浙江省重点中学九校联考2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期九校联考期中教学质量检测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号 3.须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则下列比例式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.抛物线经过点，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.将抛物线向右平移个单位长度得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 5.二次函数的图象的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6.如图，四边形内接于，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 8.我国古代数学名著九章算术中有一个经典的“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何意思是：如图，是的直径，弦于，寸，寸，则直径的长是      寸 A. B. C. D. 9.已知函数，若，，则下列说法正确的是(    ) A. 当时，有最小值 B. 当时，无最大值 C. 当时，有最小值 D. 当时，有最大值 10.已知，且，，都是大于的数，若满足，，，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每空2分，共14分。 11.一个不透明的布袋里只有个红球和个白球仅有颜色不同若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ______． 12.已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是______． 13.的半径长为，弦，则弦的弦心距为          ． 14.如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于          ． 15.如图，四边形内接于，对角线是的直径．为内一点，满足，，若，，则弦的长为          ． 16.如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，则弦的长度为          ；当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 已知：：，求： 的值； 若，求，的值． 18.本小题分 甲、乙两位同学相约打乒乓球，有款式完全相同的个乒乓球拍分别记为，，， 若甲先从中随机选取个乒乓球拍，求甲同学未选中球拍的概率； 若甲先从中随机选取个乒乓球拍，乙再从余下的乒乓球拍中随机选取个，求乙选中球拍的概率； 19.本小题分 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． 求此抛物线的解析式； 求的面积． 20.本小题分 如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为． 求截面中弦的长； 求截面中有水部分弓形的面积． 21.本小题分 某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元． 若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元 求出一周销售量件与元的函数关系式． 设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价． 22.本小题分 如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． 求证：； 试判断四边形的形状，并说明理由． 23.本小题12分 如图，在中，弦，点在上，延长至点，使，延长至点，连结，使，． 连结，求证：． 若，为直径，求的度数． 连结，求证：． 24.本小题分 如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作交的延长线于点． 求证：； 求的周长； 若点为上一点，当为等腰三角形时，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， ． 故选：． 本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论． 本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：二次函数， 二次函数图象的顶点坐标是． 故选：． 根据顶点式可直接写出顶点坐标． 此题主要考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式中，顶点坐标是是解题的关键． 3.【答案】  【解析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，将点代入可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：将点代入，得， 解得， 故选：． 4.【答案】  【解析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移个单位长度得到的抛物线是． 故选： 5.【答案】  【解析】由交点式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴， 【详解】解：， 函数图象与轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质求出的度数即可． 【详解】解：，， ． ． 故选：． 7.【答案】  【解析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由，，三个点离对称轴的远近，即可解决问题． 【详解】解：由题知， 抛物线的开口向上，且对称轴是直线， 所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小． 又， 所以． 故选：． 8.【答案】  【解析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径． 【详解】解：连接， ，且寸， 寸， 设圆的半径的长为，则， ， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 寸． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：如图： 由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，，， 当时，即：， ， ，当的值越小，越小，无限接近，但不等于，即没有最小值， 当时，，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，，， 当时，即：， 当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选：． 根据题意画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，数形结合和分类讨论的思想；进行正确的分类讨论是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：， ， ，，都是大于的数， ，，， ，，， ，，， ， ， 1，，3， 13， 13， ，，都是大于的数， ． 故选：． 根据，可得，又由于，，都是大于的数，可得，，，进而得出，，，再根据完全平方公式可得1，，3，进而得出答案． 本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：根据题意，， 解得， 经检验是方程的解． ． 故答案为：． 根据红球的概率公式，列出方程求解即可． 本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 12.【答案】  【解析】解：点是二次函数图象上的点， ； 点是二次函数图象上的点， ． ． 故答案为：． 将和分别代入二次函数中求出和的值，然后比较大小． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键． 13.【答案】  【解析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，先过点作于点，由垂径定理可知，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，点作于点， 则， 圆的半径是，即， 在中，． 故答案为：． 14.【答案】度  【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值． 【详解】解：， ， 将绕点旋转到的位置， ，， ， ， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】延长交于，延长交于，先由圆周角定理的推论证明，再证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：延长交于，延长交于， ，， ， 是的直径， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 16.【答案】       【解析】连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，作，连接， ， ， 为圆心，半径为， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上移动， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故答案为；． 17.【答案】【小题】 由：：，设， ； 【小题】 由可知，， ，．   【解析】  结合题意，设，，代入代数式计算，即可得到答案；   由得，，结合，可计算得的值，从而得到答案． 18.【答案】【小题】 解：甲先从中随机选取个，则甲同学未选中球拍的概率； 故答案为：； 【小题】 解：画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果， ．   【解析】  本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 根据概率公式计算即可求解；   画树状图得出所有等可能的结果数以及乙同学选中号球拍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 19.【答案】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 由知，抛物线的解析式为； 令，则， 或， ，； ， ．  【解析】设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解； 令，解方程得出点，坐标，再用三角形面积公式即可得出结论． 主要考查了抛物线与轴的交点，待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式等知识，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题． 20.【答案】解：连接、，过作，交于点， 弓形的高为，截面半径为， ， 在中，， ，， ， ； ， ，   【解析】连接、，过作，交于点，由于弓形的高为可求出的长，在中利用三角函数的定义可求出，解直角三角形求得，进一步求得； 由垂径定理可知，，进而可求出的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积． 本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键． 21.【答案】    【解析】解：由题意得，若按每件元销售，每周销量为件， 毛利润为元． 故答案为：；． 由题意得，， 一周销售量件与元的函数关系式为； 由题意得，， ， 当时，毛利润有最大值，最大值为， 与的函数关系式为，一周毛利润的最大值为元，此时的销售单价为元． 由“若销售单价每涨元，每周销量就减少件”知，按每件元销售，每周销量为件，利润销售数量售价成本； 直接根据“如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件”即可求解； 利用“利润销售数量售价成本”可得关于的二次函数，于是利用二次函数的性质求解即可． 本题主要考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 22.【答案】证明：是直径， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 解：四边形是菱形． 证明：，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形．  【解析】根据圆周角定理推出，进而结合题意推出≌，从而由等腰三角形的性质得到； 根据平行线的性质得出，进而推出≌，结合题意和全等三角形的性质得到四边形是平行四边形，再根据推出，从而得到四边形是菱形． 本题考查了圆周角定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23.【答案】【小题】 证明：弦， ，， ． ， ． 【小题】 解：连接如图， 为直径， ． ， ． ． 【小题】 证明：连结， ，都是所对的圆周角， ． ， ． 又，， ． ． ， ．   【解析】  题主要考查圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角． 根据弦可得，，由弧、弦的关系可得结论；   由为直径得，再根据圆周角定理可得结论；、   连结，得，，证明，进一步可得结论． 24.【答案】【小题】 证明：连接 是直径， ， ， ， ， ， 点为弧得中点， ， ， ．    【小题】 解：，， 在中，， ， ， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，， ， 的周长．    【小题】 解：当时， ，    当时， 与重合，过点作于点，连接， ， ， ， ， 解得：， ， ， ，则， 解得：， 根据勾股定理可得：， ；    当时，连接，连接交于点， ，， 垂直平分， ， 根据勾股定理可得：， ，， 根据勾股定理可得：，，    综上所述：或或或．   【解析】  连接，易得，，则，，根据点为弧得中点，得出，进而得出，即可求证；   根据勾股定理得出，用等面积法求出，再根据勾股定理可得出，，则，即可求解；   根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当时，当时，当时． 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$