精品解析：辽宁省沈阳市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学模拟试题

2024～2025学年度九年级教学质量检测（一） 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 2. 将抛物线向下平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 下列现象中不属于旋转的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 5. 图中的雪花图案是由一个“基本图形”经过旋转得到的，下面四个图形中，不能作为“基本图形”的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 9. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若x1，x2是方程x2﹣6x+8=0的两根，则x1+x2的值__． 12. 如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为______度．     13. 已知二次函数，当时，随的增大而______．（填“增大”或“减小”） 14. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为__． 15. 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点E落在上，且，则四边形的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）解方程： 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）与关于原点成中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； （2）画出点关于直线的对称点，连接，并指出可以看作由绕点经过怎样的旋转而得到的． 18. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数解析式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．当，时， （1）通过计算判断此球能否过网； （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时，乙扣球成功，请求出羽毛球在处时与点的水平距离． 19. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司，今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别约为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.9万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务？请回答并说明理由． 20. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 问题驱动 目前，我国部分地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓． 小明同学对某电器商场销售的某种家用空气净化器进行了调研． 素材一 这种空气净化器的进价是200元/台． 素材二 经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台． 问题解决 任务一 （1）请求出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； 任务二 （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？ 22. 问题初探】 如图1，在四边形中，，，连接，若四边形的面积为．求的长． ①如图2，小辉同学采用“补”的方式将四边形的面积转化成三角形的面积，进而解决问题； ②如图3，小丽同学采用“割”的方式将四边形分割成两个全等的三角形和一个矩形，进而解决问题． （1）请你选择一名同学的思路写出完整的解答过程； 【类比分析】 李老师发现，两名同学通过“割”或“补”的方式把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，为了帮助学生更好地感悟这种转化思想，李老师对图形进行了变式． （2）如图4，在四边形中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，且，，求的面积； 学以致用】 （3）如图5，在中，，为斜边上一点，，，且四边形是正方形，请直接写出与的和． 23. 概念感知】 如图1，我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同二次函数称为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】 （1）的“友好对称二次函数”为______； 的“友好对称二次函数”，为______； 【性质探究】 （2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是______；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③“友好对称二次函数”为； 【拓展应用】 （3）如图2，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点、分别在、上，点、的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点、，连接、、、．当，且四边形是正方形时， ①请写出的函数解析式； ②请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度九年级教学质量检测（一） 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 2. 将抛物线向下平移个单位，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据由“上加下减”的原则，即可求解． 【详解】将抛物线向下平移单位，得到的抛物线的解析式是． 故选：D． 3. 下列现象中不属于旋转的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 4. 若关于的方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的情况之间的关系是解题的关键． 根据关于的方程无实数根可得，解该一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：关于的方程无实数根， ， 解得：， 故选：． 5. 图中的雪花图案是由一个“基本图形”经过旋转得到的，下面四个图形中，不能作为“基本图形”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质对各选项逐项分析判即可得出答案． 【详解】解：A. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转、、、、得到的，故选项不符合题意； B. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转、得到的，故选项不符合题意； C. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转得到的，故选项不符合题意； D. 图中的雪花图案不能由经过旋转得到，因此它不能作为“基本图形”，故选项符合题意； 故选：． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 7. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可； 本题考查的是中心对称图形概念，正确掌握相关定义是解题关键； 【详解】A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这批椽的数量为，则每株椽的价格为，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：设这批椽的数量为，则每株椽的价格为， 依题意得：． 故x表示这批橡的数量， 故选：B． 9. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故选C． 