解题意是解题的关键． 3．（25-26七年级上·质检）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． 4．（25-26七年级上·上海·月考）上海普通出租车的收费标准为：起步价为14元，这覆盖了最初的3公里行程．超过3公里后，每公里的收费是3元，如果乘客的行程超过15公里，将触发超运距加价，费用按照起步里程单价每公里加价计算．在不考虑等待和低速费用的情况下，回答下列问题： (1)如果小明家到体育公园西门的车子行驶距离是公里，请用含a的代数式表示他从家乘坐普通出租车到体育公园西门应付款多少元？ (2)某天小明从家乘坐普通出租车去上海图书馆，付款元，请用含的代数式表示出租车共行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)出租车共行驶了公里 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）设小明从家到上海图书馆的路程为x公里，根据题意列出一元一次方程，将m看成常数，解方程即可得解． 【详解】（1）解：因为， 所以出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （2）解：设小明从家到上海图书馆的路程为x公里， 当时，打车的费用， 因为， 所以， 解得， 所以出租车共行驶了公里， 答：出租车共行驶了公里． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限将分别增加，，同时，第二、三阶梯年用气量的下限随着调整，每一阶梯的价格保持不变 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为 ．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用_______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用_______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人，某年甲、乙两户年用气量之和为 ，甲户年用气量大于乙户年用气量．设甲用户年用气量为 ，请用 x 分别表示甲、乙两户需缴纳的燃气费． (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，按上表的收费标准进行收费．假定每名员工的年用气量为 ，要使该公司员工宿舍当年缴纳总天然气费用最低，则3人间的房间数为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元，当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元． (3)3人间的房间数为 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． （1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：； （2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为(，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，分两种情况进而列出代数式即可； （3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案． 【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． ∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． （2）解：设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为． ∵甲户年用气量大于乙户年用气量， ， 解得：． ， 当时， ∴甲户年用气量为：元， 乙用户的用气量为：元， 当时， ∴甲户年用气量为：元， 乙用户的用气量为：元， 答：当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元，当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元． （3）解：设3人间有间，则4人间有间． ∵为正整数， ∴或． ∴人间有4间或1间． 一个3人间用气量为：， 一个4人间用气量为：． ①3人间2间，4人间4间． 需缴纳燃气费用：(元)． ②3人间6间，4人间1间． 需缴纳燃气费用：(元)． ， ∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间． 行程问题题型08 1．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度是60kw/h，水流速度是akm/h，3h后两船相距（   ） A．6a千米 B．3a千米 C．180千米 D．360千米 【答案】D 【分析】根据3h后甲、乙间的距离=甲船行驶的路程+乙船行驶的路程即可得 【详解】解：由题意知甲顺水航行的速度为（60+a）km/h，乙逆水航行的速度为（60-a）km/h， 则3h后两船相距3（60+a）+3（60-a）=360（km）， 故选D． 【点睛】本题主要考查列代数式，掌握船顺流航行时的速度与逆流航行的速度公式是解题的关键． 2．甲乙两地相距180km，一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，再此过程中，两车恰好相距10km的次数是（         ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意，在此过程中这四种情形的可能：（1）快车未出发时，两车相距；（2）快车追赶慢车时，两车相距；（3）快车已反超慢车但未达到乙地时，两车相距；（4）快车到达乙地，慢车行驶了时，两车相距.再根据两车的速度分析时间上是否匹配即可. 【详解】设快车行驶的时间为小时 依题意有以下四种情形： （1）快车未出发时，即时，慢车行驶了小时，两车恰好相距 （2）快车已出发，开始追赶慢车时 则解得： 此时慢车行驶了，快车行驶了，两车恰好相距 （3）快车已反超慢车但未达到乙地时 则解得： 此时慢车行驶了，快车行驶了，两车恰好相距 （4）快车到达乙地，慢车行驶了时 则解得： 此时快车行驶了，慢车行驶了，两车相距；在这之后，慢车继续行驶小时，也就是再行驶至处，这时候两车恰好相距 综上，以上四种情形均符合，即在此过程中，两车恰好相距的次数是4 故答案为：D. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意按情况分析是解题关键. 3．渔夫在静水中的划船速度是5km/h，水流速度是3km/h．现在逆水行舟，一阵风把他的帽子吹落在水中，他没有发现，继续向前划行，等他发觉时人与帽子相距2.5km．从帽子丢失到渔夫发觉经过了________h． 【答案】0.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 根据小船逆水速度与帽子速度表示出两者行驶的路程，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设从帽子丢失到渔夫发觉经过了． 根据题意，得， 解得． 故从帽子丢失到渔夫发觉经过了0.5h． 故答案为：． 4．（24-25七年级·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 5．【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是________米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是_________米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是_______． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 【答案】（1），  （2），  （3）相等  （4）这列火车的长度为米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题注意理解“完全通过”的含义,完全通过:火车所走的路程=隧道长度+火车长度． （1）火车长度为，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）上述问题中火车的平均速度不发生变化； （4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）设这列火车的长度是x米，从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒， 故答案为：，； （2）设这列火车的长度是x米，从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒， 故答案为：，； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等， 故答案为：相等； （4）列方程为：， 解得， 答：这列火车的长度为米． 