广东省宝安区海韵学校2024-—2025学年上学期10月份月考九年级数学试题

2024-2025学年广东省深圳市宝安区海韵学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，若直线，且DE：：3，，则(    ) A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 3.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且，AE交CD于点F，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.已知m是方程的一个根，则的值为(    ) A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 5.如图，在三角形纸片ABC中，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的平分线AG，若，，则AG的长是(    ) A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 7.如图所示，已知AD：：2，AC：：3，则BF：(    ) A. 5：4 B. 4：5 C. 3：2 D. 2：3 8.如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，轴．直线从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．平行四边形ABCD的面积为(    ) A. 3 B. C. D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.若，且，则______. 10.为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为______. 11.“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的插比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P大致是AB的黄金分割点，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为______ 12.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，于E，且，CE：：3，则矩形ABCD的面积为______. 13.如图，AD是的角平分线，CE是的中线，AD，CE交于点F，若，则______. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题7分 解下列方程： ； 15.本小题9分 图1、图2、图3是三张方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两端点均在小正方形的顶点上. 在图1中画出以AB为斜边的等腰直角，点E在小正方形的顶点上； 在图2中，在AB上找一点P，使得； 在图3中，以AB为对角线画一个面积为4的矩形ACBD，点C、D在小正方形的顶点上. 16.本小题9分 张老师周末给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量周边某物体高楼、路灯、大树等的高度.善思小组决定测量人民公园一棵高大的柿子树的高度，下面是该小组的部分测量方案及测量数据： 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆.观测者调整自己的位置，使树的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上.这时其他同学测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高. 测量示意图 测量数据 线段AB表示树，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到树底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离 … 请你根据上述信息，帮善思小组求出树AB的高度. 17.本小题9分 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，，连接BD、 求证：四边形BFDE是矩形； 若，，求BC的长． 18.本小题9分 新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 若降价2元，则平均每天销售数量为______件； 当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？ 19.本小题9分 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系.请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为 【模型验证】如图2，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后与光线AO的交点为点，过点作主光轴MN的垂线，垂足为，即可得出物体AB所成的像 已知，，，，，当时，求证： 证明：，， ， ∽， ， 即， 同理可得∽， ，即①______， ②______，，，即 请结合上述材料，解决以下问题： 在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是______； 请补充上述证明过程中①②所缺的内容用含v，f的代数式表示； 如图3，在中，，AD平分并交边BC于点D，设，求的值用含n的代数式表示 20.本小题9分 阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且 与DF之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由. 【类比迁移】 如图2，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，将沿BE翻折得到，延长交BC延长线于点线段DF与BE具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 如图3，在菱形ABCD中，，，E是AB上一点，DE绕点E顺时针旋转得FE，AE绕点E顺时针旋转得GE，当时，求四边形CFHG的面积. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：方程， 移项得：， 配方得：，即 故选： 方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：直线，且DE：：3， ， ， ， 故选： 由平行线分线段成比例定理得，则，即可得出结论． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键 3.【答案】D  【解析】解：， ， 是正方形ABCD的对角线， ，， ， ， ， 故选： 根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再由即可得解． 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：是一元二次方程的一个根， ， ， 故选： 先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 本题考查了一元二次方程的解．理解方程解的意义和整体思想是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【解答】 解：在三角形纸片ABC中，，， A、，对应边，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项正确； C、，对应边，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、， ，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误. 故选： 6.【答案】B  【解析】解：连接EG，DE与AG相交于O点， 由作图可知，AG是的平分线， ， ，， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 故选： 首先证明DE和AG互相垂直平分，再利用勾股定理计算出AO，从而得到AG的长． 本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图作已知角的角平分线是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定与性质． 7.【答案】D  【解析】解：过C作，交DE于G， ， ， ：：3，即， ，即， ：：2， ， ， ∽， ， ：：3， 故选： 过C作，交DE于G，根据相似三角形的判定推出∽，∽，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案． 此题主要考查平行线分线段成比例，作出辅助线，根据平行线分线段成比例以及比例的性质进行变形是本题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：如图，过B作于点M，分别过B，D作直线的平行线，交AD于E，如图1所示， 由图象和题意可得， ，，， ， 直线BE平行直线， ， 平行四边形ABCD的面积是： 故选： 根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高的长，从而可以求得平行四边形的面积． 本题考查一次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 9.【答案】6  【解析】解：， ，，， ，即， 即， 故答案为： 根据比例的性质可得，，，进而即可求解． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得： ， 解得，，舍去， 则该药品平均每次降价的百分率为， 答：该药品平均每次降价的百分率为， 故答案为： 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是熟知增长率或下降率问题的数量关系，结合题意列方程． 11.【答案】  【解析】解：点P大致是AB的黄金分割点，， ， ， 故答案为： 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 12.【答案】40  【解析】解：矩形ABCD， ，， ：：3， 设，则， ，， ， ，， ∽， ， ， ，即， 解得负值舍去， ，， ，， 矩形ABCD的面积为， 故答案为： 设，则，求得，证明∽，利用相似三角形的性质求得，，再利用勾股定理求得矩形的边长，据此求解即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质．熟练掌握各知识点是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， 而， ∽， ， ， 是的中线， ， ， ， 是的角平分线， ， 而， ∽， 故答案为 先证明∽，利用相似比得到，而，则，再证明∽，然后根据相似三角形的性质可得到的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似三角形的性质可计算相应线段的长． 14.【答案】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ，； ， ， 或， ，  【解析】利用公式法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键． 15.【答案】解：如图1，即为所求： ； 如图2，点P即为所求： ； 取格点M，N，连接MN交AB于点P，此时， ； 如图3，矩形ACBD即为所求： ，，，， ， 四边形ACBD是矩形，且面积为  【解析】根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可； 根据网格特点和相似三角形的判定和性质作图即可； 利用网格特点和矩形的性质、勾股定理求解即可． 本题考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，熟悉网格特点和等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 16.【答案】解：如图，过点C作于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形， ，，， ， 由题意得， ∽， ， ， ， ， 答：树AB的高度为  【解析】过点C作于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形，根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质是解题的关键． 17.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ，， ， ， 四边形DFBE是平行四边形， ， ， 四边形DFBE是矩形； 解：在中，， 四边形ABCD是菱形， ， ， 在中，， ， 解得  【解析】由平行四边形的性质得到，，推出四边形DFBE是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； 在中，由勾股定理求得，由菱形的性质得到，在中，根据勾股定理构造方程，解方程即可求得 本题考查了矩形的判定、菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，根据勾股定理构造方程． 18.【答案】24  【解析】解：件 故答案为： 设每件商品降价x元，则平均每天可销售件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， 当时，， 舍去． 答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据平均每天销售量降低的价格，即可求出结论； 设每件商品降价x元，则平均每天可销售件，根据总利润=每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19.【答案】   相似三角形对应边成比例  【解析】解：在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形对应边成比例， 故答案为：相似三角形对应边成比例； ，， ， ， 即， 同理可得∽， ，即， ， ， ，即 故答案为：①，②； 如图3，过点D作交AB于E，过点E作于F， ，AD平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ∽， ， ， ， 故 证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形对应边成比例； 由题意得：，，即可得出答案； 过点D作交AB于E，过点E作于F，由角平分线定义得，由平行线性质得，推出，运用等腰三角形性质可得，根据解直角三角形可得，由，得∽，即，变形得 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决本题的关键是读懂题意，熟练运用相似三角形的判定和性质． 20.【答案】解：，，理由如下，如图1， 延长BE交DF于点H， 四边形ABCD为正方形， ，， ， ≌， ，， 在和中， ， ，即； ，，理由如图下，如图2，延长BE交DF于H， 由折叠得，点D与点关于BE对称， ，即， ， 在和中， ， ， ， ∽， ：：：4，即； 如图3，连接FG并延长交AD于点T，交DE于S，过E作于N，交DA的延长线于M， 由旋转得，，，， ， ≌， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ∽， ：：MD，即NH：：7， ， ，   【解析】延长BE交DF于点H，证明≌，得出，在利用三角形内角和定理证明出，即可解答； 延长BE交DF于H，由折叠得，点D与点关于BE对称，得出，再证明∽，得出DF：：：4； 连接FG并延长交AD于点T，交DE于S，过E作于N，交DA的延长线于M，证明出≌，得到，，再证明∽，利用相似比求出NH，再求出HC，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问． 本题考查了四边形的综合，矩形性质、三角形全等、三角形相似、旋转对称性质及勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$