湖北省鄂州市梁子湖区梁湖初中联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季九年级期中质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 温馨提醒： 1,答题前，请将自己的姓名，班级，考号等信息准确填写在指定位置。 2.请将答案正确填写在答题卡上。 3.请保持卷面的整洁，书写工整、美观。 4.请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩」 第I卷（选释题） 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求。) 1.一元二次方程2x2+3x=-1化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可 以是() A.2,3,1 B.2,3,-1 C.2,-3,1 D.2,3,0 2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.以下是在棋谱中截取的 四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是() 3.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是() A.(2,) B.(2,-1) C.(-2, D.(-2,-1) 4.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线， 则这个航空公司共有x个飞机场，根据题意，可列方程为() A.x(x+1)=21B.x(x-1)=21 C.x+l=21 D.xr-1=2 2 2 5.如图，△AOB绕点O逆时针旋转65得到△COD,若∠AOB=30°，∠BOC的度数是 () A.30° B.35 C.45 D.60° 6.若点A(2,乃)、B(-3,2)、C(-1,乃)三点在抛物线y=(x-2)-1上，则y,为2，乃的 大小关系是() A.片>为2>为B.片>为>为 C.为>为>y D.为>片>3 1 7,如图，在小正方形网格中，将△ABC绕某一点旋转变换得到△DEP,则旋转中心为() A,点M B.点O C.点N D点P 8.一次函数y-号x+(ab0)与三次函数=x2+c+e(a*0)在同一平面直角坐标系中的 图象可能是() 属 9.定义：已知x,为2是关于x的一元二次方程a心2+r+c=0(a≠0)的两个实数根，若 无<5<0，且1≤点≤3，则称这个方程为友好方程.如：一元二次方程x产+8x+15=0的 两根为5=-5，为=-3，且1<≤3，所以一元二次方程2+8x+15=0为友好方程.关 3 于x的一元二次方程x2+(1-P)x一p=0,有下列两个结论：①当p=-2时，该方程是“友 3 好方程”：②若该方程是“友好方程"，则有且仅有3个整数P满足要求，对于这两个结论判 断正确的是() A,①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误D.①错误，②正确 10.如图，O是正△ABC内一点，OA=2√万，OB=6,OC=8,将线段B0以点B为旋转中 心逆时针旋转60得到线段B0,下列结论：①点0与0的距离为6：②∠A0C=120°： ③Sa0=3V7:①S地400=6√7+6N5:⑤若AB=10,点P为△ABC内一点，则点P到 △ABC三个项点的距离和最小为103.其中正确的结论是( A.①③⑤ B.①③④ C.②③④⑤ D.①②⑤ 第5题图 第7题图 第10题图 2 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分。） 11.方程x2-25=0的解是 12.如图，已知点A的坐标是(-25,2)，点B的坐标是(-1，-√5)，菱形ABCD的对角线 交于坐标原点O,则点D的坐标是 13.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安 个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m, 水柱落地处离池中心距离为9m,则水管的长度OA是m. 第12题图 第13题图 第15题图 14.抛物线y=r2+x+c(a,b,c是常数)的顶点在第四象限，且a-b+c=0.下列四 个结论：①b>0,②a-b-c<0,③方程m2+bx+c=cx+c的解为，=-1，，=0，④若 c<-3a,则当，<名<1时，片>为2·其中正确的结论是 (填写序号)。 15.如图，在Rt△ABC中，AB=5,∠B=30°，点P是在直角边BC上一动点，且△APD为 等边三角形，则CD的最小值是 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.(6分)解方程： (1)2x2-8=0: (2)x2-2x-15=0 1 17.(6分)已知函数y=2-2x-1 (1)该函数图象的开口方向是 (2)抛物线与y轴的交点坐标是 (3)当-3<x<6时，则函数y的最小值是 (4当y>-1时，则自变量x的取值范围是 18,(6分)列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚 成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如 图所示，茶园一面靠墙，墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的长和宽 19.(8分)如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点.