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若x1，x2是方程x2﹣6x+8=0的两根，则x1+x2的值__． 【答案】6 【解析】 【详解】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=6. 12. 如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为______度．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了找旋转角，深刻理解旋转角的定义是解题的关键. 根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：旋转角是： ， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的增减性是由函数图象开口方向和对称轴两个因素决定的是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向和对称轴，即可得出答案． 【详解】解：二次函数，且， 二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 故答案：增大． 14. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为__． 【答案】（40﹣2x）（30﹣2x）＝600 【解析】 【分析】设剪去小正方形的边长为x cm，则纸盒的底面为长（40−2x）cm，宽为（30−2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形， 依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600． 故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点E落在上，且，则四边形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，由旋转的性质得到，再由可知为等腰直角三角形，进而可求出的长，再利用面积的转化即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，将方程整理为一般形式并进行因式分解是解题的关键． （1）先将方程整理为一般形式，然后进行因式分解，进而解方程即可； （2）先将方程整理为一般形式，然后进行因式分解，进而解方程即可． 【详解】解：（1）， 整理为一般形式，得：， 分解因式，得：， 或， ，； （2）， 整理为一般形式，得：， 分解因式，得：， 或， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）与关于原点成中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； （2）画出点关于直线的对称点，连接，并指出可以看作由绕点经过怎样的旋转而得到的． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析，可以看作由绕点逆时针旋转而得到 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，然后直接写出点的坐标即可； （2）根据画轴对称图形的方法画出点关于直线的对称点，连接，同时连接、，由勾股定理可得，因而可知点在线段的垂直平分线上，同理可知点在线段的垂直平分线上，由两点确定一条直线可知，直线即为线段的垂直平分线，因而点就是点关于直线的对称点，由计算可知，由勾股定理的逆定理可得，于是可得结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： ； 【小问2详解】 解：如图，画出点关于直线的对称点，连接， 同时连接、， 由勾股定理可得： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线即为线段的垂直平分线， 点就是点关于直线的对称点， ， ， ， ， 可以看作由绕点逆时针旋转而得到的． 【点睛】本题主要考查了画已知图形关于某点对称的图形，写出直角坐标系中点的坐标，画轴对称图形，勾股定理，线段垂直平分线的判定，两点确定一条直线，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握画已知图形的中心对称图形和轴对称图形是解题的关键． 18. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数解析式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．当，时， （1）通过计算判断此球能否过网； （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时，乙扣球成功，请求出羽毛球在处时与点的水平距离． 【答案】（1）此球能过网 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）把代入，得：，由于，于是得到结论； （2）设为代入，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵函数解析式，当，时， ∴， 把代入，得：， ， 此球能过网； 【小问2详解】 解：设为代入， 得：， 解得：，（不合题意舍去）， 羽毛球在处时与点的水平距离． 19. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司，今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别约为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.9万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务？请回答并说明理由． 【答案】（1） （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），直接开平方法解一元二次方程，有理数四则混合运算的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，根据题目给出的条件找出合适的等量关系列方程求解是解题的关键． （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据“今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别约为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可得出答案； （2）首先求出今年10月份的快递投递任务，再求出该公司现有的16名快递投递业务员能完成的快递投递任务，进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ， 该快递公司投递总件数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：能，理由如下： 今年10月份的快递投递任务是： （万件）， 平均每人每月最多可投递0.9万件， 该公司现有的16名快递投递业务员能完成的快递投递任务是： （万件）， ， 该公司现有的16名快递投递业务员能完成今年10月份的快递投递任务， 答：该公司现有的16名快递投递业务员能完成今年10月份的快递投递任务． 20. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠BDE＝90°；（2）DF＝PF，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质即可求得结果； （2）由旋转性质可得∠ACE=∠ADB=45゜，则易得∠FPD=∠DAC+∠ACE=∠CDF+∠ADB=∠FDP，从而可得DF=PF． 【详解】（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE=∠B， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）DF＝PF．理由如下： 由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握旋转的性质． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 问题驱动 目前，我国部分地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓． 