广东省深圳市宝安区中澳实验学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年广东省深圳市宝安区中澳实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 2.若，则的值为(    ) A. B. C. 3：5 D. 2 3.用配方法解方程变形后为(    ) A. B. C. D. 4.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是(    ) A. 24 B. 18 C. 16 D. 6 5.关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有无实数根，无法判断 6.如图，下列条件不能判定∽的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是(    ) A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 8.如图，矩形ABCD中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为(    ) A. B. C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，则菱形ABCD的周长为______. 10.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有__________个． 11.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为______. 12.现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有；如：，若，则实数x的值是______. 13.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，，，，______. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题8分 解方程： ； 15.本小题7分 深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁． 张红选择A安全检查口通过的概率是______； 请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率． 16.本小题8分 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 17.本小题8分 如图，在中，AD平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N； 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F； 第三步，连接DE、 求证：四边形AEDF是菱形； 若，，，求BE的长. 18.本小题8分 如果关于x的一元二次方程a有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”； 通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”. ①； ②； 已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值. 19.本小题10分 学完一元二次方程和相似三角形后，老师给同学们出了如下题目： 如图，在中，，，，点P由C点出发以的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动. 老师问了三个不同问题： 方程应用：如图1，经过______秒， PQ的长为？ 相似探讨：如图1，经过几秒，与相似？请写出你的计算过程. 拓展延伸：如图2，如果点P仍在AC上由C点出发以的速度向终点A匀速移动，但点Q在AB上由点A点出发以的速度向终点B匀速移动，经过______秒，是等腰三角形. 20.本小题12分 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为菱形，且 问题引入：如图①，点E，G分别为AB，AD上的两点，且，连接 ①的度数为______ ②BE，CF之间的数量关系为______. 拓展探究：将图①中的菱形AEFG绕点A顺时针旋转得到图②，连接BE并延长交CF的延长线交于点O，试探究BE与CF之间的数量关系，并求出的度数. 问题解决：将图①中的菱形AEFG绕点A逆时针旋转得到图③，连接BE，CF，当，，直接写出CF的长为______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：原方程可化为：，提取公因式：， 或 故选： 本题可先进行移项得到：，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为 本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法． 2.【答案】A  【解析】解：根据等式的基本性质：，故选 根据比例的基本性质对原式转换，：：7，即可得出答案． 能够根据比例的基本性质灵活变形． 3.【答案】A  【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 配方得 故选： 在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为1； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4.【答案】C  【解析】【分析】 先计算出白球的频率，再由数据总数频率=频数计算白球的个数． 本题主要考查频率和频数，掌握频率和频数的关系是解题的关键． 【解答】 解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， 摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个 故选： 5.【答案】A  【解析】解：， ， ， 即， 原方程有两个不相等的实数根． 故选： 利用根的判别式，可得出，由，可得出，即，进而可得出原方程有两个不相等的实数根． 本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：，， ∽， 故A不符合题意； ，， ∽， 故B不符合题意； ， ， 又， ∽， 故C不符合题意； 根据，不能判定∽， 故D符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定定理求解即可． 此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作轴，过点A作轴，交点为F，延长CA交x轴于点H， 四边形AOBC是矩形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ∽， ， 即， ， 即点， ， 点C的横坐标为：， 点 故选： 首先过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作轴，过点A作轴，交点为F，易得≌，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 8.