精品解析：山东省山东师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中阶段性测试数学试题

2024年11月山东师大附中高一阶段性测试数学试题 数 学 命题：刘强 审题：房华 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选： 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数a的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特称量词命题的真假性对分类讨论即可得解. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以实数a的范围为. 故选：C. 3. 已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】在y轴左侧作函数关于y轴对称的图象，得到偶函数的图象，向上平移一个单位得到的图象． 故选:D． 4. 已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的定义得出的值，结合的图像与坐标轴没有公共点，确定，代值计算即可得出答案． 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 则或， 又因为的图像与坐标轴没有公共点， 所以，则， 故选：C． 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 则对于函数，需满足， 解得，即函数的定义域为. 故选：D. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正数满足，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值6. 故选：C 8. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件结合函数奇偶性与单调性的性质，判断出的值的正负情况，所求不等式等价变形为或，求解即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则， 又在上单调递增，， 则在上单调递增，，， 所以，当时，；当时，， 可化为， 可得或， 即或， 解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为U，集合A，B满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由集合的运算即可得解. 【详解】全集为U，集合A，B满足，当且仅当， 所以，故A正确；，即不一定成立，故B错误； 对于C，若是的真子集，则不成立， 对于D，正确. 故选：AD. 10. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】举特例可判断选项A，C，D，构造函数可判断选项B． 【详解】对于A，取，则，选项A错误； 对于B，由于函数在上单调递增， 又，则，选项B正确； 对于C，取，则，选项C错误； 对于D，取，则，选项D错误． 故选：ACD． 11. 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】由③可知的图象关于点对称，即可判断B；赋值可求，，，，，，即可判断C，结合①分析AD即可. 【详解】由可知：的图象关于点对称，故B正确； 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 因为，可知在上不是单调递增，故A错误； 且任意，，可知当时，， 由，令，可得，即，故C正确； 由，令，可得，即， 且任意，，可知当时，， 又因为当时，， 可知当时，，所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义即得. 【详解】当时，，则， 因为函数为奇函数， 所以，即. 所以当时，. 故答案为：. 13. 已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件等式结合基本不等式求出即可； 【详解】因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，所以， 故答案为：. 14. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，分析的取值范围，结合图象，得出的最值情况确定的取值范围. 【详解】设，则，得. ， 令，则， 所以，得， 又既有最大值又有最小值， 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值和最小值，符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值，无最小值，不符合题意； 综上，，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算化简下列各式 （1）化简： （2）若（其中），分别求出与的值： （3）化简： 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】由指数幂的运算直接化简运算即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，； ； 【小问3详解】 . 16. 已知函数（）. （1）若不等式恒成立，求m的取值范围； （2）解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立，转化为恒成立，分类讨论，结合二次函数的性质列出不等式组，即可求解； （2）由不等式，得到， 结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； 【小问1详解】 当时，，不满足恒成立，舍去； 当时，由二次函数的性质可得， 解得， 所以m的取值范围为. 【小问2详解】 由不等式，可得， 即， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，不等式可化为， ①当时，不等式等价于，解得或， 不等式的解集为； ②当时，不等式等价于， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 如图，在周长为8的矩形ABCD中（其中），现将沿AC折叠到，设与CD交于点E，设. （1）求证：的周长为定值； （2）试用x表示的长，并求x的取值范围； （3）当x为何值时，的面积S取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）证明：由题意可知, 所以,所以, 所以（定值）. 所以的周长为定值4. （2）， （3）当时，的面积取得最大值，为 【解析】 【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长； （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围； （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由折叠可知, 所以，即, 由（1）知,即，所以， 在直角△中，由勾股定理可得， 即，化简得， 因为,，所以且，即， 所以，； 【小问3详解】 在Rt中,, 所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值，为. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求出的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明该结论； （3）解不等式. 【答案】（1） （2） 在上为减函数；证明如下： 证明：设， 又由，则，，， 则有，即函数在上为减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称和求出即可； （2）利用定义法证明,当时，，从而判断函数是单调递减的； （3）利用奇函数和减函数解抽象函数不等式，再配合分式不等式的解法求出即可； 【小问1详解】 由奇函数的定义域关于原点对称，所以， 又，所以， 所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 即， 因为是定义域为的奇函数，所以， 又函数在上为减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 19. 设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. （Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （Ⅱ）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】 （Ⅰ）∵，， ∴. ∴. 即对任意的，都有成立. ∴函数的图象关于点对称. （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意计算可得； （Ⅱ）首先求出的值域，若对任意的，总存在，使得成立，则函数值域为函数的值域的子集，再利用二次函数的性质分类讨论可得. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）∵，易知在上单调递增. ∴在时的值域为. 记函数，的值域为. 若对任意的，总存在，使得成立，则 . ∵时，， ∴，即函数的图象过对称中心. （i）当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调递增. ∴函数在上单调递增. 易知.又，∴，则. 由，得，解得. （ii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由对称性，知在上单调递增，在上单调递减. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∴结合对称性，知或. ∵，∴. 又，∴. 易知.又， ∴. ∴当时，成立. （iii）当，即时，函数在上单调递减. 由对称性，知在上单调递减. ∴函数在上单调递减. 易知.又， ∴，则. 由，得.解得. 综上可知，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查函数新定义，含参二次函数的值域问题，典型的动轴定区间问题，考查分类讨论思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年11月山东师大附中高一阶段性测试数学试题 数 学 命题：刘强 审题：房华 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数a的范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为U，集合A，B满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________. 13. 已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________. 14. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算化简下列各式 （1）化简： （2）若（其中），分别求出与的值： （3）化简： 16. 已知函数（）. （1）若不等式恒成立，求m的取值范围； （2）解不等式. 17. 如图，在周长为8的矩形ABCD中（其中），现将沿AC折叠到，设与CD交于点E，设. （1）求证：的周长为定值； （2）试用x表示的长，并求x的取值范围； （3）当x为何值时，的面积S取得最大值，并求出该最大值. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求出的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明该结论； （3）解不等式. 19. 设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. （Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （Ⅱ）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $