3.4 二元一次方程组及其解法（第1课时 二元一次方程组）（同步课件）数学新教材沪科版七年级上册

3.4 二元一次方程组及其解法 沪科版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程与方程组 第一课时 二元一次方程组 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解二元一次方程（组）及其解的概念.(重点） 2.学会根据实际问题中的等量关系列二元一次方程组.（重点、难点） 情景导入 问题1：“鸡兔同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题. 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何. 新知探究 思考：这个问题可以用算数方法来解，也可以列一元一次方程来解，问题中有两个未知数，如果分别设x，y，又该如何求解呢？ 设鸡有 x 只，兔有 y 只，由“上有三十五头”，得 x+y=35 又由“下有九十四足”，得 2x+4y=94 ① ② 这里的x，y既要满足“上有三十五头”，又要满足“下有九十四足”，就是说它必须同时满足上面①②两个方程.因此，我们把上面两个方程加上括号联立在一起，写成 x+y=35 2x+4y=94 ① ② 上面所列方程各含有几个未知数? 含有未知数的项的次数是多少? 2个未知数 次数是1 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程. x+y=35 ，2x+4y=94 定义： 概念归纳 6 判断下面哪些方程是二元一次方程. 不是，最高项次数为2； 不是，含有3个未知数 方程左边的式子不是整式 不是，是一元一次方程 是 注意：二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个，所含未知数项的最高次数是“1”，这里要特别注意项的次数． 练一练 x+y=35. 2x+4y=94.   思考：观察问题1中列出的两个二元一次方程，它们之间有什么联系？ x,y必须同时满足这两个关系，就是说它必须同时满足两个方程. 联立在一起的几个方程，称为方程组； 有两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组. 概念归纳 1.二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个，所含未知数项的最高次数是“1”，这里要特别注意项的次数． 2.二元一次方程组中，两个方程都是一次的，方程组中含有两个未知数. 归纳总结 请问下列方程组是二元一次方程组吗？ 三个未知数 未知数出现在分母中 √ √ √ 练一练 问题2：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元.樟树苗、白杨树苗各买了多少棵? 设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，可得二元一次方程组 x+y=50， 10x+3y=290. ① ② 课堂练习 1. 根据题意，列出二元一次方程组： （1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的邮票各买了多少枚? 解：设买了x枚60分的邮票和y枚80分的邮票. 根据题意，得 （2）植树节七(1)班和七(2)班共植树138棵，七(1)班植树数量比七(2)班的 多8棵. 两班分别植树多少棵? 解：设七(1)班植树x棵，七(2)班植树y棵. 根据题意，得 （3）将一摞笔记本分给若干同学. 每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本. 共有多少本笔记本、多少个同学? 解：设共有x本笔记本，y个同学. 根据题意，得 2. 请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题，并列出方程组. 解：答案不唯一， 如：某船的载重为260t，容积为1000m3. 现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨（装运货物时不留空隙）？ 设甲、乙两种货物应各装x t，y t. 根据题意，得 分层练习-基础 知识点1　二元一次方程(组)的定义 1. 方程 ax －4 y ＝ x －1是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a 的取值范围为(　C　) A. a ≠0 B. a ≠－1 C. a ≠1 D. a ≠2 【点拨】 　　将方程整理，得( a －1) x －4 y ＝－1.因为此方程是关 于 x ， y 的二元一次方程，所以 a －1≠0.所以 a ≠1. C 2. 若 xa＋2＋ yb－1＝－3是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a ， b 应满足(　C　) A. a ＝1， b ＝1 B. a ＝－1， b ＝1 C. a ＝－1， b ＝2 D. a ＝1， b ＝2 C 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是(　D　) A. B. C. D. 　　A中的方程组共有3个未知数，B，C中的方程组中含未知数的项的最高次数不是1，故A，B，C均不符合题意；D中第二个方程左右两边都有 x2，可消去，故D符合题意. 【点拨】 【答案】 D 知识点2　列二元一次方程(组) 4. [2023·温州]一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为 x g， y g，可列出方程为(　A　) A. x ＋ y ＝30 B. x ＋ y ＝30 C. x ＋ y ＝30 D. x ＋ y ＝30 【点拨】 　　因为蛋白质的含量为 x g，所以碳水化合物的含量为1.5 x g， 则 x ＋1.5 x ＋ y ＝30，即 x ＋ y ＝30. 