【答案】D  【解析】解：连接AC，交EF于O， 四边形ABCD是矩形， ，， ，， ， 动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ， ， ， 又， ≌， ， ， 点G在以AO为直径的圆上运动， 为直径时，AG有最大值为1， 故选： 由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证≌，可得，由，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键． 9.【答案】20  【解析】解：如图， 菱形ABCD中，，， ，，， ， 菱形ABCD的周长是 故答案为： 由菱形ABCD的两条对角线相交于O，若，，可求得OA与OB的长，然后由勾股定理求得边AB的长，继而求得答案． 此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键． 10.【答案】12  【解析】解：设白球个数为x个， 摸到红色球的频率稳定在左右， 口袋中得到红色球的概率为， ， 解得：， 故白球的个数为12个． 故答案为： 由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得， ， 解得，不合题意，舍去； 故答案为： 解答此题利用的数量关系是：商品原来价格每次降价的百分率现在价格，设出未知数，列方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格每次降价的百分率现在价格． 12.【答案】4或  【解析】解：由题意可知：， ， ， 或 故答案为：4或 根据新定义型运算法则即可求出答案． 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于中等题型． 13.【答案】  【解析】解：如图，过点D作，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N， ， ∽，∽， ， ， ， ， ， ∽， ， 设，，则，，， 由得， ， 即， ， 故答案为 过点D作，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，通过证明∽，∽，列比例式可得，再证明∽，列比例式可得，设，，则，，，进而可求解，再利用三角形的面积公式可计算求解． 本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积，灵活运用三角形相似的判定与性质是解题的关键． 14.【答案】解：， ， ， ，即， ， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】用配方法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法，应根据方程的系数特点，灵活选择解法． 15.【答案】解：； 根据题意画图如下： 共有9种等可能情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种， 则她俩选择相同安全检查口通过的概率是  【解析】【分析】 本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是明确题意，正确画出树状图． 根据概率公式求解即可； 根据题意先画出树状图得出所有等可能情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】 解：有、C三个安全检查口， 张红选择A安全检查口通过的概率是； 故答案为：； 见答案. 16.【答案】解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利1200元． 根据题意得， 解得， 因尽快减少库存，故 答：每件衬衫应降价20元．  【解析】商场平均每天盈利数=每件的盈利售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利-降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果． 本题考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题关键． 17.【答案】证明：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线， ，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， 四边形AEDF是平行四边形， ， 平行四边形AEDF是菱形； 解：▱AEDF是菱形， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得：  【解析】利用基本作图方法得出MN是线段AD的垂直平分线，进而得出，同理可得：，进而得出答案； 利用菱形的性质得出，再利用平行线分线段成比例定理得出答案． 此题主要考查了基本作图以及平行线分线段成比例定理、菱形的判定与性质，正确得出是解题关键． 18.【答案】解：①分解因式得：， 解得：或， ， 不是“邻根方程”； ②分解因式得：， 解得：或， ， 是“邻根方程”； 分解因式得：， 解得：或， 方程是常数是“邻根方程， 或， 或  【解析】解方程求得方程的根即可判断； 解方程得或，根据题意或，解得或 本题考查了解一元二次方程--因式分解法，“邻根方程”的定义，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 19.【答案】2或 或或  【解析】解：设经过x秒，PQ的长为， 由题意得：，， ， ， 解得：或， 故答案为：2或； 设运动时间为t s，与相似． 当与相似时， 则有或， 所以，或， 解得，或 因此，经过秒或秒，与相似； 设经过y秒，是等腰三角形． 分三种情况：若， 则， 解得； 若，作于点E， ，， ∽， ， ， 若， 作于点F， 同理可得， ， ， 综上所述，或或，是等腰三角形． 故答案为：或或 分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用勾股定理列出方程求解； 设运动时间为ts，与相似，当与相似时，可知或，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值； 分三种情况，由等腰三角形的性质列出方程可得出答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：①连接AC，AF， 四边形ABCD和四边形AEFG均为菱形，且， ，AC平分，， ，F，C共线， ， 故答案为：30； ②延长EF交CD于H，过点H作于J， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形BEHC是平行四边形， ， 故答案为： 如图②中，连接AC，AF，设AC交BE于 ，，，， ，，， ，， ∽， ，， ， ， 如图③中，连接AC，AF，过点E作于 在中，，，， ，， ， ， 同法可证，∽， ， 故答案为： ①连接AF，AC，由菱形的性质可得结论． ②如图①中，延长EF交CD于H，过点H作于J，连接AF，首先说明A，F，C共线，再证明，，可得结论． 如图②中，连接AC，AF，设AC交BE于证明∽，推出，，可得结论． 如图③中，连接AC，AF，过点E作于解直角三角形求出BE，证明，可得结论． 本题属于几何变换综合题，考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$