日历问题题型09 1．在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 【答案】A 【分析】设最中间的数为x，则可表示出其他四个数，进而可表示出这五个数的和，令这五个数的和分别等于四个选项中的数，解方程求出对应的x，看是否符合月历的特点即可得到答案． 【详解】解：设最中间的数为x，则其他四个数为， ∴这五个数的和为， 当时，解得，不符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 2．（25-26七年级·山东滨州·期末）如果某年某月中恰好有5个“星期日”，且这5个“星期日”对应日期的号数之和为75，那么这个月中日期为10号的那一天应该是星期（    ） A．一 B．二 C．四 D．五 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，利用相邻星期日日期相差7天的特点，设未知数表示5个星期日的日期，根据日期和列方程求解出星期日的具体日期，再推算10号对应的星期数即可． 【详解】解：∵相邻两个星期日的日期相差7天， ∴设第一个星期日的日期为x，则其余4个星期日的日期分别为、、、， 根据题意列方程：， 化简得：， 解得：， 即1号是星期日， ∵，， ∴从星期日往后推2天是星期二， ∴10号是星期二， 故选：B． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为______时，三个日期数之和为69． 【答案】23 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得： 解得：； 故答案为：23． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）第四章《整式的加减》的数学活动1“月历中的奥秘”的探究过程想必同学们记忆犹新吧．如图是2024年12月的月历，“T”字型带阴影框图内有5个数，不改变带阴影框图的大小，在月历中移动“T”字型框图的位置，若框图内的5个数的和为71，则这五天中最早的一天是12月几号？（请用学过的方程知识解答） 【答案】这五天中最早的一天是12月9号 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及整式的加减，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设“T”字型带阴影框图内最小的数字为x，则另外4个数分别为，根据框图内的5个数的和为71，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这五天中最早的一天是x号，则其他四天分别是号，号，号，号， 依题意得， 解得， 答：这五天中最早的一天是12月9号． 5．（25-26七年级·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【分析】（1）找到一个框中所有数之和的规律，判断出和最大时框的位置． （2）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程即可． （3）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程，判断解是否符合题意即可． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． （3）略. 古代问题题型10 1．（24-25七年级上·天津·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：＂今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数，物价各几何？＂题目大意是：有几个人一起购买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人？该物品的价格是多少？若设人数共有人，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程，审清题意找出等量关系是解题的关键． 根据题意找出数量关系和等量关系列方程即可． 【详解】解：设人数共有人， 则列方程为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（     ） A．设井深x尺，所列方程为 B．设绳子的长为x尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．据此解答即可． 【详解】解：A、设井深为x尺，故，故选项A错误，不符合题意； B、设绳子的长为x尺，根据井深度一定，可得，故选项B错误，不符合题意； C、解方程得，，所以井深为8尺，绳长为尺，故选项C错误，不符合题意； D、由C选项知井深为8尺，选项D正确，符合题意． 故选：D． 3．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设乙出发天甲乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设乙出发天甲乙相遇， 根据题意得：， 故答案为：． 4．（25-26上·上海·质检）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，这样一共走了六天才到达目的地，请问此人第三天走了多少里？    【答案】48里 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到列方程是解题的关键．设第一天走了x里，则第二天走了里，第三天走了、…第六天走了里，根据路程为378里列出方程的x，最后求出前三天的路程即可． 【详解】解：设第一天走了x里，则第二天走了里，第三天走了、第四天走了、第五天走了、第六天走了里， 依题意得：， 解得． ∴则第三天走的路程为里． 其他问题题型11 1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三阶幻方. 根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程求解即可. 【详解】解：如图： ∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 解得：. 故选：A. 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是，根据“从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人”，可列出关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设甲队原有工人数是，则乙队原有工人数是， 根据题意得，， 解得， 即甲队原有工人数是22， 故选：B． 3．小明去文具店购买笔记本．已知每本笔记本的售价为5元，他付给收银员元后，找回了元．若设小明购买了本笔记本，根据题意列出关于的一元一次方程__________． 【答案】（或） 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是准确找出题目中的等量关系：小明付给收银员的钱数-购买笔记本的总费用=找回的钱数．首先根据笔记本单价和购买数量表示出总费用，再结合已知的付款金额和找回金额，代入等量关系就能列出方程． 【详解】解：∵每本笔记本售价为元，小明购买了本笔记本， ∴购买笔记本的总费用为元， 又∵小明付给收银员元后找回了元， ∴可列方程为； 故答案为：（或）． 4．某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：根据题意找相等关系列出方程是解题的关键．根据起步里程所花的费用+超过所花的费用一共付的费用，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙两地的路程为， 由可知，则超过的路程为，此段路程收的费用为元，某人乘出租车从甲地到乙地共付费为16元， 可得方程， 故答案为：． 5．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口、温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为(整个接水的过程不计热量损失)． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于 温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯600的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为___________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯550的水，如果接水的时间一共是30秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求丙同学接温水的时间． 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒 (3)丙同学接温水所用时间为秒． 【分析】本题考查了有理数四则运算，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）根据“时间水的体积水的流速”列式计算即可； （2）设乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒，根据“先接温水，再接开水，得到一杯550的水，”列出方程求解，即可解题； （3）设丙同学接温水所用时间为秒，根据“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：（秒）， 故答案为：． （2）解：设乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒， 根据题意得：， 解得， 则（秒）， 答：乙同学接温水所用的时间为秒，则接开水所用的时间为秒． （3）解：设丙同学接温水所用时间为秒， 根据题意得：， 解得， 答：丙同学接温水所用时间为秒． 比赛积分问题题型01 1．某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意中数量关系，掌握一元一次方程列式解实际问题是解题的关键．设小明答对了道题，则答错了道题，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得，． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江西上饶·期末）足球比赛积分规则如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分．若设胜场数为x，则列方程为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设胜场数为x，则平的场数场，再根据总得分为19分，列出方程即可． 【详解】解：设胜场数为x，则平的场数场， 由题意得，， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·福建福州·月考）足球比赛的积分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，输一场得0分，勇士队参加了12场比赛共得22分，已知这支队伍只输了2场，那么胜了几场？ 【答案】6场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设这支队伍胜了场，则平了场，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这支队伍胜了场，则平了场， 依题意，得：， 解得：， 答：这支队伍胜了6场． 4．某次篮球联赛中，每队都要进行14场比赛，部分代表队积分如下表： 比赛场数 胜场数 负场数 积分／分 队 14 10 4 24 队 14 7 7 21 根据表格提供的信息解答下列问题． (1)列方程求出胜一场、负一场分别积多少分． (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2) 胜场总积分不能等于负场总积分．理由如下： 设胜场，则负场． 依题意得， 解得． 因为为整数，所以不符合题意． 故胜场总积分不能等于负场总积分． 【分析】（1）设胜一场积分，负一场积分，根据表格中的数据列出方程组，解之即可；（2）设胜场数是，则负场数是，结合（1）中结论，根据胜场总积分能等于负场总积分，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分．根据题意， 得， 解得， 所以． 故胜一场积2分，负一场积1分． （2）略 【点睛】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，恰当地设未知数并正确地列方程是解题的关键． 5．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 【答案】(1)每支队伍比赛14场 (2)甲队胜6场乙队胜4场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设乙队胜场数场为x 场，则甲队胜场数为场，则甲队的平场数为，乙队的负场数为场，根据甲队比乙队多得2分，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：“任意两队之间比赛两场”可以理解为每支队伍需要与其他队伍分别比赛两场，由题意（场）． 答：每支队伍比赛14场． （2）解：设乙队胜场数场为x  则甲队胜场数为：， 所以甲队的平场数为， 乙队的负场数为， 由题意列方程， 解得， 则， 答：甲队胜6场乙队胜4场． 比例分配问题题型02 1．一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：比的应用，解题的关键是：根据题意，设应加入x千克石灰，根据石灰与水的质量比是，列出比例，解方程即可． 【详解】解：根据比例关系，设原有石灰和水的质量分别为和千克，加入120千克水后，总水量变为千克，设需加入x千克石灰，使石灰与水的质量比不变，根据题意得： ， 解这个方程得：， 要使石灰与水的质量比不变，还应加入90千克石灰， 故选：B． 2．已知三个数的比是2：3：7，这三个数的和是144，则这三个数最大数为_____． 【答案】84 【分析】设一份为x，表示出三个数，根据三个数之和为144求出x的值，即可确定出最大数． 【详解】设一份为x， 根据题意得：2x+3x+7x=144，即12x=144， 解得：x=12， 则最大数为12×7=84， 故答案为：84． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，解题的关键是正确找出题目中的相等关系，并且注意本题中，已知几个量的比值时的设法． 3．为进一步改善生态环境，村委会决定将一块土地分成甲，乙，丙三个区域来种树．村委会将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，丙区域面积未出错，造成现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的．为了协调三个区域的面积占比，村委会重新调整三个区域的面积，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域．如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，那么村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为_________． 【答案】 【分析】设甲，乙，丙三个区域原来的面积分别为x，y，z，根据原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的列方程为，求出，再利用将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域．如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为解出，由甲、乙后来面积相等得出从丙区域划分给甲区域的面积为，求出比值即可． 【详解】解：设甲，乙，丙三个区域原来的面积分别为x，y，z， ， 解得 则此时，甲区域： 乙区域：， 将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域，甲，乙，丙三个区域的面积比变为， 则 解得：， 设最后从丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域面积为，则 ， 解得， ∴村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，关键是理解题意找出等量关系，正确列出一元一次方程． 4．A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【答案】A种商品元，B种商品元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设这两种商品的原价分别是元和元，列出比例式子，即可求解． 【详解】解：设这两种商品的原价分别是元和元， 解得：， ∴元，元； ∴A种商品元，B种商品元． 