浙江省杭州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各事件是，是必然事件的是(    ) A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是 B. 某同学投篮球，一定投不中 C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为 2.将二次函数的图象向上平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 3.下列成语所描述的事件，是随机事件的是(    ) A. 水涨船高 B. 一箭双雕 C. 水中捞月 D. 一步登天 4.如图，是的直径，是的弦，，垂足为若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 6.关于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A. 它可由向右平移一个单位得到 B. 开口向下 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 7.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，为的直径，构造四边形，且弦，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是(    ) A. B. C. D. 10.已知为的外接圆，过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.二次函数的图象与轴的交点坐标为          ． 12.若二次函数的图象经过点，则的值为          ． 13.已知的半径长为，若点在外，则线段的长度为          写出一个正确的值即可 14.如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，则 ______． 15.如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接若，，则的最大值为______． 16.已知以为直径的圆，为弧的中点，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为        ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． 该圆弧所在圆的圆心坐标为______； 求该圆的半径． 18.本小题分 如图，，为直径，弦，分别交半径，于点，，且． 求证：． 若，且，求的度数． 19.本小题分 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． 将绕点顺时针方向旋转得到点对应点，画出． 请找出过，，三点的圆的圆心，标明圆心的位置． 20.本小题分 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 某校学生睡眠时间各类别人数情况统计图    学生类别 学生平均每天睡眠时间单位：小时 扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为          ． 请补全条形统计图． 被抽取调查的类名学生中有名女生，名男生．从这人中随机抽取人进行电话问访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生的概率． 21.本小题分 如图是一块篱笆围成的矩形土地，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知篱笆的总长为米厚度不计设米，米． 用含有的代数式表示． 设矩形土地面积为平方米，当时，求的最大值． 22.本小题分 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数，且为整数构成一种函数关系．每平方米种植株时，平均单株产量为千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克． 求关于的函数表达式． 每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 23.本小题分 已知是的直径，点在上，为弧的中点． 如图，连接求证：； 如图，过点作交于点，直径交于点，若为中点， 求证：； 若的半径为，求的长． 24.本小题12分 如图，内接于，是的直径，是上一点，弦交于点，弦于点，连接、，且． 求证：； 求证：； 若，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可． 【详解】解：、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是，是随机事件，不符合题意； B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意； C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意； D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 根据二次函数图象平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：， 故选：． 3.【答案】  【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解：、水涨船高是必然事件，故A错误； B、一箭双雕是随机事件，故B正确； C、水中捞月不可能事件件，故C错误； D、一步登天是不可能事件，故D错误； 故选B． 4.【答案】  【解析】解：是的直径，是的弦，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：． 首先根据垂径定理得，在中，根据，得，由此可得的长． 此题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由表格数据可得，当时，，当时，， 于是可得，当时，相应的自变量的取值范围为， 故选：． 根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当时，相应的自变量的取值范围即可． 本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由负变为正时，自变量的取值即可． 6.【答案】  【解析】解：抛物线可以由二次函数的图象向左平移个单位得到， 故A选项不符合题意； ，所以开口向上， 故B选项不符合题意； 顶点坐标为， 故C选项不符合题意； 根据顶点坐标以及开口向上可判定与轴有两个交点，故D选项符合题意； 故选：． 由二次函数，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；平移的性质；对每个选项分析、判断即可． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点． 7.【答案】  【解析】解：抛物线与轴有个交点， ， ，选项A正确． 时，， ，选项B正确． 由图象可得时， ，选项C正确． 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，选项D错误． 故选：． 由抛物线与轴交点个数可判断可判断选项，由图象可得时，可判断选项．由图象可得时可判断选项．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断选项D． 本题考查二次函数图象与系数的关系．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 8.【答案】  【解析】此题考查圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识． 连接，由平行线的性质得到，由得到，由四边形是的内接四边形即可得到的度数． 