黄金卷06（上海专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.，1，3，． 2．13． 3． ． 4．1． 5．1． 6．280． 7．2． 8．，1，2，3，4，． 9．． 10．150． 11．． 12．或． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13 14 15 16 B C B C 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．解：（1）因为是正方形，为矩形， 所以，，且，平面，， 所以平面， 又因为，，，所以， 因此，，两两垂直，所以建系如图， 则，3，，，0，，，0，，，0，， 所以， 设平面的一个法向量为，直线与平面所成角为， 则，令，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．……（7分） （2）证明：设 ，3，，，，，，， 则， 由，可得． 所以点到平面的距离为，解得，符合题意， 所以．……（7分） 18．解：（1）， ． 即， 即有，此时，， ；……（7分） （2）证明：， ， 由于是递增数列， 即有， 则， 即有， 则数列为递增数列．……（7分） 19．解：（1）（1）根据列联表数据，经计算得， 根据独立性检验：即有的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；……（7分） （2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人， 故传给甲的概率为，故； ②第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为， 第次触球者不是甲的概率为， 则， 从而，又， 是以为首项，公比为的等比数列， ， ．， ， 故第9次触球者是甲的概率大．……（7分） 20．解：（1）由题可得：，解得， 所以， 所以的方程为；……（6分） （2）证明：如图，设的右顶点是，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 设，，则， 由（1）可得，， 所以 ， 故直线，的斜率之积为定值；……（6分） （3）证明：由题，联立方程组，化简得：， 因为直线与的右支相切，设切点，， 所以，（双曲线右支上的点需满足的条件）， 则△， 即，， 则， ， 设，，因为是直线与直线的交点，所以，， 若以为直径的圆恒过轴上一定点，则恒有， 因为 ， 故存在，使得， 即轴上存在定点，使得， 故以为直径的圆恒过轴上一定点．……（6分） 21．解：（1），所以， 所以， 又， 所以函数在点，（1）处的切线方程为，即；……（6分） （2）证明：对每个，当时， 由函数， 可得， 故函数在上是增函数． 由于（1），当时，，即（1）． 又， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足；……（6分） （3）证明：对于任意，由（1）中构成数列，当时， ， ． 由在上单调递增， 可得，即， 故数列为减数列， 即对任意的、，． 由于 ①， ②， 用①减去②并移项，利用，可得 ． 综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足．……（6分） 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集，，，4，6，，则　，1，3，　． 【分析】先求出全集，再结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集，，1，2，3，4，5，6，， 则，4，6，， 故，1，3，． 故答案为：，1，3，． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 2．设函数则　13　． 【分析】根据已知条件，将的值依次代入解析式，即可求解． 【解答】解： 则（2）（7）． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题． 3．不等式的解为 　　． 【分析】根据不等式，即可求解结论． 【解答】解：不等式， 不等式的解集为：． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意不等式的变形，属于基础题． 4．已知函数为偶函数，则　1　． 【分析】求得函数的定义域为，再由求解即可． 【解答】解：由，可得， 又因为函数为偶函数， 所以， 又因为， 所以， 解得． 当时，， ． 故． 故答案为：1． 【点评】本题考查了偶函数的性质，属于基础题． 5．若，，，则的值为 　1　． 【分析】根据向量平行的充要条件即可求得． 【解答】解：，，， ，解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，属于基础题． 6．若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 　280　． 【分析】由题意可得：，解得．再利用通项公式即可得出． 【解答】解：由题意可得：，解得． 的通项公式为：， 令，解得． ． 故答案为：280． 【点评】本题考查了二项式定理的性质及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点，在抛物线上，则　2　． 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解． 【解答】解：设抛物线上的点，，，，即有，， 由是正三角形，得， 则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点，关于轴对称，即垂直于轴，且， 不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查抛物线的焦点与准线，属于基础题． 8．已知200件产品中有9件次品，从中任意抽取5件，其中含有的次品件数是一个随机变量，其值域是 　，1，2，3，4，　． 【分析】根据已知条件，结合随机变量的定义，即可求解． 【解答】解：含有的次品件数是一个随机变量，其值域是，1，2，3，4，． 故答案为：，1，2，3，4，． 【点评】本题主要考查随机变量的定义，属于基础题． 9．已知，，为虚数单位），则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解． 【解答】解：，， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题． 10．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 　150　种． 【分析】5名北京冬奥会志愿者分3组，有1，1，3和2，2，1两种分组方法，再分别求出两种分组方法对应的方法，即可求解． 【解答】解：5名北京冬奥会志愿者分3组，有1，1，3和2，2，1两种分组方法， 当为1，1，3时，有种， 当为2，2，1时，有种， 故共有种不同的分配方案． 故答案为：150． 【点评】本题主要考查组合及简单计数问题，考查分类讨论的思想，属于中档题． 11．已知的边，且，则的面积的最大值为 　　． 【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值． 【解答】解：由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有， 由，可得， 整理得， ， ，， ， 由正弦定理可得， ，则有． 故的面积 ． ，， 当时，的面积取得最大值． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础，属中档题． 12．已知首项的无穷等差数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得，则数列公差的值为 　1或2　． 【分析】结合等差数列的通项公式，讨论，，，，，结合整数的性质，可得结论． 【解答】解：因为，由， 得， 对于任意的正整数，存在整数和，使得，， 两式相减得，， 若，显然不合题意， 若，得，是整数，从而得到公差也是整数， 当时，此数列是递减的等差数列， 取满足的正整数， 即， 解得， 由，所以不存在正整数使得成立，从而时，不满足题意； 若，由，且，所以或2， 当时，数列2，3，4，，，，对任意的正整数，，， 由，可得，可得，而是正整数，从而数列满足题意； 当时，数列2，4，6，，，，对任意正整数，，由，可得，即，而是正整数，从而数列满足题意． 综上可得，或． 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于难题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为　　 A． B． C． D． 【分析】先得到，，两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底． 【解答】解：平面，平面，平面， ，． ，，，， 空间的一个单位正交基底可以为． 故选：． 【点评】本题主要考查空间向量基底的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 14．下列说法不正确的是　　 A．若变量和之间的相关系数，则和之间具有很强的线性相关关系 B．线性经验回归直线可能不经过所有的样本点，但是一定经过样本中心 C．在线性经验回归模型中，残差平方和越大，模拟的拟合效果越好 D．在线性经验回归模型中，决定系数取值越大，模型的拟合效果越好 【分析】根据回归分析中的各个概念进行判断即可． 【解答】解：变量和之间的相关系数，接近于1，它们之间具有线性相关关系，是负相关，故正确； 在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，故正确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故错误； 用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故正确． 故选：． 【点评】本题考查回归分析，掌握回归分析的相关概念是解题关键，属于基础题． 15．已知函数，则的最小正周期为　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期即可． 【解答】解： ， 所以最小正周期为． 故选：． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，三角函数的周期的求法，是基础题． 16．定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，，，，，，则　　 A．0 B． C． D． 【分析】依题意，可得的图象与的图象均关于成中心对称，从而可得答案． 【解答】解：是奇函数， 的图象关于成中心对称， 又的图象也关于成中心对称， 的图象与函数的交点为，，，，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，为矩形，， ． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）证明：在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求线面夹角； （2）利用空间向量的坐标运算，根据，求点到平面的距离，再求出的值． 【解答】解：（1）因为是正方形，为矩形， 所以，，且，平面，， 所以平面， 又因为，，，所以， 因此，，两两垂直，所以建系如图， 则，3，，，0，，，0，，，0，， 所以， 设平面的一个法向量为，直线与平面所成角为， 则，令，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （2）证明：设 ，3，，，，，，， 则， 由，可得． 所以点到平面的距离为，解得，符合题意， 所以． 【点评】本题考查了利用空间向量求空间角，利用空间向量求空间距离和棱柱的结构特征与体积，考查了转化思想和方程思想，属中档题． 18．设函数，数列的通项满足． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为递增数列． 【分析】（1）由对数的性质，可得，由条件，可得，解方程即可得到所求通项； （2）运用分子有理化，化简，再比较与的大小关系，即可得证． 【解答】解：（1）， ． 即， 即有，此时，， ； （2）证明：， ， 由于是递增数列， 即有， 则， 即有， 则数列为递增数列． 【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用方程的思想，考查数列单调性的判断，注意数列相邻两项大小的比较，属于中档题． 19．篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动． 喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 （1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上列联表，判断是否有的把握认为喜爱篮球运动与性别有关； （2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． ①求（直接写出结果即可）； ②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 【分析】（1）直接带公式即可； （2）①根据题义写即可； ②通过分析与的概率关系式，再利用数列知识计算结果． 【解答】解：（1）（1）根据列联表数据，经计算得， 根据独立性检验：即有的把握认为喜爱篮球运动与性别有关； （2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人， 故传给甲的概率为，故； ②第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为， 第次触球者不是甲的概率为， 则， 从而，又， 是以为首项，公比为的等比数列， ， ．， ， 故第9次触球者是甲的概率大． 【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了概率与数列的综合知识，属于中档题． 20．已知双曲线的离心率为，右焦点为． （1）求的方程； （2）设为该双曲线的左顶点，为双曲线上不与左、右顶点重合的一动点，设线段的中点为．求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值．为直角坐标系原点） （3）设动直线与双曲线相切于点在第一象限），且与直线相交于点．求证：以为直径的圆恒过轴上一定点，并求出该定点坐标． 【分析】（1）根据题意列式求，，，进而可得双曲线方程； （2）设的右顶点是，连接，由，分别是，的中点，知，设，，则，进而转化为即可求解； （3）联立与的方程，根据直线与相切求得点的坐标，再根据题意求出点的坐标，假设存在点满足题意，则，设出点的坐标，借助向量的数量积将问题转化为点的坐标之间的关系，化简求解，即可得结果． 【解答】解：（1）由题可得：，解得， 所以， 所以的方程为； （2）证明：如图，设的右顶点是，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 设，，则， 由（1）可得，， 所以 ， 故直线，的斜率之积为定值； （3）证明：由题，联立方程组，化简得：， 因为直线与的右支相切，设切点，， 所以，（双曲线右支上的点需满足的条件）， 则△， 即，， 则， ， 设，，因为是直线与直线的交点，所以，， 若以为直径的圆恒过轴上一定点，则恒有， 因为 ， 故存在，使得， 即轴上存在定点，使得， 故以为直径的圆恒过轴上一定点． 【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，属于难题． 21．设函数． （1）求函数在点，（1）处的切线方程； （2）证明：对每个，存在唯一的，满足； （3）证明：对于任意，由（2）中构成的数列满足． 【分析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）根据，得函数在上是增函数，又（1），，根据零点存在性定理可证； （3）由在上单调递增，可得，再减变形化简，利用放缩法得证． 【解答】解：（1），所以， 所以， 又， 所以函数在点，（1）处的切线方程为，即； （2）证明：对每个，当时， 由函数， 可得， 故函数在上是增函数． 由于（1），当时，，即（1）． 又， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足； （3）证明：对于任意，由（1）中构成数列，当时， ， ． 由在上单调递增， 可得，即， 故数列为减数列， 即对任意的、，． 由于 ①， ②， 用①减去②并移项，利用，可得 ． 综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足． 【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题． 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集，，，4，6，，则　 　． 2．设函数则　　． 3．不等式的解为 　 　． 4．已知函数为偶函数，则　　． 5．若，，，则的值为 　　． 6．若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 　　． 7．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点，在抛物线上，则　　． 8．已知200件产品中有9件次品，从中任意抽取5件，其中含有的次品件数是一个随机变量，其值域是 　 　． 9．已知，，为虚数单位），则　 　． 10．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 　　种． 11．已知的边，且，则的面积的最大值为 　 　． 12．已知首项的无穷等差数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得，则数列公差的值为 　 　． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为　　 A． B． C． D． 14．下列说法不正确的是　　 A．若变量和之间的相关系数，则和之间具有很强的线性相关关系 B．线性经验回归直线可能不经过所有的样本点，但是一定经过样本中心 C．在线性经验回归模型中，残差平方和越大，模拟的拟合效果越好 D．在线性经验回归模型中，决定系数取值越大，模型的拟合效果越好 15．已知函数，则的最小正周期为　　 A．1 B． C．2 D． 16．定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，，，，，，则　　 A．0 B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，为矩形，， ． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）证明：在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值不存在，请说明理由． 18．设函数，数列的通项满足． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为递增数列． 19．篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动． 喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 （1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上列联表，判断是否有的把握认为喜爱篮球运动与性别有关； （2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． ①求（直接写出结果即可）； ②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 20．已知双曲线的离心率为，右焦点为． （1）求的方程； （2）设为该双曲线的左顶点，为双曲线上不与左、右顶点重合的一动点，设线段的中点为．求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值．为直角坐标系原点） （3）设动直线与双曲线相切于点在第一象限），且与直线相交于点．求证：以为直径的圆恒过轴上一定点，并求出该定点坐标． 21．设函数． （1）求函数在点，（1）处的切线方程； （2）证明：对每个，存在唯一的，满足； （3）证明：对于任意，由（2）中构成的数列满足． 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$