专题09说明两条直线平行的六种思想（六种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华师大版2024）

专题09说明两条直线平行的六种思想（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用平行线的定义进行说明 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级·河北保定·期中）如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作，，，，的延长线， 其中只有的延长线不与相交， 故选：． 【例1-2】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线 【答案】C 【分析】根据平面内两条直线的位置关系分别判断． 【详解】解：A、在同一平面内，两条线段不相交，也不一定平行，故错误，不合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故正确，符合题意； D、平面内，两条不相交的直线是平行线，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握平行线的定义 【例1-3】（22-23七年级上·全国·单元测试）下列说法正确的有（  ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内两条垂直的直线一定相交；③平面内两条相交的直线一定垂直；④平面内不相交的两条线段一定平行． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面内两直线的位置关系逐一判断即可． 【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ②平面内两条垂直的直线一定相交，原说法正确； ③平面内两条相交的直线一定不一定垂直，原说法错误； ④平面内不相交的两条线段一定平行，原说法正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平面内两直线的位置关系，熟练掌握相关知识是解题的关键 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级·全国·课后作业）小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边．其中属于平行线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题了平行线，应结合生活实际进行解答． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的直线叫互为平行线判断即可． 【详解】解：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边，都属于平行线，共4个， 故选：D． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知为同一平面内的三条直线．若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（   ） A．与一定不平行 B．与一定平行 C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行 【答案】D 【详解】 根据图形可知，在同一平面内，若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行 【变式1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面 题型02转化角度关系进行说明 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到，即可判定得出两直线平行． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 【例2-2】（七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在三角形中，，垂足为，与相交于点，点在上，，垂足为，． (1)试说明的理由； (2)如果，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂直的定义证得，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）利用余角的性质求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：因为，，所以． 所以． 所以． 因为，所以． 所以； （2）（2）因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由（1）知， 所以． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【例2-3】（21-22七年级·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）先由∠1=∠B，得到，则，进而得到，由此即可证明； （2）先由平行线的性质得到，再证明，结合进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵∠1=∠B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】如图在三角形中，已知，求证． 【答案】见解析 【分析】由结合题意可证明，即可推出，从而得出，再根据题意可证明，即推出，即证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，   ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．掌握平行线的判定方法是解答本题的关键 【变式2-2】按要求完成下列证明： 已知：如图，在中，于点D，E是上一点，且．试说明：．    解：（已知）， ________（已知） （已知）， ________（________）． （________）． 【答案】；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案． 【详解】解：（已知）， （已知） （已知）， （同角的余角相等）． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行； 【点睛】此题考查平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键 【变式2-3】（23-24七年级·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 题型03借助平行公理的推论进行说明 【典例分析】 【例3-1】（2024七年级·全国·专题练习）下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C 【例3-2】（21-22七年级·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【例3-3】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式演练】 【变式3-1】如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且，，请判断直线a与c的位置关系，并证明． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定．先证明和，再根据平行于同一条直线的两直线互相平行得出结论． 【详解】解：．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定由得到，由得到，然后根据平行线的传递性即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， 又∵， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．也考查了平行公理的推论 【变式3-3】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，，，． (1)与有怎样的位置关系？为什么？ (2)与平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？ 【答案】(1)与的位置关系是：，理由见解析 (2)与不平行，添加条件①或②；③时，，理由见解析 【分析】（1）先由得，进而得，由此得，然后根据平行线的判定可得出与的位置关系； （2）与不平行，加上条件或时，． 此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】（1）解：与的位置关系是：，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ； （2）与不平行，添加条件或时，，理由如下： 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ． 题型04利用两直线平行的判定方法直接说明 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可． 【详解】①，能判定，不能判定，不符合题意； ②，能判定，符合题意； ③，能判定，不能判定，不符合题意； ④，能判定，符合题意，故②④正确． 故选：D． 【例4-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 【例4-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行 (2)同位角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行 (4)，同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） （2）∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） （3）∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） 【变式演练】 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可． 【详解】解：如图， （1）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． （2）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行 【变式4-3】（23-24七年级·四川南充·期中）如图，，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，由平分得，进而得，即可求证，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05利用平行线的判定方法的推论进行说明 【典例分析】 【例5-1】（20-21七年级·福建龙岩·阶段练习）如图，于点，于点，，与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【分析】根据AB⊥BD，EF⊥BD，得出AB∥EF，再退出∠CEF +∠2=180°，即可证出CD∥EF． 【详解】解：平行．理由是： ∵AB⊥BD，EF⊥BD， ∴AB∥EF， ∴∠1=∠CEF， ∵∠1+∠2=180°， ∴∠CEF+∠2=180°， ∴EF∥CD． 【点睛】此题考查了平行线的判定，利用同旁内角互补证明两直线平行和平行公理是解答此题的关键 【例5-2】（21-22七年级·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可； （2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【例5-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 【变式演练】 【变式5-1】如图，，是延长线上一点，，求证：． 解：， （________） ， ，（________）， ， ． 【答案】两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查平行线性质及判定的应用，解题关键是要掌握平行线的性质及判定定理，熟练运用它们进行推理和计算．根据平行线的性质及判定填空即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） ， ，（内错角相等，两直线平行）， ， ． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴，（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴，（等量代换）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【变式5-3】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可． 【详解】解：，理由如下：因为， 所以（垂直定义） 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 又因为（已知） 所以（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 题型06添加辅助线转化角度进行说明 【典例分析】 【例6-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 【例6-2】如图，若，垂直为点 D，，，试判断直线与 的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】延长交于D，依据，，即可得到，进而得出． 【详解】解：．理由： 如图，延长交于D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 【例6-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 【答案】垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查利用平行线的判定与性质证明．掌握相关定理内容是解题关键．根据垂线的定义，平行线的判定与性质即可求证． 【详解】证明：连接 ∵， ∴，（垂线定义） ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵ ∴ 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级全国·单元测试）推理填空：已知：，，，试说明． 解：作射线，使（作辅助线） ∵（已知） ∴__________（         ） ∴__________（             ） ∵（已知） ∴____________（          ） ∴（             ） ∵ ∴___________（         ） ∴ ∵（              ） ∴ ∴（                 ） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键. 作，根据平行线的判定和性质证明，结合平角的定义求出，根据垂直线的定义即可得出结论． 【详解】解：作射线，使（作辅助线） ∵（已知） ∴（ 等量代换 ） ∴（ 内错角相等，两直线平行 ） ∵（已知） ∴（ 平行于同一直线的两条直线平行） ∴（ 两直线平行，内错角相等 ） ∵ ∴（ 等量代换） ∴ ∵（ 平角的定义 ） ∴ ∴（ 垂直的定义 ） 【变式6-2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）完成下面的证明：已知：如图，．求证：．    证明：过点作． ∴．（①______）， ∵，又∵， ∴．（②______） ∴③______．（④______） ∴．（⑤______） 【答案】①两直线平行，内错角相等；②等量代换（写成等式的性质也对）；③；④内错角相等，两直线平行；⑤平行于同一直线的两直线平行（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，过点作，根据平行线的性质得出，证明，得出，根据平行线的判定即可得出． 【详解】证明：过点作． ∴．（两直线平行，内错角相等）， ∵， 又∵， ∴．（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） ∴．（平行于同一直线的两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行． 【变式6-3】（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程： 证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（          ） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（ ） ∴ ，（等量代换） ∴ ，（           ） ∴ ．（平行于同一直线的两直线平行） 【答案】两直线平行，内错角相等；；已知；；；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干提供的部分过程结合条件写好每一步的推理过程与依据，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（两直线平行，内错角相等） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴．（平行于同一直线的两直线平行） 一、单选题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；另外要能确定“三线八角”中的截线从而准确找出另外两线平行．根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、和是直线、被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意； B、和是直线、被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意； C、和是直线、被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意； D、和是直线、被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示． 根据题意可知， ∵， ∴． 故选：A． 3．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 【答案】C 【分析】本题考查了平行线，根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确； 故选：C． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法不正确的是（  ） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 根据平行线的定义及平行公理进行判断． 【详解】解：A．若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故本选项符合题意； B．同一平面内两条不相交的直线是平行线，说法正确，故本选项不符合题意； C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，说法正确，故本选项不符合题意； D．平行于同一直线的两直线平行，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．根据可得，由平分可得，最后根据平角的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线a，直线，若 ，则． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是掌握，内错角相等，两直线平行．根据内错角相等，两直线平行，可得时，，由此即可得解． 【详解】当时，， ， 即若，则． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）把一副三角板按如图的方式放在桌面上，判定的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行； 根据“内错角相等，两直线平行”即可得到答案 【详解】∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：内错角相等，两直线平行 三、解答题 8．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，直线b垂直于直线c，那么直线a垂直于直线c吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的性质等知识，根据垂线的定义得出，根据平行线的性质得出，然后根据垂线的定义即可得证． 【详解】解： 理由如下： 如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据对顶角相等结合题意推出，即可判定；根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定． 【详解】解：， （①对顶角相等）， （②等量代换）， （③同旁内角互补，两直线平行）， （④两直线平行，同位角相等；）． ， ， （⑤内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09说明两条直线平行的六种思想（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用平行线的定义进行说明 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级·河北保定·期中）如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线 【例1-3】（22-23七年级上·全国·单元测试）下列说法正确的有（  ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内两条垂直的直线一定相交；③平面内两条相交的直线一定垂直；④平面内不相交的两条线段一定平行． A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级·全国·课后作业）小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边．其中属于平行线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知为同一平面内的三条直线．若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（   ） A．与一定不平行 B．与一定平行 C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行 【变式1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 题型02转化角度关系进行说明 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 【例2-2】（七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在三角形中，，垂足为，与相交于点，点在上，，垂足为，． (1)试说明的理由； (2)如果，且，求的度数． 【例2-3】（21-22七年级·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【变式演练】 【变式2-1】如图在三角形中，已知，求证． 【变式2-2】按要求完成下列证明： 已知：如图，在中，于点D，E是上一点，且．试说明：．    解：（已知）， ________（已知） （已知）， ________（________）． （________）． 【变式2-3】（23-24七年级·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 题型03借助平行公理的推论进行说明 【典例分析】 【例3-1】（2024七年级·全国·专题练习）下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【例3-2】（21-22七年级·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【例3-3】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【变式演练】 【变式3-1】如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且，，请判断直线a与c的位置关系，并证明． 【变式3-2】（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，已知，求证：． 【变式3-3】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，，，． (1)与有怎样的位置关系？为什么？ (2)与平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？ 题型04利用两直线平行的判定方法直接说明 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例4-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【例4-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 【变式演练】 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 【变式4-3】（23-24七年级·四川南充·期中）如图，，平分，求证：． 题型05利用平行线的判定方法的推论进行说明 【典例分析】 【例5-1】（20-21七年级·福建龙岩·阶段练习）如图，于点，于点，，与平行吗？为什么？ 【例5-2】（21-22七年级·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【例5-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【变式演练】 【变式5-1】如图，，是延长线上一点，，求证：． 解：， （________） ， ，（________）， ， ． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 【变式5-3】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 题型06添加辅助线转化角度进行说明 【典例分析】 【例6-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 【例6-2】如图，若，垂直为点 D，，，试判断直线与 的位置关系，并说明理由． 【例6-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级全国·单元测试）推理填空：已知：，，，试说明． 解：作射线，使（作辅助线） ∵（已知） ∴__________（         ） ∴__________（             ） ∵（已知） ∴____________（          ） ∴（             ） ∵ ∴___________（         ） ∴ ∵（              ） ∴ ∴（                 ） 【变式6-2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）完成下面的证明：已知：如图，．求证：．    证明：过点作． ∴．（①______）， ∵，又∵， ∴．（②______） ∴③______．（④______） ∴．（⑤______） 【变式6-3】（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程： 证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（          ） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（ ） ∴ ，（等量代换） ∴ ，（           ） ∴ ．（平行于同一直线的两直线平行） 一、单选题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 4．（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法不正确的是（  ） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 二、填空题 5．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为 ．    6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线a，直线，若 ，则． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）把一副三角板按如图的方式放在桌面上，判定的依据是 ． 三、解答题 8．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，直线b垂直于直线c，那么直线a垂直于直线c吗？请说明理由． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$