【详解】解：连接， 弦，， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂径定理和点是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为， ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， 即的半径为． 故选：． 10.【答案】  【解析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，连接，根据得到垂直平分，据此逐个判断即可． 【详解】解：连接交于，延长交于，连接， ， ，， 垂直平分， ，， 设， ， ， 当时成立，故 A选项不一定成立； 过作的垂线交延长线于点， ，， ，，， ，故 B选项一定成立； 所对圆周角，对圆周角，与大小不确定， 与大小不确定，即与大小不确定，故 C选项不一定成立， 中， ， 中， ，故 D选项一定不成立， 综上所述，选项一定成立的是， 故选：． 11.【答案】  【解析】令，求得的值即可． 【详解】令，得， 二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】直接把点代入到二次函数解析式中求解即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 故答案为：． 13.【答案】答案不唯一  【解析】要确定点与圆的位置关系，确定点与圆心的距离与半径的大小关系即可求解． 【详解】解：由题意，得 线段的长度可以为． 故答案为：答案不唯一． 14.【答案】  【解析】解：绕点逆时针旋转得到， ，， ． ． 故答案为：． 根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到于是得到结论． 此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：点，分别是，的中点， ， 当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 连接并延长交于点，连接， 是的直径， ． ，， ， ， ． 故答案为：． 根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 本题考查了三角形外接圆与外心，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候的值最大，难度不大． 16.【答案】  【解析】解：如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，． 的直径为，为的中点， ， 又， ， ，， 点的运动轨迹为以为圆心，为半径的， 又，为的中点， 是等腰直角三角形， ， 中，， ， ， 的最小值为． 故答案为． 以为斜边作等腰直角三角形，则，依据，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的，依据中，，即可解决问题． 本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点的运动轨迹是解决问题的关键． 17.【答案】  【解析】解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点，则点即为圆心， 故答案为：； 连接，设的中点为， ，， ， 连接，作弦和的垂直平分线交于点，则点即为圆心； 根据勾股定理即可求得半径． 本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质，解题的关键是根据垂径定理找到圆心的位置． 18.【答案】【小题】 证明：， ． ，为直径， ， ， 即． ，所对的弧分别是，， ． 【小题】 解：， ，． ． ， ．   【解析】  本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键． 证明即可得出结论；   求出，得，根据可得结论． 19.【答案】【小题】 解：如图，即为所求；    【小题】 解：如图，点即为所求．   【解析】  本题考查画旋转图形、圆的定义、勾股定理，正确确定圆心是解答的关键． 根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形；   找格点，连接，，，根据网格特点和勾股定理求得，根据圆的定义可得，，三点共圆，则点即为所求圆心． 20.【答案】【小题】 【小题】 的人数为：人， 补全条形统计图如下：    【小题】 画树状图如下：    共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生的结果有种， 恰好抽到名男生的概率．   【解析】  本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识， 由的人数除以所占百分比得出本次抽取调查的学生人数，进而即可解决问题； 【详解】本次抽取调查的学生共有人， 扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为， 故答案为：；   求出的人数，补全条形统计图即可；   画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生的结果有种，再由概率公式求解即可； 熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解决此题的关键． 21.【答案】【小题】 由题意可得，， 整理得； 【小题】 根据题意得， ，开口向下， ， 当时，取得最大值，．   【解析】  本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意求最值时要在自变量的取值范围内． 根据题意可以周长列出的关系式即可；   长乘宽表示出面积，再用二次函数的性质即可求范围． 22.【答案】【小题】 解：每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克， ，且为整数； 【小题】 解：设每平方米小番茄产量为千克， ． 当时，有最大值千克． 答：每平方米种植株时，能获得最大的产量，最大产量为千克．   【解析】  由每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克，即可得求得解析式；   设每平方米小番茄产量为千克，由产量每平方米种植株数单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 23.【答案】【小题】 证明：为的中点， ， ， ， ， ， ； 【小题】 证明：为中点，为直径 ， ， ，则， 是的直径，， ， ， 解：， ， ， 是等腰直角三角形， 的半径为， ．   【解析】  本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等；内错角相等，两直线平行；垂直于弦的直径平分弦． 根据为的中点，推出，再根据，推出，进而得出，即可求证；   根据垂径定理得出，则，再根据是的直径，，得出，即可得出，根据，得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 24.【答案】证明：是的直径， ， ， ， ， ， ； 证明：，， 由知，， ， ， ， ， ； 解：连接、， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ：：， ：：， ， ， ．  【解析】由互为余角的概念，即可证明； 由圆周角定理，即可证明； 由平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，即可求解． 本题考查平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，圆周角定理，互为余角的概念，关键是掌握并熟练应用以上知识点． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$