5．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 图表信息问题题型03 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字的和都相等．如图所示的幻方中，若所填入的数均为自然数且不相同，则的值不可能为（   ） 3 11 A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】C 【分析】根据幻方的性质，每行、每列及对角线的和相等，设第二行第二个方格中的数为x，根据性质得出每行每列的和为，然后得出方程，然后代入计算判断即可 【详解】解：设第二行第二个方格中的数为x， A、当时，， 解得：， ∵9与均不相同， ∴a可以为13，选项不符合题意； B、当时，， 解得：， ∵10与3，11，16均不相同， ∴a可以为16，选项不符合题意； C、当时，， 解得：， ∵， ∴a不可以为19，选项符合题意； D、当时，， 解得：， ∵12与3，11，22均不相同， ∴a可以为22，选项不符合题意. 故选：C 2．（25-26七年级·江西上饶·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为_____； 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列方程，即可求解． 【详解】解：设右上角的数为， 如图所示： 5 12 x 7 a 则由题意得：， 解得：， 故答案为：10． 3．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ 【答案】该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个，利用总价单价数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个， 由题意，得，解得． 所以该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个． 4．问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 【答案】(1)（1）班48人，（2）班56人 (2)能，较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元． 【分析】（1）设七年级（1）班有x 人，（2）班有y人，根据“七年级（1），（2）两个班共104人，且以班为单位分别购票一共应付1240元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出七年级（1）班购买51张及48张票所需费用，比较作差后，即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 【详解】（1）解：设七年级(1)班有x人，(2)班有y人，根据题意， 列方程组： 解得：． 答：七年级(1)班有48 人，(2)班有56人． （2）能 若 （1）班先到达乐园，想要单独购票，我建议（1）班购买51张票，购票金额为（张）， ∵购买48张票，购票金额为（元），，（元）， ∴比较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元． 5．学校将学生按年级、班级、班内座号的顺序给每一位学生编号，如7年级12班26号学生的编号为071226．小浩同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在4×4的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij（其中i、j＝1，2，3，4），例如图1中，第2行第3列的数字a23＝1．规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4． (1)若A1表示所在年级，A2表示所在班级，A3表示编号的十位数字，A4表示编号的个位数字．图1是小浩同学的身份识别图案，请直接写出小浩同学的编号为______； (2)小浩同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示所在年级的数加4，A2表示所在年级的数乘2后减2再减所在班级的数，将编号的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A3表示、个位数字用A4表示，9年级5班39号的小方同学，编号为090539，其加密后的身份识别图案中，A1＝9+4＝13，A2＝9×2﹣2﹣5＝11，93+2＝95，所以A3＝9，A4＝5，则加密后的编号为131195． ①请在图2中画出小方同学加密后的身份识别图案； ②图3是小乐同学加密后的身份识别图案，由于被损坏看不清第4行，但已知加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16，请求出小乐同学的编号． 【答案】(1)071143 (2)①见图，②081031 【分析】（1）由规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4，可分别求得A1、A2、A3、A4，从而可得小浩同学的编号； （2）①根据小方同学加密后的编号为131195，从而可求得各行与各列的数，可得图形； ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x，则可得加密后的末两位数为，从而可得原编号中末两位数为10(x−2)+1，根据“加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16”列出方程，即可求得x，从而求得原编号． 【详解】（1）由题意得：，，， 所以小浩同学的编号为071143 故答案为：071143 （2）①小方同学加密后的编号为131195 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 故可得图如下： ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x ∴加密后的编号末两位数为 ∴原编号中末两位数为10(x−2)+1 由题意得：10(x−2)+1=（10+x）+16 解得：x=5 ∴原编号中末两位数为10(5−2)+1=31 由A1=12得加密前的年级为12−4=8，由A2=4得加密前的班级为8×2−2−4=10 所以小乐同学原来的编号为081031． 【点睛】本题材料题，考查了有理数的运算、求代数式的值、解一元一次方程等知识，理解题意是关键． 方案选择问题题型01 1．假期张老师带学生乘车外出参加创新素质实践活动．每张车票元，甲车主说：“每人八折．”乙车主说：“学生九折，老师免费．”张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都一样，则张老师带的学生人数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．17 【答案】A 【分析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：“每人八折”包括老师在内． 设张老师带的学生数为，因为不论坐谁的车，费用都一样，所以根据这个等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设张老师带的学生数为， 依题意得：， 解得：， 答：张老师带的学生数为人． 故选：A． 2．某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置____台电脑时，两种方案的费用相同． 【答案】3 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． 设学校添置x台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答． 【详解】解：设学校添置x台电脑， 由题意，得， 解得：， 答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同； 故答案为：3． 3．某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副的售价为80元，乒乓球每盒的售价为元，国庆节期间该商场决定开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折． 某顾客要在该商场购买20副乒乓球拍和30盒乒乓球． (1)按两种方案购买各需付款多少元（用含的代数式表示）？ (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算． 