小明同学对某电器商场销售的某种家用空气净化器进行了调研． 素材一 这种空气净化器的进价是200元/台． 素材二 经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台． 问题解决 任务一 （1）请求出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； 任务二 （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？ 【答案】（1）；（2）售价定为320元台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的应用， （1）根据月销售量原销售量降价，即可列出函数关系式； （2）根据总利润每台利润销售量，列出函数关系式，将函数关系式配方，即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台， 则月销售量（台）与售价（元台）之间的函数关系式：， 化简得：， ∴月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）根据题意得，， 整理得：． 当时，最大值为72000， 答：售价定为320元台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润最大． 22. 【问题初探】 如图1，在四边形中，，，连接，若四边形的面积为．求的长． ①如图2，小辉同学采用“补”的方式将四边形的面积转化成三角形的面积，进而解决问题； ②如图3，小丽同学采用“割”的方式将四边形分割成两个全等的三角形和一个矩形，进而解决问题． （1）请你选择一名同学的思路写出完整的解答过程； 【类比分析】 李老师发现，两名同学通过“割”或“补”的方式把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，为了帮助学生更好地感悟这种转化思想，李老师对图形进行了变式． （2）如图4，在四边形中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，且，，求的面积； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，为斜边上一点，，，且四边形是正方形，请直接写出与的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，，易证得四边形为矩形，因而可设，，则，，，利用三角形的面积公式可得，因而可推出，解一元二次方程即可求出的值，然后利用勾股定理即可求出的长； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，由垂线的性质可得，易证得四边形为矩形，于是可得，，，由旋转的性质可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）由正方形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，设（），则可得，即，，在中根据勾股定理可得，于是建立关于的一元二次方程，解方程即可求得、、、的长，然后利用三角形的面积公式即可求出与的和． 【详解】解：（1）选择小丽同学的思路并写出完整的解答过程如下： 如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， 设，， 则， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ； （2）如图，过点作于点，过点作交延长线于点， ，， ， 四边形矩形， ，， ， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 设（）， ， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ，即：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的面积公式，整式的加减运算，直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，利用邻补角互补求角度，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等式的性质，代数式求值等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 【概念感知】 如图1，我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】 （1）的“友好对称二次函数”为______； 的“友好对称二次函数”，为______； 【性质探究】 （2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是______；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； 拓展应用】 （3）如图2，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点、分别在、上，点、的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点、，连接、、、．当，且四边形是正方形时， ①请写出的函数解析式； ②请求出的值． 【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）①可求得的“友好对称二次函数”的二次项系数为，又因两者的对称轴及图象与y轴交点相同，因而可得答案；②令的“友好对称二次函数”为，则可得，由于两者的对称轴相同，因而可得，故可得，可求得函数的图象与y轴交点为，而函数的图象与y轴交点为，因而可得，于是可得答案； （2）①对于二次项系数为1的二次函数，由于，即其“友好对称二次函数”的二次项系数为，因此它没有“友好对称二次函数”，故结论①正确；②对于二次项系数为的二次函数，其“友好对称二次函数”的二次项系数，由于二者的对称轴相同，式中的也相同，因而也相同，由二者与y轴的交点相同可知也相同，于是可得结论②正确；③对于，可知其“友好对称二次函数”的二次项系数为，对称轴为，进而可得，由于与y轴的交点是，因而其“友好对称二次函数”的常数项等于，于是可知结论③正确；综合以上，即可得出答案； （3）①当时，，可得解析式中的二次项系数为，由于的对称轴为，因而可得，进而可得，由于与y轴的交点是，因而解析式中的常数项等于，于是可得的函数解析式；②由于在上，因而可设，同理可设，利用、的对称性可求得正方形的边长，又因，根据可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，图象与y轴交点为， 又， 的“友好对称二次函数”为； ②令的“友好对称二次函数”为， ， 的对称轴为直线， ， 解得：， 对于函数，令，则， 函数的图象与y轴交点为， 对于函数，令，则， 函数的图象与y轴交点为， ， 的“友好对称二次函数”为； 故答案为：，； （2）①二次项系数为1的二次函数，由于，即其“友好对称二次函数”的二次项系数为，故它没有“友好对称二次函数”，故结论①正确； ②对于二次项系数为的二次函数， ， 其“友好对称二次函数”的二次项系数与原函数相同，也是， 二者的对称轴相同，式中的也相同， 也相同， 二者与y轴的交点相同， 也相同， 二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，故结论②正确； ③对于， 其“友好对称二次函数”的二次项系数为， 其对称轴为， ， 解得：， 与y轴的交点是， 其“友好对称二次函数”的常数项等于， 的“友好对称二次函数”为，故结论③正确； 综上所述，正确的结论有， 故答案为：； （3）①当时，， 解析式中的二次项系数为， 的对称轴为， ， 解得：， 与y轴的交点是， 解析式中的常数项等于， ， 的函数解析式为； ②在上， 可设， 在上， 可设， 、均关于直线对称， 正方形的边长， 又 ， 四边形是正方形， ， 即：， 整理，得：， ， ， ， 而， 不符合题意，故舍去， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，求二次函数解析式，轴对称的性质，正方形的性质，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“友好对称二次函数”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $