广东省江门市蓬江区楼山中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年广东省江门市蓬江区楼山中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.将方程配方后，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 4.方程的解是(    ) A. ， B. C. ， D. 5.一元二次方程根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 6.关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 对称轴为y轴 D. 当时，函数y随x的增大而增大 7.关于x的方程的一个根是2，则k的值是(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 9.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 10.定义运算：，例如，则函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.一元二次方程的一次项系数是______. 12.若，则的值为______. 13.将抛物线向下平移4个单位，那么得到抛物线的解析式为______. 14.生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了56件，则全组共有______名同学. 15.如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 解方程： 17.本小题7分 解方程： 18.本小题7分 已知函数是关于x的二次函数. 求m的值； 函数图象的两点，，则与的大小关系是______. 19.本小题9分 用描点法画抛物线 完成下面的表格，并根据表中数据在图中的平面直角坐标系中画出抛物线. x … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … 观察图象，写出该函数的两条性质： 性质1：______； 性质2：______. 20.本小题9分 已知，是关于x的方程的两个不相等的实数根. 求k的取值范围； 若，且k，，都是整数，求k的值. 21.本小题9分 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件. 求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； 经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 22.本小题13分 阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知， 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； 间接应用： 在的条件下，求的值； 拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 23.本小题14分 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 求抛物线的解析式； 点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； 连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：依题意得：， 解得 故选： 先根据一元二次方程的定义得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 本题考查的是一元二次方程的定义，即形如的方程叫一元二次方程． 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式，顶点坐标为 已知抛物线解析式为顶点式，可直接求顶点坐标． 【解答】 解：由抛物线可知， 抛物线顶点坐标为 故选： 3.【答案】A  【解析】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选： 把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4.【答案】C  【解析】解：直接因式分解得， 解得， 故选： 在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 5.【答案】A  【解析】解：， ， 所以方程没有实数根， 故选 求出的值，再判断即可． 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：得到方程有两个不相等的实数根；得到方程有两个相等的实数根；得到方程没有实数根． 6.【答案】C  【解析】解：， 抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是， 、B都错误，C正确， ，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 错误， 故选： 由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案． 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．用到的知识点：在中，对称轴为直线，顶点坐标为当时，抛物线开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大． 7.【答案】D  【解析】解：关于x的方程的一个根是2， 把代入方程得， 解得 故选： 把代入方程得，然后解关于k的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8.【答案】D  【解析】解：设道路的宽x米，则余下部分长为，宽为的矩形， 依题意得： 故选： 设道路的宽x米，则余下部分长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，错误，不符合题意； B.由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意； C.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意； D.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，正确，符合题意． 故选： 根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：由题意得，， 即， 函数的最小值为 故选： 根据新运算的定义，可y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可． 本题考查了二次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：一元二次方程， 一次项是， 一次项系数是， 故答案为： 根据一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中bx叫一次项，系数是b，可直接得到答案． 此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握确定一次项系数，需要注意符号问题． 12.【答案】2018  【解析】解：， ， 原式 ， 故答案为： 把代数式变形为，然后整体代入求值即可． 本题考查了代数式求值，关键是整体意识． 13.【答案】  【解析】解：将抛物线向下平移4个单位， 得到的抛物线的解析式为： 故答案为： 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数平移法则是关键． 14.【答案】8  【解析】解：设全组共有x名同学，全组共赠送了56件， ， 或舍去， 故答案为： 设全组共有x名同学，根据“全组共赠送了56件”列出一元二次方程，据此计算即可解决问题． 本题考查一元二次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 15.【答案】18  【解析】解：四边形ABCD为正方形，抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ，， 设点B的坐标为， 点B在二次函数的图象上， ， 解得，，舍负， 点B的坐标为， 故答案为： 根据抛物线和正方形的对称性求出，并判断出，设点B的坐标为，把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可． 本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据对称性设出点B的坐标并判断出阴影部分的面积的和等于矩形BCOE的面积是解题的关键． 16.【答案】解：， ， ， ， ，  【解析】移项，方程两边都加上16，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方． 17.【答案】解：由原方程，得 ， ， 解得，  【解析】先把原方程移项，然后提取公因式对等式的左边进行因式分解，再来解方程． 本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想 18.【答案】  【解析】解：由题意可得： ， 解得：； 由知二次函数的解析式为， ， 该函数的对称轴为y轴，且开口向上， 在对称轴右边，y随x的增大而增大， 点，， 根据二次函数的定义可得，即可求解； 求得该函数的对称轴为y轴，且开口向上，由点，，知 本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 19.【答案】该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减少  【解析】解：， 当时，；当时，； 补全表格如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 抛物线如图所示； ； 由图象得： 性质1：该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 性质2：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减少． 根据表格中自变量的值，求出相应的y的值；再描点，连线，即可画出此抛物线； 根据中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标以及二次函数的增减性． 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键． 20.【答案】解：根据题意得， 解得，； ， ， 为整数， 整数k的值为2、3， 当时，方程为， 解得，， 当时，此时方程解不为整数， 综上所述，k的值为  【解析】根据判别式，即可解答； 根据中得出的k的取值范围，得出整数k的值为2、3，分别求出当时，当时，方程的解，即可解答． 本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 21.【答案】解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； 设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．  【解析】设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； 设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】 由得，， 取正； 令，，则，， ， ，即， ，b是方程的两个不相等的实数根， ， 故  【解析】解：实数a，b满足：，且， ，b是方程的两个不相等的实数根， ， 故答案为：7，1； 见答案 见答案 由韦达定理即可求解； 结合的过程，将平方后变形为，再代入数据即可得出结论； 令，，则，，可得a，b是方程的两个不相等的实数根，可得，将其代入即可求解． 本题考查了根与系数的关系，巧妙的找出a、、是某方程的两个根是解题的关键． 23.【答案】解：把，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； 点P是抛物线上的动点， 设点， ， ， ， ， 或， 对于方程， 解得， 点的坐标为； 对于方程， 解得， 点的坐标为或， 综上所述，P点的坐标为或或； 若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形， ， 点F与点C纵坐标相等， ， ，， 点， 若BC为边，且四边形BCEF是平行四边形， 与CF互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， 点F的纵坐标为， ， ， 点或； 若BC为对角线，则四边形BECF是平行四边形， 与EF互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， 点F的纵坐标为3， 点， 综上所述，点F坐标或或  【解析】根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； 设点，根据可得或，解一元二次方程即可求解； 根据平行四边形的性质分别讨论若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形时，若BC为边，且四边形BCEF是平行四边形时，若BC为对角线，则四边形BECF是平行四边形时三种情况即可． 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$