【答案】(1)按方案一购买需付款元；按方案二购买需付款元 (2)按方案一购买较合算 【分析】本题考查了列代数式与代数式求值的实际应用，解题的关键在于准确理解两种促销方案的规则，分别将实际购买的商品数量与价格对应，转化为数学表达式． （1）列代数式时，需准确理解促销规则：“买赠” 要先算赠送的数量，再算额外购买的数量；“折扣” 要先算原价总和，再乘以折扣比例． （2）代入具体数值计算实际费用，再通过大小比较确定最优方案． 【详解】（1）方案一：∵顾客一共需要盒乒乓球， ∴还需要额外购买盒乒乓球， 乒乓球每盒售价元，额外购买盒乒乓球的费用为元， 则按方案一购买需付款元，化简可得元． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折， 那么购买副乒乓球拍的费用为元， 购买盒乒乓球的费用为元， 所以按方案二购买需付款元，化简可得元． （2）计算方案一的付款金额：可得（元）． 计算方案二的付款金额：可得（元）． 比较两种方案的付款金额： ∵， ∴按方案一购买较合算． 4．中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键． （1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可； （2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可； （3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， 则， 解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 ， 解得， 当通话时间为400分钟时，（元）， （元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 5．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）元旦期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示： 商场 优惠活动 甲 全场商品按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券（比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价390元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择　　 商场购买更实惠； (2)李先生发现在甲、乙两商场同时出售一件标价280元的上衣和一条标价200多元（不足300元）的裤子，最后付款额也一样，求这条裤子的标价； (3)丙商场又推出“先打折，再参与每满100减50元”的活动．李先生买了一件标价为400元的上衣，付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，求丙商场先打了多少折后再参加活动？ 【答案】(1)丙 (2)220元 (3)九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据甲、乙、丙三家商场给出的优惠方案，可求出选择各商家所需费用，比较后即可得出结论； （2）设这条裤子的标价为元，根据在甲、乙两商场付款额相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设丙商场先打了折后再参加活动，分及两种情况考虑，根据付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：选择甲商场所需费用为（元， 选择乙商场所需费用为（元； 选择丙商场所需费用为（元； ， 李先生应选择丙商场购买更实惠． 故答案为：丙； （2）解：设这条裤子的标价为元， 根据题意得， 解得， 答：这条裤子的标价为220元； （3）解：设丙商场先打了折后再参加活动， 当时，， 解得； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）． 答：丙商场先打了九折后再参加活动． 动点问题题型02 1．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论的序号是（   ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2． 【详解】解：依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1； 根据此规律即可推导判断：①和②，显然正确； ③中， 108÷5=21……3，故x108=21+3=24，104÷5=20……4，故x104=20+2=22，24＞22，故错误； ④中，2018÷5=403……3，故x2018=403+3=406，2019÷5=÷5=403……4，故x2019=403+2=405，故正确． 故选D． 【点睛】本题以数轴为载体考查归纳探索能力，确定循环次数和第n次的对应数字是解题的关键． 2．数轴上，两点对应的数分别为和90，假如两只蚂蚁分别从，两点出发，分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度匀速相向而行，经过______秒，两只蚂蚁相遇． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据“两只蚂蚁的路程和等于的长度”列方程求解． 【详解】解：经过秒，两只蚂蚁相遇， 则：， 解得：， 故答案为：20． 3．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知数轴上的点表示的数是8，点是数轴上在左侧的一点，且两点之间的距离为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负方向运动，设运动时间为秒． (1)点在数轴上表示的数是_________________； (2)请求出当为何值时，？ 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据数轴上两点距离及点表示的数是8进行求解即可； （2）由题意易得点P在数轴上表示的数为，，则有，然后可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵点表示的数是8， ∴点在数轴上表示的数是； 故答案为； （2）解：由题意可得：点P在数轴上表示的数为，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即当时，． 4．操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)， (1)折叠纸面，使表示的点1与－1重合，则－2表示的点与 　 表示的点重合； (2)折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ① 5表示的点与数 　 表示的点重合； ②表示的点与数 　 表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 　 、点B表示的数是 　 . (3)已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 【答案】（1） 2； （2）①－3 ； ②；③A: －3.5，B: 5.5 ；（3）a=2或a=－2 【分析】（1）根据折叠的性质可直接得出答案； （2）由－1表示的点与3表示的点重合可以得出对称点为1表示的点，则①表示5的点与对称点的距离为4，与在左侧距对称点距离为4的点重合，从而得出点表示的数；②表示的点到对称点距离为-1，与在左侧距对称点距离为-1的点重合，从而得出点表示的数；③由题意可得A、B两点距离对称点的距离为4.5，之后据此进一步求解即可； （3）分A向左运动或向右运动两种情况分类讨论求解即可. 【详解】(1)∵折叠纸面，使表示的点1与－1重合， ∴对称点为原点，∴－2表示的点与2表示的点重合， 所以答案为2； (2)∵－1表示的点与3表示的点重合， ∴对称点为1表示的点， ∴①表示5的点与对称点的距离为4，∴与在左侧距对称点距离为4的点重合， ∴此时该点表示的数为-3； ②∵表示的点到对称点距离为-1，∴与在左侧距对称点距离为-1的点重合， ∴此时该点表示的数为2-； ③∵A、B两点之间距离为9， ∴A、B两点距离对称点的距离为4.5， ∵对称点是1表示的点， ∴A表示的数为：－3.5，B表示的数为：5.5； (3)①A往左移4个单位：，a=2； ②A往右移4个单位：，a=－2. 综上所述，a的值为2或-2. 【点睛】本题主要考查了数轴上动点与折叠对称的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 5．