浙江省宁波市鄞州区部分学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024学年第一学期九年级期中教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上。 4.考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件为必然事件的是(    ) A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放新闻联播 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和为 2.已知的半径为，点在外，则的长可能为(    ) A. B. C. D. 3.下列成语描述的事件为随机事件的是(    ) A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 4.如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于(    ) A. B. C. D. 5.将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是(    ) A. 向上平移个单位长度 B. 向下平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6.已知，点为线段的黄金分割点，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知为的直径，，是图上同侧的两点，，则(    ) A. B. C. D. 8.如图是型号为英寸车轮的直径为英寸，约的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分分别以，为圆心的两个扇形装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧阴影部分需要的铁皮面积约是(    ) A. B. C. D. 9.如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，点是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；四边形面积；，其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每空3分，共18分。 11.在不透明的口袋中装有个红球，个黄球，个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为______． 12.二次函数的对称轴是          ． 13.如图，的半径为，直角三角板的角的顶点落在上，两边与圆交于点、，则弦的长为          ． 14.已知二次函数当时，则的取值范围          ． 15.如图，壮壮同学投掷实心球，出手点处的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是若实心球落地点为，则           ． 16.已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数的图象经过点，且它的顶点坐标是． 求这个二次函数的表达式； 判断点是否在这个二次函数的图像上，并说明理由． 18.本小题8分 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃、、、四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． 甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； 乙同学将甲的方案修改为只用红桃、、三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？只回答，不说明理由 19.本小题分 现有三位“抗疫”英雄依次标记为，，为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上，，三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料． 求班长在这三种卡片中随机抽到标号为的概率； 用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率． 20.本小题分 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分的水面宽，水最深的地方的高度为． 求这个圆形截面的半径． 求图中阴影部分的面积． 21.本小题分 如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． 请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯，若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 22.本小题分 如图，在矩形中，，，点，，，分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为，边长为． 求关于的表达式及自变量的取值范围． 求的最小值． 23.本小题分 已知关于的二次函数，经过点，． 若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； 若时，，求的值； 若，当，且时，求证：． 24.本小题12分 如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点． 若，求的大小； 求证：； 若，，求的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、购买两张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； D、三角形三个内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.【答案】  【解析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：的半径为，点在外， 当时，点在外； ， 故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断求解，掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、守株待兔是随机事件，故符合题意； 、种豆得豆是必然事件，故不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； 、水涨船高是必然事件，故不符合题意； 故选：． 4.【答案】  【解析】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出． 【详解】解：绕点顺时针旋转到的位置， ， 而， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换；根据顶点坐标的变化发现平移方式是解题的关键．根据抛物线解析式得到顶点坐标，平移后顶点左坐标轴上，分两种情况分析即可，结合点的平移规律可求解． 【详解】解：的顶点坐标为：， 当平移后其顶点在轴上，则为， 平移方式为：向下平移个单位； 当平移后其顶点在轴上，则为， 平移方式为：向左平移个单位； 故选：． 6.【答案】  【解析】根据黄金分割点的定义，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则， 故选：． 7.【答案】  【解析】本题考查圆周角定理的应用，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质得出，根据直径所对的圆周角是得，进而利用互余得出的度数即可． 【详解】解：为的直径，，是圆上同侧的两点， ，， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：四边形中，，， ，， 车轮的直径为英寸，约， 需要的铁皮面积约是， 故选：． 求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：连接， ，，， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， 为的中线， ， 阴影部分的面积为． 故选：． 连接，根据直角三角形的性质求出，证明为等边三角形，得到，，得到，进而得到为的中线，得到，推出阴影部分的面积等于，计算即可． 本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ≌， 可以由绕点逆时针旋转得到， 故正确； 由旋转得： ，， 是等边三角形， ， 点与的距离为； 故正确； 是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形， ， ， 故正确； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置，连接，过点作，垂足为，如图： ，，， 是等边三角形， ， ， ， 是直角三角形， 在中，， ， 故正确； 在中，，  ， 故正确； 故选：． 连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明≌，即可判断正确，证明是等边三角形，即可判断正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断正确；将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置，连接，过点作，垂足为，由面积和差关系，即可判断正确．在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断正确． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：袋子中共有个，其中黄球有个， 从中随机摸一个球，是黄球的概率为． 故答案为：． 直接利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 12.【答案】直线  【解析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的对称轴为直线进行解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故答案为：直线 13.【答案】  【解析】本题主要考查了圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ，， ， 又， 是等边三角形， ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】此题考查了二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，已知自变量的值求函数值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．将二次函数的解析式化为顶点式，得到二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上，再分别计算出当时，当时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：， 二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，； 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点为坐标原点，射线方向为轴正半轴，射线方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系， 出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 当时，， 解得，舍去，， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 16.【答案】或  【解析】本题考查了二次函数性质，以及解一元一次不等式，解题的关键在于利用分类讨论的思想分析不同的可能性，先根据，的纵坐标相等得到二次函数对称轴，再根据，结合二次函数的增减性进行分类讨论，建立不等式进行求解，即可解题． 【详解】解：，都在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 当时，， 二次函数图象与轴交于， 关于对称轴对称的坐标为， ， ，解得， 当，都在对称轴左侧时， ，随的增大而减小， ，解得， 当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 即到对称轴距离小于到对称轴距离， ，解得， 即， 故答案为：或． 17.【答案】【小题】 顶点坐标是 设函数表达式为 当，时，有，解得 函数表达式为 【小题】 当时，有 点不在这个二次函数的图像上   【解析】  根据待定系数法写出函数顶点式，然后代入即可求解；   将代入函数解析式，判断是否等于即可． 18.【答案】解：甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法，        小明 小刚                                         所有可能出现的结果共有种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； 不公平．理由如下：        小明 小刚                         所有可能出现的结果共有种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．  【解析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． 解题思路同上． 此题主要考查了游戏公平性，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】解：共有三张卡片，分别是，，三个标号， 班长在这三种卡片中随机抽到标号为的概率为； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有种， 小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为．  【解析】直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】解：如图，过点作的垂线交于点，交于点，连接、． 设， ， ， ，， ， 在中利用勾股定理，得，即， 解得． 答：这个圆形截面的半径是． ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 阴影  【解析】过点作的垂线交于点，交于点，连接、设，根据垂径定理和勾股定理计算即可； 利用三角函数求出的度数，从而求出的度数，再利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 本题考查垂径定理的应用、勾股定理、扇形面积的计算，掌握垂径定理的应用、勾股定理和扇形及三角形的面积计算公式是解题的关键． 21.【答案】解：由题意得，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 点、在同一高度， 则点、关于对称轴对称， 由题意得，点和对称轴的距离为个单位， 当时，， 即照明灯的高度为：．  【解析】设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． 求出点的横坐标，即可求解． 本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 22.【答案】【小题】 解：四边形是矩形， 边长为， ，， ， ， 【小题】 解： 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 在范围内．当时，函数有最小值，为   【解析】  本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关雄． 利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到与的函数关系；   通过对函数配方，结合自变量取值范围取得最值． 23.【答案】【小题】 解：此函数图象过点， ， 解得， 这个二次函数的表达式为； 【小题】 解：由得，该函数的图象的对称轴为直线， 若时，， 点、关于直线对称， ，解得， 将代入函数表达式中，得， 解得； 【小题】 证明：由题意， ， ， ， ， ， ， ，则， ， ．   【解析】  本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，理解函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 将点代入函数表达式中求解即可；    先求得函数图象的对称轴为直线，再根据对称性求得，进而代值求解即可；   求，结合条件判断与的大小即可得出结论． 24.【答案】【小题】 解：连接，如图，    ， ， ，， 是的直径， ， ， 为的中点， ， ． 【小题】 解：如图，   ， 是的直径， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，， ， ． 【小题】 解：连接，如图，    是的直径， ， ， 设，则， ， 为的中点， ， ， ，即， 由勾股定理，得，即 解得：， ，，， 由勾股定理，得， ， ， ， ， ， 由知， ．   【解析】  连接，圆周角定理及其推论，直角三角形两锐角互余求解即可；   根据圆周角定理及其推论，三角形外角的性质证明，即可得出结论；   连接，设，则，，证明，得，即，解得，又由勾股定理，得，即，解得：，则，，，由勾股定理，得，得到，继而可求得，由知，得出，然后根据三角形中线性质由求解即可． 第3页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$