北京市海淀外国语学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年北京市海淀外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将方程化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是(    ) A. 2，5 B. 2， C. ，5 D. ， 2.关于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 3.二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 2 4 5 … y … 1 1 … 下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最大值是2 D. 抛物线与x轴只有一个交点 4.如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图所示，对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 6.已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表 x …… 0 2 4 5 …… …… 0 1 3 5 6 …… …… 0 0 5 9 …… 当时，自变量x的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形ABCD中，，点E在AB边上，以BE为边向上作正方形在AE上取点H，连结HF，以HF为边作正方形NFHM，连结若点M落在边AD上，则DN的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共19分。 9.方程的解是______. 10.已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，y随x的增大而增大.请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______. 11.点是抛物线上一点，则m的值是______，点 M关于原点对称的点的坐标是______. 12.将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为______. 13.如图，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则的面积为______. 14.已知二次函数的图象经过点和若，则m的取值范围是______. 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为，，点C在函数的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形，点D的对应点落在抛物线上，则点C的坐标为______，点D与其对应点间的距离为______. 16.社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为则道路的宽是______ 三、解答题：本题共12小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题2分 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线下列说法： ①； ②； ③为全体实数； ④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为其中正确的有______. 18.本小题4分 解方程： 19.本小题5分 已知，求代数式的值. 20.本小题6分 已知关于x的一元二次方程 当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； 当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值. 21.本小题6分 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作于点F，过点O作于点 求证：四边形EFGO是矩形； 若四边形ABCD是菱形，，，求OG的长． 22.本小题6分 已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题. 抛物线与x轴的另一个交点坐标：______； 不等式的解是______； 随x的增大而减小的自变量x的取值范围是______； 求出抛物线的解析式及顶点坐标. 23.本小题5分 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点 求该函数的解析式及点C的坐标； 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出m的取值范围. 24.本小题6分 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦每串冰糖葫芦由5颗山楂制成同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到的山楂.甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量单位：，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. 甲同学的山楂重量的折线图： 乙同学的山楂重量： 8，，，，，，，，，，10，10，10，10，10 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 m 乙 n 根据以上信息，回答下列问题： 写出表中m，n的值； 对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好. ①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦.据此推断：品相更好的是______填写“甲”或“乙”； 甲 乙 ②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大.他已经选定的三颗山楂的重量分别为，，，则选出的另外两颗山楂的重量分别为______和______； 估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦. 25.本小题5分 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系已知，，落点P的水平距离是40m，竖直高度是 点A的坐标是______，点 P的坐标是______； 求满足的函数关系式； 运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离. 26.本小题6分 在平面直角坐标系中，已知抛物线 若，当时，求y的取值范围； 已知点，，都在该抛物线上，若，求a的取值范围. 27.本小题7分 在中，，过点C作射线，使点与点B在直线AC的异侧，点D是射线上一动点不与点C重合，点E在线段BC上，且 如图1，当点E与点C重合时，AD与的位置关系是______，若，则CD的长为______；用含a的式子表示 如图2，当点E与点C不重合时，连接 ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 28.本小题7分 【发现问题】 在一次数学活动课上，学生用围棋子摆出“金字塔”数阵，图案如下： 【提出问题】 在摆出的数阵中，所需围棋子颗数y与数阵层数x之间具有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小明同学结合实际操作和计算得到的数据如表： 数阵 1 2 3 4 棋子颗数 3 8 15 24 小明从数形结合的角度出发，从图中观察第一层有3颗棋子，以后每层都比上一层多2颗棋子，则第x层有颗棋子. ……①或…②. ①+②就可以得到y与x之间的函数关系. 【解决问题】 直接写出y与x之间的函数关系；不需要写出自变量x的取值范围 一副围棋共有361颗棋子，摆出上面的数阵，若使剩余棋子最少，则最少剩几颗棋子？ 若每颗圆形棋子的周长为，要想摆下中最大的数阵，需要一张长、宽至少为多少厘米的矩形桌子？结果精确到参考数据：，棋子间缝隙忽略不计 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， ， 一次项系数是2、常数项是， 故选： 首先移项把5移到等号左边，然后再确定一次项系数和常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 2.【答案】A  【解析】解：， 当时有最小值为2， 故选： 根据二次函数解析式得出函数最值即可解答． 本题考查了二次函数的最值的知识，根据开口方向确定最值是解答本题的关键． 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数解析式是解题的关键． 根据给出的自变量x与函数值y的对应值逐一分析解答即可． 【解答】 解：抛物线经过点，， 则对称轴为， 设抛物线的解析式为， 代入点和得， ，解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线开口向下，故A不符合题意； 对称轴为， 当时，y随x的增大而减小，故B不符合题意； 抛物线的顶点坐标为，开口向下， 二次函数的最大值为2，故C符合题意； 抛物线开口向下，顶点为， 抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意． 故选： 4.【答案】B  【解析】解：，， ， 由旋转性质知，，， ， ， 故选： 根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转性质，关键是会综合应用这些知识解题． 5.【答案】B  【解析】解：高，，B、D关于y轴对称， 点坐标为， 轴，，最低点C在x轴上， 关于直线CH对称， 左边抛物线的顶点C的坐标为， 右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选： 先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 6.【答案】D  【解析】解：当时，；当时，； 直线与抛物线的交点为和， 而时，， 当时，自变量x的取值范围是或 故选： 利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，时，，从而得到当时，自变量x的取值范围． 本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数、b、c是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 7.【答案】A  【解析】解：时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上， 故选： 根据确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断． 本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 8.【答案】B  【解析】解：如图，过点N作于点N， 正方形BEFG，正方形NFHM，正方形ABCD， ，，，， ， ， ≌， 同理可得：≌≌， ，， ， 设，则 ， ， 当时，DN有最小值为 故选： 过点N作于点N，证明≌≌，得，，设，根据勾股定理用x表示DN，进而求得CH的最小值． 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解． 9.【答案】，  【解析】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：， 利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 10.【答案】答案不唯一  【解析】解：当时，y随x的增大而增大， 抛物线方程中的二次项系数，对称轴是直线 图象过原点， 抛物线方程中的常数项符合题意． 答案不唯一，如： 故答案为：答案不唯一 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．本题是开放性试题，答案不唯一． 11.【答案】  【解析】解：点是抛物线上一点， ， ， 点M关于原点对称的点的坐标是 故答案为：6， 将代入即可求得m的值，进一步求得点M关于原点对称的点的坐标． 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标以及关于原点对称的点的坐标，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为， 即 故答案为： 先将函数解析式整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再根据绕顶点旋转后的图象与原图象开口相反，利用顶点式解析式写出即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 13.【答案】3  【解析】【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，三角形的面积，解答本题的关键是求出点A、B、C的坐标，利用数形结合的思想解答． 根据抛物线，可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点，从而可以得到点A、B、C的坐标，然后即可得到AB和OC的长，从而可以求得的面积． 【解答】 解：抛物线， 当时，，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ，， 的面积为：， 故答案为： 14.【答案】或  【解析】解：二次函数， 图象的开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 点关于对称轴的对称点为， 二次函数的图象经过点和，且， 或 故答案为：或 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，过C作轴，交x轴于G，过D作于H， ，， ，， 四边形ABCD为正方形， ，， ， ， ， ， ≌， ，， ， 同理得：≌， ，， ， 在抛物线的图象上， 把代入函数中得：， ， 设， 由平移得：D与的纵坐标相同，则， 当时，， 解得：，舍， ， 则点D与其对应点间的距离为2， 故答案为：， 作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明≌，，，写出，同理得：≌，得出D的坐标，根据平移的性质：D与的纵坐标相同，则，求出的坐标，计算其距离即可． 本题考查出了二次函数图象与几何变换--平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与的纵坐标相同是关键． 16.【答案】6  【解析】解：设通道的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得： ， ， ， ， 解得：舍去或， 通道的宽为6米； 故答案为： 设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 17.【答案】①②④  【解析】解：①因图象开口向下，可知：； 又对称轴为直线， ，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又对称轴为直线，可知：当时，； 即； ，故①正确． ②由①得： 代入原解析式得：； ， 整理得：，故②正确． ③设，则， 两边得到， 左侧为时的函数值，右侧为时的函数值，不成立，故③错误． ④由题意得，、是一元二次方程的两个根， 从图象上看，因二次函数有对称性，、关于对称， 当且仅当时，存在点和点， 当时，满足题设，故④正确． 故答案为：①②④． ①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号； ②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号． ③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质为全体实数判断． ④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断． 本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题． 18.【答案】解：移项，得， 因式分解，得， 于是得，或， 解得：，， 所以方程的两个根分别为，  【解析】先移项，然后利用提公因式法将方程的左边因式分解可解得方程． 本题考查了解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的解方程方法是解题的关键． 19.【答案】解： ， ， ， 当时，原式  【解析】利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得： 的取值范围是 根据题意得， 解得， 故m的值为  【解析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则，列出不等式，即可求出m的取值范围． 利用根与系数的关系得到，解关于m的方程即可求解． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式． 21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， 点E是AB的中点， ， ， ， 于点F，于点G， ， 四边形EFGO是平行四边形， ， ， 四边形EFGO是矩形； 解：四边形ABCD是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即，   【解析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点F，于点G，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； 根据菱形的性质可知，根据已知可求出OC，然后利用等面积法求出OG即可． 22.【答案】  【解析】解：依题意得抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为， 抛物线 与x轴的另一个交点坐标为； 抛物线与x轴的两个交点坐标为， 不等式的解是； 故答案为：； 抛物线的对称轴为， 随x的增大而减小的自变量x的取值范围是； 故答案为：； 依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，， 设抛物线的解析式为， 把三个点的坐标代入其中得， 解之得， ， 顶点坐标为 由图象可以知道抛物线的对称轴和与x轴一个交点坐标，由此即可求出另一个交点坐标； 利用的结论和图象即可得到不等式的解集； 利用的结论和图象即可得到y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； 根据图象可以得到抛物线与坐标轴的三个交点坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，接着也可以求出顶点坐标． 此题主要考查了利用抛物线与坐标轴的交点和对称轴求出抛物线的解析式对应的一元二次方程的解、不等式的解集、也考查了利用解析式求出顶点坐标，都是基础知识，要求学生熟练掌握． 23.【答案】解：函数的图象过点和， ， 解得：， 直线解析式为：， 当时，， 如图所示，直线过点C时，， 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值， ，整理得，当时，得，当时，不满足条件， ，即， 当直线与直线平行时，，此时，满足条件． 当，不能满足条件， 即，   【解析】待定系数法求出一次函数解析式后令时，，得到点C坐标即可； 根据题意画出图象，分情况讨论当直线过点C时，，当直线与直线平行时，，此时，满足条件，即可得到满足条件的m取值范围． 本题考查了待定系数法求函数解析式和图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键． 24.【答案】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为， 也就是说这组数据的中位数为，所以； 根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多， 也就是说这组数据的众数为10，所以 故答案为：， ①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于， 从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小， 所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好． ②要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大， 可供选择的有、、， 当剩余两个为、，这组数据的平均数为， 方差为：， 当剩余两个为、，这组数据的平均数为， 方差为：， 当剩余两个为、，这组数据平均数为， 方差为：， 据此，可发现当剩余两个为、，方差最小，山楂重量也尽可能大． 故答案为：甲；、 千克克， 个， 串， 答：能制作160串冰糖葫芦．  【解析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 根据中位数和众数的概念，即可求解； ①根据方差的定义，即可求解； ②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可． 已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂， 再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦． 本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 25.【答案】解：，； 把，代入得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为； 运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是  【解析】【分析】 根据题意可直接求出A，P坐标； 把A，P坐标代入，用待定系数法求函数解析式即可； 作轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案． 本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键． 【解答】 解：根据题意得，，， 故答案为：，； 见答案； 如图，作轴分别交抛物线和BC于M、N两点， ， ， 设线段BC的关系式为，则， 解得：， 所以线段BC的关系式为， 设，则， 则， ， 当时，MN有最大值，最大值为， 故答案为：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是 26.【答案】解：当时，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 比距离对称轴远， 时，为函数最小值， 当时，为函数最大值， 当时，； 对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值， ， ， ，即， ， 解得， 当时，抛物线开口向下，函数有最大值， ， ， ，即， ， 解得， 的取值范围是或  【解析】根据，比距离对称轴远，分别求得，时的函数值即可求解； 根据题意可知：为抛物线的顶点，分两种情况讨论：时，函数有最小值，则，因为，则，即，得出，解得，当时，函数有最大值，则，由，得出，即可得出，解得 本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 27.【答案】解：互相垂直；； ①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：， 证明如下： 过点A作于点M、点N，如图： 则， ， ， 即， ， ，， ， 在与中， ， ≌， ， ； ②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：， 证明如下： 在BC上截取，连接AF，如图： ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 由①知：， 即， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，   【解析】解：当点E与点C重合时，， ， ， ， ， 即AD与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图： 则， ， ， 在与中， ， ≌， ， 即CD的长为， 故答案为：互相垂直；； 见答案； 【分析】 根据三角形内角和定理可得AD与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用AAS证明≌，根据全等三角形性质即可得出； 当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、点N，利用AAS证明≌，根据全等三角形性质即可得到； ②在BC上截取，连接AF，利用SAS证明≌，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用SAS证明≌，根据全等三角形性质及线段和差即可得到 此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 28.【答案】解：根据题意：①+②得： ； 由得， ， ，即， ， ，即， ， 为正整数， ， 在中，当时，y随x的增大而增大， 当时，， ， 最少剩1颗棋子． 由可知，最大数阵有18层棋子，棋子最多的一层有颗， 每颗圆形棋子的周长为， 解得： 每颗圆形棋子的直径为1cm 如图， ，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 需要一张长至少为37cm，宽至少为16cm的矩形桌子．  【解析】根据题意：①+②得化简即可． 由得，根据已知条件，利用无理数的估算得出，最后根据二次函数的性质可得出抛物线当时，y随x的增大而增大，即可求出当时，，进一步即可得出结论． 由可知，最大数阵有18层棋子，棋子最多的一层有颗求出每颗圆形棋子的直径为1cm，即可得出需要的桌子长度MN，画图图形，再利用勾股定理求出CD，进一步求出桌子的宽度 本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，求二次函数的最值，无理数的估算，以及勾股定理等知识． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$