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 【答案】(1)； (2) (3)当为秒或秒或秒时重叠部分面积为 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的知识，解题的关键根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式，根据题意，进行解答，即可． （1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即． 【详解】（1）解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动 ∴当时，表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为单位长度时，， ∴． （3）解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 当，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.5 一元一次方程的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 销售问题 题型04 数字问题 题型05 几何问题 题型06 和差倍分问题 题型07 电费水费问题 题型08 行程问题 题型09 日历问题 题型10 古代问题 题型11 其他问题 B组 能力进阶 题型01 比赛积分问题 题型02 比例分配问题 题型03 图表信息问题 C组 思维拔高 题型01 方案选择问题 题型02 动点问题 配套问题题型01 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．设把张白铁皮制盒身，则可列方程为_______________． 3．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身15个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有140张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 4．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人．每个工人平均每天可以生产螺丝50个或螺母120个． (1)该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 工程问题题型02 1．（25-26七年级·浙江杭州·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 2．已知一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，4h可把空水池灌满；单独开乙水龙头，6h可把空水池灌满．若要灌满水池，则要同时开甲、乙两个水龙头_________h． 3．列方程解应用题： 整理一批数据，由一人做需完成现在计划先由一些人做，再增加5人做，完成这项工作的．怎样安排参与整理数据的具体人数？ 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天．已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 5．修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成．如果甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的，问：这一段公路全长多少米？ 销售问题题型03 1．某商店有两进价不同的耳机都卖120元，其中一个盈利，另一个亏本，在这次买卖中，这家商店（    ） A．赔10元 B．赔36元 C．赚10元 D．不赔不赚 2．一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打8折出售，结果获利56元，如果设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程为______． 3．某商场把某种排球按进价提高进行标价，再打折优惠出售，这样每个排球就可盈利21元，已知这种排球的进价是60元，请问商场是打 _____ 折进行优惠出售的． 4．某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.2元，从产地到商店的距离是400km，运费为每吨货物每运1km收1.50元，如果在运输及销售过程中的损耗为10%，商店要想获得其成本的25%的利润，零售价应是每千克多少元？ 5．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①若一次性购物商品总价不超过100元，则不予优惠； ②若一次性购物商品总价超过100元，但不超过300元，给予九折优惠； ③若一次性购物商品总价超过300元，其中300元以下部分（包括300元）给予九折优惠；超过300元部分给予八折优惠．小李前后分两次去该超市购物，分别付款234元和94.5元． （1）求小李第一次购物所购商品的总价是多少元？ （2）小张决定一次性购买小李分两次购买的商品，他可以比小李节约多少元？ 数字问题题型04 1．一个数乘它与12的和，积恰好等于这个数的3倍．若设这个数为a，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 3．一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小27，原来的两位数是______. 4．（25-26七年级上·山西太原·月考）阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数.事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可以看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例. 例：将化成分数，解决方法如下. 设，即， 将方程两边都乘10，得，即. 又因为，所以，所以， 所以，所以. 任务： (1)请利用材料中给出的方法，把化成分数； (2)把化成分数为_____． 5．定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）． 若，为整数，我们称为“倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；，则称1940为“倍数”；，因为不是整数，所以2548不是“倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“倍数”，若是，直接写出的值； (2)若一个三位数为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为（即），十位数字和个位数字组成的两位数记为（即）．若为整数，求这个四位数． (4)若一个四位数为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，为“倍数”，直接写出满足条件的的最大值． 几何问题题型05 1．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽？设这枚纪念币的长宽分别为，，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．若一个角的补角比这个角大，则这个角是______． 3．（25-26七年级上·广东阳江·月考）有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20厘米，倒立时空余部分高度为5厘米，则瓶内现有饮料______立方分米． 4．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，就可以成为一个正方形．求正方形的边长． 5．网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少；竹筒空心部分底面直径为，竹筒内部总高；先装入奶茶，奶茶高度为．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高，母线长． (1)求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； (2)若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； (3)为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比（冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 和差倍分问题题型06 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）某班共有学生45人，男生比女生多3人．