点A、B E、F都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系， 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）· 图1 图2 (1)如图1，画出线段AB绕点O逆时针旋转180°后的图形CD(4与C对应)： (2)如图1，点M是线段AB上一点，在(1)中的线段CD上找到一点N,使得DN=BM: 3)如图L,线段EF是由线段4B绕点P顺时针旋转得到的(4与E对应)，请直接写出P的 坐标 (4)如图2，点G为格点，点H是线段EF上一点，在线段EG上找到一点Q,使得FO+HO 最小 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B4C=50°，将Rt△ABC绕点A旋转得 到Rt△ADE,点C的对应点E落在AB上，连接BD.CE,延长CE交BD于点F (I)求∠BDE的度数： (2)若BD=8,求EF的长. 21.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-m+a-1=0. 油2出子 (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若方程的两个实数根x、,满足书一=3，求a的值： 22.(10分)某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品 在未来40天内的日销售量m(件)与时间（天）的关系如下表： 时间/天 1 3 10 36 日销售量m/件 94 90 8676 24 已知未来40天内，前20天该商品每天的价格（元/件）与时间：的函数关系式为 片=二1+25(1≤1≤20，且t为整数)，后20天该商品每天的价格为（元/件）与时间t的函数 4 关系式为为=之+40(2151≤40，且1为鉴数). (心求m与1之间的函数关系式： (2)未来40天内，后20天中哪一天的日销售利润最大·最大日销售利润是多少 (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品，就捐赠(a<4)元给希望工程公 司查阅销售记录发现，前20天中，扣除捐赠后的日销售利润随时间1的增大而增大，求a 的取值范围。 23.(11分)【证明体验】如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD和等边三角形△ACE, 连接BE,DC,求证：BE=DC; 【思考探究】如图2，已知△ABC,以BC为边作等边△BCD,连接AD.若∠CAD=60°，AD=4, AC=3,求AB的长： 【拓展延伸】如图3，在△ABC中，BC=8,以AB为边作等腰△ABD,AB=AD,连接CD.若 CD=10,∠DAB=2∠ACB,直接写出△ABC的面积 D 图1 图2 图3 24.(12分)已知抛物线)y2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴 交于点C 图1 图2 (I)直接写出A,B,C三点的坐标： (2)如图I,点P为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点D,求PD的最大值： (3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在 直线y=2x-9上。求证：直线MW必经过一个定点，并求该定点坐标。 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B C C B C A 1．A 【详解】解：，则， ∴， 故选：A． 2．D 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数为常数，，顶点坐标是，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，得 故选：D． 5．B 【详解】∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD， ∴∠AOC＝65°， ∵∠AOB＝30° ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35° 故选B． 6．C 【详解】解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线，开口方向向上， 当时，y随x的增大而减小，且点均在此抛物线上， ， ∴． 故选：C． 7．C 【详解】解：连接，，利用格点作线段，的垂直平分线，如图， 交点N即为旋转中心， 故选C． 8．B 【详解】解：∵一次函数，二次函数。 ∴图象与轴的交点为同一点，故选项D不合题意， 当二次函数的对称轴在轴右侧时，，即、异号，，此时一次函数的图象应该经过二、四象限，故AC不正确；、 当二次函数的对称轴在轴左侧时，，即、同号，，此时一次函数的图象应该经过一、三象限，故选项B可能，符合题意， 故选：B． 9．C 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：． 10．A 【详解】由旋转的性质和正三角形的性质可判断①；根据三角形的全等的判定与性质可判断②；由三角形的面积公式可以判断；根据③的结论可判断④的正误；再由费马点的性质可以确定⑤正误． 【解答】解：如图，连接， 线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ， 是正三角形，， ①正确，符合题意； 由①可得， 为正三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 无法判断 ∴②错误，不符合题意； 过点作垂直的延长线于点，如图所示： 由①知 又， 在，， ③ ③正确，合题意； ， ④错误，不合题意； 如图所示，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点），连接，则，． ， 为等边三角形， ， ， 当四点在同一直线上时，的值最小，此时 由旋转的性质可得，， 又， 为等边三角形， ， ，， ， ， ∴， 设交于点，则 ∴，则 ∴ ∴，即 ∴ 则 ⑤正确，符合题意． 故选：A． 11．x=±5 12． 13．． 【详解】解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=a（x-3）2+5， 将点（9，0）代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：， 令x=0，则，即 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键． 14． 【详解】解：抛物线（，，是常数）的顶点在第四象限，且， 该函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，当时，， ，，， 故结论错误，不符合题意； ，，， ， 故结论错误，不符合题意； 对于方程， 当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边， 当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边， ，能使方程左右两边相等， ，是方程的解， 又方程是一元二次方程，最多只有两个解， 方程的解为，， 故结论正确，符合题意； ， ， ， ， 化简可得：， 即：抛物线对称轴， 又， 当时，随的增大而减小， 故结论正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 15．// 【详解】解：在中，，， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为，连接，当点在线段上时，的值最小，连接， ，， ， 点为的中点， ， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ∵， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ 解得： （2）解： ∴ ∴或 解得： 17．(1)向上 (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：∵， ∴开口向上， 故答案为：向上； （2）解：当时，， ∴与y轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：对于， 可得对称轴为直线：， ∵，开口向上 ∴当时，， 故答案为：； （4）解：当时，则， 解得：， ∴与抛物线的两个交点的横坐标分别为 如图： ∴当，自变量x的取值范围为或． 18．30m，20m 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)见解析 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求． （2）如图1，连接并延长，交线段于点， 则， 即点为所求． （3）如图2，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 线段是由线段绕点顺时针旋转得到的， 点的坐标为． 故答案为：． （4）如图3，延长至点，使，过点作，且，再过点作的垂线，交于点， 点是点关于直线的对称点， 连接，交于点，连接， 此时满足最小，最小值为的长， 则点即为所求． 20. (1)25° (2)4 21．(1)见解析 (2)或 【详解】（1）证明：∵， 该方程总有两个实数根； （2）解：方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ， ∴ 即， 或， ∴或． 22．； 未来40天内，后20天中第21天的日销售利润最大，为513元； 【详解】解：由题可设m与t之间的函数关系式为，由题意，得 解得故m与t之间的函数关系式为； 设后20天的日销售利润为w元， 则有 当时，w随t的增大而减小 当时，w最大，为． 故未来40天内，后20天中第21天的日销售利润最大，为513元； 设前20天中，扣除捐赠后的日销售利润为L元， 则 要使当时，L随t的增大而增大，则，解得， 故a的取值范围为． 23．证明体验：见解析；思考探究：；拓展延伸：12 【详解】解：（1）和都是等边三角形 ,, ，即 在和中 . （2）如图，以为边作等边，过点E作交的延长线于点F，则 ，， 等边， ，， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， . （3）12 ， 将绕点A逆时针旋转得到，连接， 则，， ； ， ； ； ； ， ； 过点A作于F，于G. 四边形为矩形， ， . 24．(1)，点，点； (2)的最大值为； (3)直线恒过定点． 【详解】（1）对于，令，则， ∴， ∴点，点， 令，则， ∴点； （2）过点P作轴于E，交于点F，如图1： 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴△OBC为等腰直角三角形. ∴∠OBC=45°， ∵轴， ∴轴， ∴=45°， ∵， ∴∠PDF=90°， ∴△DFP为等腰直角三角形， ∴PD=PF， ∴， ∴当时，最大为； （3）证明：如图2，设点， 直线，直线，直线， 整理得：， 则，， 同理：，，   ∵，   ∴， ∴， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴， 化简得：， ∴， ∴直线， ∴不论为何值，均有时，， 即：直线恒过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$