【答案】 A 5. [新考向·数学文化 2023·衡阳]《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有 x 只鸡， y 只兔，依题意，可列方程组为(　C　) C A. B. C. D. 知识点3　二元一次方程的解(整数解) 6. [2023·无锡]下列4组数中，不是二元一次方程2 x ＋ y ＝4的 解的是(　D　) A. B. C. D. D 7. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴 趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部 截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长 度的导线至少一根)，则截取方案共有(　C　) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 C 8. 已知是方程 ax ＋ by ＝3的解，则式子2 a ＋4 b － 5的值为 ⁠. 【点拨】 　　将代入 ax ＋ by ＝3可得 a ＋2 b ＝3，则2 a ＋ 4 b －5＝2( a ＋2 b )－5＝2×3－5＝1. 1　 易错点　因考虑问题不全而漏解 9. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购 A ， B ， C 三种图书， A 种图书每本30元， B 种图书每本25元， C 种图书每本20元，其中 A 种图书至少买5本，最多买6本(三种图书都要买)，则此次采购的方案有(　B　) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【点拨】 当购买5本 A 种图书时，设购买 x 本 B 种图书， y 本 C 种图书， 根据题意，得30×5＋25 x ＋20 y ＝500， 所以 x ＝14－ y ， 又因为 x ， y 均为正整数， 所以或或 所以当购买5本 A 种图书时，有3种采购方案； 当购买6本 A 种图书时，设购买 m 本 B 种图书， n 本 C 种图书， 根据题意，得30×6＋25 m ＋20 n ＝500， 所以 n ＝16－ m ， 又因为 m ， n 均为正整数， 所以或或 所以当购买6本 A 种图书时，有3种采购方案. 所以此次采购的方案有3＋3＝6(种). 【答案】 B 分层练习-巩固 10. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需42 min.甲地到乙地全程是多少千米？ 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设出未知数 x ， y ，已经列出一个方程为 ＋ ＝ ，则另一个方程是(　B　) A. ＋ ＝ B. ＋ ＝ C. ＋ ＝ D. ＋ ＝42 又因为平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，从乙地到甲 地需42 min， 所以列出另一个方程是 ＋ ＝ . 【点拨】 　　因为小红列出的一个方程为 ＋ ＝ ，上坡每小时走 3 km，平路每小时走4 km，从甲地到乙地需54 min， 所以 x 表示坡路的长度， y 表示平路的长度， 【答案】 B 11. 若是二元一次方程4 x －3 y ＝10的一个 解，则 m ＝ ⁠. 【点拨】 　　将代入方程4 x －3 y ＝10中，得4(3 m ＋1)－3(2 m －2)＝10，解得 m ＝0. 0　 12. 已知关于 x ， y 的方程( m2－4) x2＋( m ＋2) x ＋( m ＋1) y ＝ m ＋5. (1)当 m 为何值时，它是一元一次方程？ 【解】分两种情况： ① m2－4＝0， m ＋2＝0且 m ＋1≠0，解得 m ＝－2， ② m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1＝0，无解. 故当 m ＝－2时，方程为一元一次方程. (2)当 m 为何值时，它是二元一次方程？ 【解】由题意，得 m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1≠0， 解得 m ＝2，故当 m ＝2时，方程为二元一次方程. 13. 某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3∶2，求两种球各多少个.(只需列出二元一次方程组，不必求解) 【解】设排球有 x 个，篮球有 y 个，由题意，得 14. 小明是一名爱动脑筋的同学，他经常利用课余时间钻研一些数学问题.经过研究，他发现：对于任意有理数 m ，都是方程3 x －5 y ＋4＝0的解.你认 为小明发现的结论正确吗？请说明理由. 【解】小明发现的结论正确. 理由：把 代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左 边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0， 所以左边＝右边，即小明发现的结论正确. 分层练习-拓展 15. [新考法 创设情境法]某城市出租车的收费标准：行程不超过3 km收起步价，超过部分每千米收费若干元(不足1 km的按1 km计算).某天，林老师第一次乘出租车的行程为8 km，花了12元；第二次乘出租车的行程为11 km，花了15.6元.请你编写适当的问题，并列出相应的二元一次方程组. 【解】答案不唯一，如：起步价是多少？超过3 km后每 千米多少钱？ 设起步价为 x 元，超过3 km后每千米 y 元. 由题意，得 课堂小结 二元一次方程组 二元一次方程 二元一次方程组 含有 未知数； 未知数最高次数为 ； 方程两边都是 . 含有 未知数. 由两个 方程组成； 两个 1 次 整式 一次 两个 $$