设女生有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．今年儿子8岁，父亲40岁，a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 3．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地工作量是乙工地工作量的倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去了甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有_______人． 4．把10000元奖学金按照两种奖项奖给20名学生，其中一等奖每人800元，二等奖每人400元．获得一等奖的学生有多少人？ 5．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 电费水费问题题型07 1．如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0＜x≤200 0.48 200＜x≤400 0.53 x＞400 0.78 七月份是用电高峰期，李叔七月份用电量为300度，直接写出李叔家七月份应缴纳的电费为__________元． 3．（25-26七年级上·质检）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 4．（25-26七年级上·上海·月考）上海普通出租车的收费标准为：起步价为14元，这覆盖了最初的3公里行程．超过3公里后，每公里的收费是3元，如果乘客的行程超过15公里，将触发超运距加价，费用按照起步里程单价每公里加价计算．在不考虑等待和低速费用的情况下，回答下列问题： (1)如果小明家到体育公园西门的车子行驶距离是公里，请用含a的代数式表示他从家乘坐普通出租车到体育公园西门应付款多少元？ (2)某天小明从家乘坐普通出租车去上海图书馆，付款元，请用含的代数式表示出租车共行驶了多少公里？ 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限将分别增加，，同时，第二、三阶梯年用气量的下限随着调整，每一阶梯的价格保持不变 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为 ．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用_______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用_______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人，某年甲、乙两户年用气量之和为 ，甲户年用气量大于乙户年用气量．设甲用户年用气量为 ，请用 x 分别表示甲、乙两户需缴纳的燃气费． (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，按上表的收费标准进行收费．假定每名员工的年用气量为 ，要使该公司员工宿舍当年缴纳总天然气费用最低，则3人间的房间数为多少？ 行程问题题型08 1．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度是60kw/h，水流速度是akm/h，3h后两船相距（   ） A．6a千米 B．3a千米 C．180千米 D．360千米 2．甲乙两地相距180km，一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，再此过程中，两车恰好相距10km的次数是（         ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．渔夫在静水中的划船速度是5km/h，水流速度是3km/h．现在逆水行舟，一阵风把他的帽子吹落在水中，他没有发现，继续向前划行，等他发觉时人与帽子相距2.5km．从帽子丢失到渔夫发觉经过了________h． 4．（24-25七年级·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 5．【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是________米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是_________米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是_______． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 日历问题题型09 1．在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 2．（25-26七年级·山东滨州·期末）如果某年某月中恰好有5个“星期日”，且这5个“星期日”对应日期的号数之和为75，那么这个月中日期为10号的那一天应该是星期（    ） A．一 B．二 C．四 D．五 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为______时，三个日期数之和为69． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）第四章《整式的加减》的数学活动1“月历中的奥秘”的探究过程想必同学们记忆犹新吧．如图是2024年12月的月历，“T”字型带阴影框图内有5个数，不改变带阴影框图的大小，在月历中移动“T”字型框图的位置，若框图内的5个数的和为71，则这五天中最早的一天是12月几号？（请用学过的方程知识解答） 5．（25-26七年级·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 古代问题题型10 1．（24-25七年级上·天津·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：＂今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数，物价各几何？＂题目大意是：有几个人一起购买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人？该物品的价格是多少？若设人数共有人，则列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（     ） A．设井深x尺，所列方程为 B．设绳子的长为x尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 3．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为______． 4．（25-26上·上海·质检）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，这样一共走了六天才到达目的地，请问此人第三天走了多少里？    其他问题题型11 1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是（    ） A．18 B．22 C．23 D．以上答案都不对 3．小明去文具店购买笔记本．已知每本笔记本的售价为5元，他付给收银员元后，找回了元．若设小明购买了本笔记本，根据题意列出关于的一元一次方程__________． 4．某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ________________． 5．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口、温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为(整个接水的过程不计热量损失)． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于 温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯600的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为___________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯550的水，如果接水的时间一共是30秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求丙同学接温水的时间． 比赛积分问题题型01 1．某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江西上饶·期末）足球比赛积分规则如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分．若设胜场数为x，则列方程为________________． 3．（25-26七年级上·福建福州·月考）足球比赛的积分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，输一场得0分，勇士队参加了12场比赛共得22分，已知这支队伍只输了2场，那么胜了几场？ 4．某次篮球联赛中，每队都要进行14场比赛，部分代表队积分如下表： 比赛场数 胜场数 负场数 积分／分 队 14 10 4 24 队 14 7 7 21 根据表格提供的信息解答下列问题． (1)列方程求出胜一场、负一场分别积多少分． (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 5．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 比例分配问题题型02 1．一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 2．已知三个数的比是2：3：7，这三个数的和是144，则这三个数最大数为_____． 3．为进一步改善生态环境，村委会决定将一块土地分成甲，乙，丙三个区域来种树．村委会将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，丙区域面积未出错，造成现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的．为了协调三个区域的面积占比，村委会重新调整三个区域的面积，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域．如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，那么村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为_________． 4．A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 5．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 图表信息问题题型03 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字的和都相等．如图所示的幻方中，若所填入的数均为自然数且不相同，则的值不可能为（   ） 3 11 A．13 B．16 C．19 D．22 2．（25-26七年级·江西上饶·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为_____； 3．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ 4．问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 5．学校将学生按年级、班级、班内座号的顺序给每一位学生编号，如7年级12班26号学生的编号为071226．小浩同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在4×4的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij（其中i、j＝1，2，3，4），例如图1中，第2行第3列的数字a23＝1．规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4． (1)若A1表示所在年级，A2表示所在班级，A3表示编号的十位数字，A4表示编号的个位数字．图1是小浩同学的身份识别图案，请直接写出小浩同学的编号为______； (2)小浩同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示所在年级的数加4，A2表示所在年级的数乘2后减2再减所在班级的数，将编号的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A3表示、个位数字用A4表示，9年级5班39号的小方同学，编号为090539，其加密后的身份识别图案中，A1＝9+4＝13，A2＝9×2﹣2﹣5＝11，93+2＝95，所以A3＝9，A4＝5，则加密后的编号为131195． ①请在图2中画出小方同学加密后的身份识别图案； ②图3是小乐同学加密后的身份识别图案，由于被损坏看不清第4行，但已知加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16，请求出小乐同学的编号． 方案选择问题题型01 1．假期张老师带学生乘车外出参加创新素质实践活动．每张车票元，甲车主说：“每人八折．”乙车主说：“学生九折，老师免费．”张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都一样，则张老师带的学生人数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．17 2．某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置____台电脑时，两种方案的费用相同． 3．某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副的售价为80元，乒乓球每盒的售价为元，国庆节期间该商场决定开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折． 某顾客要在该商场购买20副乒乓球拍和30盒乒乓球． (1)按两种方案购买各需付款多少元（用含的代数式表示）？ (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算． 4．中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 5．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）元旦期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示： 商场 优惠活动 甲 全场商品按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券（比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价390元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择　　 商场购买更实惠； (2)李先生发现在甲、乙两商场同时出售一件标价280元的上衣和一条标价200多元（不足300元）的裤子，最后付款额也一样，求这条裤子的标价； (3)丙商场又推出“先打折，再参与每满100减50元”的活动．李先生买了一件标价为400元的上衣，付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，求丙商场先打了多少折后再参加活动？ 动点问题题型02 1．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论的序号是（   ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．数轴上，两点对应的数分别为和90，假如两只蚂蚁分别从，两点出发，分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度匀速相向而行，经过______秒，两只蚂蚁相遇． 3．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知数轴上的点表示的数是8，点是数轴上在左侧的一点，且两点之间的距离为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负方向运动，设运动时间为秒． (1)点在数轴上表示的数是_________________； (2)请求出当为何值时，？ 4．操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)， (1)折叠纸面，使表示的点1与－1重合，则－2表示的点与 　 表示的点重合； (2)折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ① 5表示的点与数 　 表示的点重合； ②表示的点与数 　 表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 　 、点B表示的数是 　 . (3)已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $