精品解析： 辽宁省凌海市2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

凌海市2024—2025学年度第一学期九年级期中测试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组长度线段，成比例线段的是（ ） A. 2，4，4，8 B. 2，4，6，8 C. l，2，3，4 D. 2.l，3.l，4.3，5.2 2. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 且 3. 如图，中，，，平分交于点，点为中点，连接，则的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为（ ） A. x2＋（x＋6）2＝102 B. x2＋（x＋6）2＝12 C. x2＋（x﹣6）2＝102 D. x2＋（x﹣6）2＝12 8. 如图，在中，分别是的边上中线，则（　　） A. B. C. D. 9. 如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ） A. 1021 B. 1022 C. 1023 D. 1024 10. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，，．点P和点E分别为、上的动点，求的最小值（ ） A. 14.4 B. 16 C. 17 D. 18.6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若 ，则 的值为_____． 12. 一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个． 13. 若方程是关于的一元二次方程，则______． 14. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，试根据题意求的值______． 15. 如图，在矩形中，10，，点，分别在，上，且，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为_________． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 解方程： （1） （2） 四、解答题：本题共6小题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元．若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； 18. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形 （2）若6，，求矩形的面积． 19. 如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长F交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求长． 20. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 21. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为万元，在销售过程中发现，年销售量（万件）与销售单价（元）之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过元，该公司销售该种产品当年获利100万元，求当年的销售单价． 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形； （2）当为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形周长和面积． 23. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：． 【拓展提升】 （3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 凌海市2024—2025学年度第一学期九年级期中测试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是（ ） A 2，4，4，8 B. 2，4，6，8 C. l，2，3，4 D. 2.l，3.l，4.3，5.2 【答案】A 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、∵2×8=4×4，故此选项正确； B、∵2×8≠4×6，故此选项错误； C、∵1×4≠2×3，故此选项错误； D、∵2.1×5.2≠3.1×4.3，故此选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 2. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式，一元二次方程的一般形式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与其判别式之间的关系是解题的关键． 由一元二次方程的一般形式可得，根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此建立一元一次不等式，解之即可得解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：， 的取值范围是且， 故选：． 3. 如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线性质；根据等腰三角形三线合一求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：，平分， ，， ，点为的中点， ， ∴的周长， 故选：D． 4. 如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 5. 如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质等知识点，准确找出成比例的对应线段是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 故选：． 6. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x， 已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得x=1， 故菱形的对角线分别为8cm和6cm， 所以菱形的面积=×8×6=24cm2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单． 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为（ ） A. x2＋（x＋6）2＝102 B. x2＋（x＋6）2＝12 C. x2＋（x﹣6）2＝102 D. x2＋（x﹣6）2＝12 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可． 【详解】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程： x2+（x+6）2＝102， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正确应用勾股定理是解题关键． 8. 如图，在中，分别是的边上中线，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，根据中位线的性质得，从而得，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：∵分别是的边上中线， ∴D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如果a是一元二次方程根，则代数式的值为（ ） A. 1021 B. 1022 C. 1023 D. 1024 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴， ， ∴， 则， 故选：D． 10. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，，．点P和点E分别为、上的动点，求的最小值（ ） A. 14.4 B. 16 C. 17 D. 18.6 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，则此时的、满足最小，然后利用菱形的性质可得，且、互相平分，平分，利用角平分线的性质可得，由垂线段最短可知，的最小值即为线段的长度，进而利用勾股定理求出的长度，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则此时的、满足最小， 四边形是菱形， ，且、互相平分，平分， ， ， 垂线段最短， 的最小值为线段的长度， ，， ，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质等知识点，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若 ，则 的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据比例的性质若，则有解答即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，理解运用该性质是解题的关键． 12. 一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】首先求出摸到的红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球的个数． 【详解】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到红球， ∴摸到红球的频率是． ∵袋子中有红球、白球共20个， ∴这个袋子中红球约有（个）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值此即概率，同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：根据=所求情况数与总情况数之比． 13. 若方程是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式为．易错点在于这个条件容易被忽略．根据一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得， 故答案为：． 14. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，试根据题意求的值______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均每次降价的百分率为，依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，10，，点，分别在，上，且，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为_________． 【答案】或20 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，当点在矩形内部时，由矩形的性质得到，根据已知条件得到，推出四边形的矩形，得到，，根据折叠的性质得到，C′E=CE，根据勾股定理得到，根据矩形的判定和性质得到，再由勾股定理即可得到结论；同理，当点在矩形外部时，方法同上可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的矩形， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解得：． 如图，在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 解答：， 故答案为：或20． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项、然后再运用因式分解法解一元二次方程即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （2）先移项、然后再运用因式分解法解一元二次方程即可；掌握整体法及运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解： 所以． 【小问2详解】 解： 所以． 四、解答题：本题共6小题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元．若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为230元，只选择方案一进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： ∵共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， ∴该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为． 18. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形 （2）若6，，求矩形面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形； （2）首先推知是等边三角形，所以，则，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； 【小问2详解】 在菱形中，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 矩形的面积是． 19. 如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长F交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键． （1）由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论； （2）由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由，得出，可求得的长度，进而可以解决问题． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形，且， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，为的中点， ． 在中，， 由（1）知，， ， ， ， ． 20. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 【答案】36米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， ∴ ， ，，8， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ∴ ， 即， 解得：， 凌霄塔的高度为36米． 21. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为万元，在销售过程中发现，年销售量（万件）与销售单价（元）之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过元，该公司销售该种产品当年获利100万元，求当年的销售单价． 【答案】（1）； （2）当年的销售单价为元． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，一次函数的应用． （1）设直线为，把已知坐标代入求出k，b的值后可求出函数解析式； （2）根据题意可知列出一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设，它过点，， 则， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：， 解得，， ∵， ∴， 答：当年的销售单价为元． 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形； （2）当为何值时，四边形菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】（1） （2） （3）周长为，面积为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：． 【拓展提升】 （3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】对于（1），先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形为矩形，再根据得，即可得出答案； 对于（2），先根据“等角对等边”得，进而确定，再根据三角形面积相等得，然后由（1）得出答案； 对于（3），设，的交点为，并作，根据得出，再根据“等角对等边”得，再根据勾股定理求， 进而求出，然后由，求出，可得，再证明，根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）结论：四边形为正方形． 理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． ， ． 矩形为正方形； （2）证明：， ， ， ． ，即， ， ， ． 由（1）得， ； （3）解：如图，设，的交点为，过作于点， ， ，，，，， ． ， ， ． ， 点G是的中点， 由勾股定理得， ． ， ， 即， ． ，，， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，余弦等，勾股定理是求线段的长的常用方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$