精品解析：广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

广州市第二中学2024学年第一学期期中质量监测初三年级数学试卷 （满分120分） 一、选择题（每小题3分．共10小题．共30分） 1. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称中心是解答的关键．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接开平方即可得． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=2或x=-2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，掌握如果方程化成x2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±是关键． 3. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位长度，得到， 再向右平移3个单位长度，得到， 故选：B． 4. 已知是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：在一元二次方程中，，，则． 故选：A 5. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键． 6. 如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知抛物线，若点，都在该抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点，都在该抛物线上，且， ∴； 故选A． 8. 有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经过一轮感染，1台电脑感染了台电脑，这台电脑又感染给了，根据经过两轮感染了台电脑列等量关系即可． 【详解】解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑， 根据题意可得：， 整理得：， 故选：D． 9. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 10. 如图，边长为4的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， 由旋转性质得，， ， ∵三角形是等边三角形，是等边的高线， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时最短， ，， ∴在中，， ∴线段长度的最小值是1， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题（每小题3分．共6小题．共18分） 11. 若，则点A关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为其相反数；掌握这一特征是解题的关键；根据这一特征求解即可． 【详解】解：∵关于原点的对称， ∴点A关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 12. 如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可进行求解． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 13. 如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，， ∵是的半径，弦于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行____m才能停下． 【答案】16 【解析】 【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了16米， 故滑行的时间为2秒，最大的滑行距离16米， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，若恰好经过点C，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意画出图形，根据旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：当点C在边上时，如图， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 综上可知，α的度数是． 故答案为：． 16. 我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有_______ （填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的，分两种情况求出函数解析式，进而判断①②③，图象法，求出临近点，判断④． 【详解】由题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的， 由图象可知：过点，或，， 当过点，时： 设函数解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 此时， ∴， 同理，当过点，时：， 此时， ∴， 故①错误，②正确； ∵图象过，对称轴为，故③正确； 如图， 当直线过时，，， 当直线过时，，， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 当与只有一个交点时： 令，整理，得： ，解得：， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 综上：当直线与 的图象有2个公共点，则或；故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及待定系数法求解析式，对称性求对称轴，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用十字相乘法将方程左边分解为两个因式的积，然后转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 所以或， 所以． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解的常用方法，正确的将方程变形为两个因式的积等于零的形式是解决此题的关键． 18. 如图．的顶点坐标分别为． （1）请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． （2）直接写出的面积 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为. 19. 如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是正确的求出交点的坐标： （1）分别令求出点A、B、C的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的面积． 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据旋转的性质得出 ，求出，证即可； （2）求出，进而求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键． 21. 如图，A、B、P、C是上的四个点，B、C在点O下方，且 （1）若，求证：是等边三角形； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆周角之间的关系，等边三角形的判定，垂径定理，勾股定理等等： （1）根据弧、弦、圆周角之间的关系可证明，据此根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）过点A作于H，连接，根据三线合一定理和垂径定理可证明A、O、H三点共线，利用勾股定理求出的长，进而求出，最后根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，， ∴， ∴A、O、H三点共线， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 22. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 23. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断的形状并说明理由； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由： 如图，连接，，， 由（1）可得，， ∴， 当时，， ∴，又， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）如图，连接，，，先求得，，利用两点坐标距离公式证得，根据勾股定理的逆定理可得结论； （3）设，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时；当时；当时；由此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 由 得， 解得：（舍去），， ∴； 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与特殊三角形的综合运用，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握二次函数的性质以及分类讨论求解是解题的关键． 24. 在中，，． （1）如图1，点E为内部一点，连接，将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是 ； （2）如图2，若将问题（1）中的点E改为外部一点，其余条件不变，与交于点G，证明A、B、C、G四点在同一个圆上； （3）如图3，点D为外一点，且，点O为的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，由旋转性质得：，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 设交于H， ∵， ∴， ∴A、B、C、G四点在以为直径的圆上， 即A、B、C、G四点在同一个圆上； （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，延长交于H ，交于G，根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （2）类似（1），根据证明，得出，然后根据三角形外角的性质可得出，根据圆周角定理证得结论； （3）过B作交于E．连接，取中点H，连接，根据三角形中位线定理得出，，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：．理由： 如图1，由旋转性质得：，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 延长交于H ，交于G， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过B作交延长线于E．连接，取中点H，连接， ∵点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴，， ∵H为中点， ∴，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质、勾股定理、三角形的中位线性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中．抛物线上存在两点，． （1）求顶点C的坐标（用含m的式子表示）； （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上有一动点，过点D作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求m的取值范围； （3）过点A作轴交抛物线于点E，在抛物线上找点G，使，求线段的长． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）将一般式转化为顶点式，求出顶点C的坐标即可； （2）易得直线l的解析式为：，求出对称轴为，进而得到点在图象F上，且点的函数值小于点的函数值，求出直线过三点时的的值，图象法求出的取值范围即可； （3）过点作轴，则：轴，得到，作点关于的对称点，连接，，交于点，进而得到，推出直线与抛物线的另一个交点即为点，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，进而求出点坐标，两点间坐标公式，求出的长即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点C的坐标为； 【小问2详解】 ∵，过点D作垂直于y轴的直线l， ∴直线l的解析式为：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线上存在两点，， ∴，， ∵，且：， ∴点在图象F上，且点的函数值小于点的函数值， ∴当直线l过点时，，解得：， 当直线l过点时，，解得：， 当直线l过点时，，解得：， ∴当或或时，直线l与F有且仅有一个交点； 【小问3详解】 由（2）知：， 过点作轴，则：轴， ∴， 作点关于的对称点，连接，，交于点， ∴，，， ∴，， ∴直线与抛物线的另一个交点即为点， 设直线的解析式为：，则： ，解得：， ∴， 联立：，解得：或， ∴， ∴， 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，图象法求参数的取值范围，轴对称的性质等知识点，综合性强，难度大，计算量大，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2024学年第一学期期中质量监测初三年级数学试卷 （满分120分） 一、选择题（每小题3分．共10小题．共30分） 1. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，若点，都在该抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 如图，边长为4的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（每小题3分．共6小题．共18分） 11. 若，则点A关于原点的对称点的坐标为_______． 12. 如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 _____． 13. 如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________． 14. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行____m才能停下． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，若恰好经过点C，则的度数是_______． 16. 我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有_______ （填序号） 17. 解方程： 18. 如图．的顶点坐标分别为． （1）请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． （2）直接写出的面积 19. 如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积． 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. 如图，A、B、P、C是上的四个点，B、C在点O下方，且 （1）若，求证：是等边三角形； （2）若，的半径为5，求的长． 22. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断的形状并说明理由； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在中，，． （1）如图1，点E为内部一点，连接，将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是 ； （2）如图2，若将问题（1）中的点E改为外部一点，其余条件不变，与交于点G，证明A、B、C、G四点在同一个圆上； （3）如图3，点D为外一点，且，点O为的中点，连接．若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中．抛物线上存在两点，． （1）求顶点C的坐标（用含m的式子表示）； （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上有一动点，过点D作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求m的取值范围； （3）过点A作轴交抛物线于点E，在抛物线上找点G，使，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $