北京市第五中学分校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

北京五中分校2024~2025学年度第一学期期中考试 初三数学 考生须知： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一､选择题（本题共16分，每小题2分） 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水､排水､保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 旭日东升 D. 掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数是7 3. 如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 据统计，2021年全国城镇居民人均消费支出约为万元，2023年提升到约万元．如果设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：米）与足球被踢出后经过的时间x（单位：秒）近似满足函数关系．下表记录了3个时刻的数据，其中． x 3 6 9 y 3 5 m 可推断出足球飞行到最高点时，下列数据中最接近的时刻x是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为___________．（只需写一个） 10. 在半径为1的圆中，圆心角是60°的扇形的面积是_____． 11. 在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 若将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为______. 13. 做随机抛一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛纪念币的次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2605 “正面向上”的频率” 可以估计“正面向上”的概率是____________________（结果精确到） 14. 如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为___________． 15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是___________． 16. 某校食堂为了提升学生的就餐体验，对学生就餐排队情况进行了调查：食堂窗口还未开放时，有a个人已经在排队等候打饭；窗口开放开始打饭时，排队的人数平均每分钟增加b人．假定打饭速度是每个窗口每分钟c个人，当开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3个窗口时，则20分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若食堂想5分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开放___________个窗口． 三､解答题（共68分，第17题6分，其中每小题3分，第18-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法：①连接； ②以为直径作，交于点A，B； ③作直线； 则直线即为所求．根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：是的直径， （___________________________）（填推理依据）． ． 又是的半径， 是的切线（________________________）（填推理依据）． 同理，是的切线． 19. 已知二次函数． （1）将其化为的形式为___________； （2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为___________； （3）当时，的取值范围是___________． 20. 如图，是的弦，半径于点C．若，，求的半径的长． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于2，求k的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．将绕原点顺时针旋转得到．点，，的对应点分别为 （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）求点经过的路径的长（结果保留）． 23. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中1个红球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）摸出1个球是白球的概率是___________； （2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）． 24. 被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． （1）假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式； （2）现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 25. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E． （1）求证：直线为的切线； （2）连接，若的半径为5，，求线段的长． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 27. 已知，和都是等腰直角三角形，(如图1)，为的中点，连接，并延长交于点． （1）在图1中，按要求补全图形，并证明； （2）将图1中的绕点旋转，当落在图2所示的位置时，点，，恰好在同一条直线上．连接，交于点F．判断线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点R和线段，给出如下定义：M为线段上任一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点R为线段的“等距点”． （1）已知点． ①在点中，线段的“等距点”是___________； ②若点C在直线上，并且点C是线段的“等距点”，求点C的坐标； （2）已知点，点，图形W是以点为中心，边长为2，各边与坐标轴平行的正方形．若图形W上存在线段的“等距点”，直接写出t的取值范围． 北京五中分校2024~2025学年度第一学期期中考试 初三数学 考生须知： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一､选择题（本题共16分，每小题2分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二､填空题（本题共16分，每小题2分） 【9题答案】 【答案】（答案不唯一） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】或 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①③ 【16题答案】 【答案】9 三､解答题（共68分，第17题6分，其中每小题3分，第18-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分） 【17题答案】 【答案】（1），； （2），． 【18题答案】 【答案】（1） 如图所示； （2） 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 【19题答案】 【答案】（1）； （2） （3） 【20题答案】 【答案】17 【21题答案】 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ∴ ∵ ， ∴此方程总有两个实数根； （2） 【22题答案】 【答案】（1） 如图所示，即为所求 （2） （3） 【23题答案】 【答案】（1） （2） 【24题答案】 【答案】（1） （2） 此船能通过，理由： 船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米 则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：， 当时，代入， 解， ∴此船能通过桥洞． 【25题答案】 【答案】（1） 证明：连接交于H， ， ， 平分交于点， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线为的切线； （2） 【26题答案】 【答案】（1）直线 （2）或 【27题答案】 【答案】（1） 补全图形如图： 证明：是等腰直角三角形，为的中点， ， ， ， ， ； （2） ， 证明：延长至，使，连接，， 是等腰直角三角形，， ，， 为的中点， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【28题答案】 【答案】（1）①；②或 （2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $