重庆市第三十七中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年重庆三十七中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1．（4分）3的倒数是（　　） A．﹣3 B． C．﹣ D．3 2．（4分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x（x﹣3）＝x2 D．x（x﹣2）＝0 4．（4分）如图，AB∥CD，AC⊥AD，若∠1＝153°，则∠2的度数为（　　） A．67° B．63° C．43° D．27° 5．（4分）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．当t＝41时，h＝15 B．过山车距水平地面的最高高度为98米 C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 6．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若菱形ABCD的面积是12，则△AOB的面积为（　　） A．3 B．6 C．24 D．48 7．（4分）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 8．（4分）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 9．（4分）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB＝α，则用α表示∠OAE为（　　） A． B．45°﹣ C．45°﹣a D．90°﹣α 10．（4分）在多项式a﹣b﹣c﹣d（a＜b＜c＜d＜0）中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”， 例如：|a﹣b|+c+d＝﹣a+b+c+d，|a+b|﹣|c+d|＝﹣a﹣b+c+d… 下列说法中正确的有（　　） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．（4分）计算：＝　 　． 12．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式m2﹣m+1的值为 　 　． 13．（4分）有四张完全一样正面分别写有“决”“胜”“中”“考”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字不相同的概率是 　 　． 14．（4分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是 　 　． 15．（4分）九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 　 　． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，对角线AC、BD相交于点E，将△ADE沿着DE翻折到△FDE，连接CF，则CF的长为 　 　． 17．（4分）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　． 18．（4分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝34时，n′＝43，，则F（38）＝ 　 　；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）规定：，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s，t）的最大值为 　 　． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．（8分）解下列一元二次方程： （1）x2+12x+27＝0； （2）（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）． 20．（10分）在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交BC于点E，垂足为点O，连接BO并延长，在射线BO上截取OD＝OB，连接AD、CD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵OE垂直平分AC， ∴点O是AC的中点． ∴OA＝　 　． ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝　 　， ∴四边形ABCD是 　 　． ∴　 　． ∵， ∴OB＝　 　． 21．（10分）为了在青少年中推动法制教育与法治实践、道德教育有机结合，充分调动广大青少年学法守法用法的积极性和自觉性，增强青少年法制宣传教育的针对性、时效性和有效性，某校组织了法律知识主题大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x＜70；B．70≤x＜80；C．80≤x＜90；D．90≤x≤100）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：65，66，68，71，79，85，85，85，86，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，82． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）已知该校七年级有680人，八年级有850人参加了此次主题大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？ 22．（10分）中考临近，某商家抓位商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过10%．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 23．（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，当点P到达点C时停止运动．连结DP，DB，若点P运动的路程为x（x≥0），△BPD的面积为y，当点P与点B重合时，y的值为0． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当y＞4时，x的取值范围． 24．（10分）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：A﹣B﹣C﹣D．已知点B在点A的北偏东45°方向3.6km处，点C在点B的正东方2.4km处，点D在点C的南偏东30°方向，点D在点A的正东方．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） （1）求线段CD的长度；（结果精确到0.01km） （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能否按时送达？（送货司机在各站点停留的时间忽略不计） 25．（10分）如图1，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB． （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，点P为线段AB上一动点，若S△APC＝8，求点P的坐标； （3）如图3，点Q为直线AB上一动点，当∠BCQ＝∠BAO时，求点Q的坐标． 26．（10分）在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为CB延长线上任一点，连接AD． （1）如图1，若，BD＝2，求线段BC的长； （2）如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接BE，CE．点F为BE的中点，连接AF．求证：DC＝2AF； （3）在（2）的条件下，设点K为直线CE上的点，AE交BC于点P．点D在CB延长线上运动的过程中，当AB⊥BE时，将△ABE沿直线AE翻折到△ABE所在平面内得到△ANE，同时将△PCK沿直线PK翻折到△PCK所在平面内得到△PKM．在MN取得最大值时，请直接写出的值． 2024-2025学年重庆三十七中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1．（4分）3的倒数是（　　） A．﹣3 B． C．﹣ D．3 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解． 【解答】解：∵3×＝1， ∴3的倒数是． 故选：B． 【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．（4分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 3．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x（x﹣3）＝x2 D．x（x﹣2）＝0 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断． 【解答】解：A、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故B不是一元二次方程，不符合题意； C、x（x﹣3）＝x2可整理为﹣3x＝0，故C不是一元二次方程，不符合题意； D、x（x﹣2）＝0可整理为x2﹣2x＝0，故D是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握其定义是解题的关键． 4．（4分）如图，AB∥CD，AC⊥AD，若∠1＝153°，则∠2的度数为（　　） A．67° B．63° C．43° D．27° 【分析】根据平行线的性质，∠1＝∠2+∠CAD，经过计算可求． 【解答】解：∵AC⊥AD， ∴∠CAD＝90°； ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2+∠CAD， ∴∠2＝∠1﹣∠CAD， ＝153°﹣90°， ＝63°． 故答案为：B． 【点评】本题考查，平行线的性质，同位角相等． 5．（4分）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．当t＝41时，h＝15 B．过山车距水平地面的最高高度为98米 C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 【分析】A选项根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象，即可得出当t＝41秒时，h的值；B选项根据图象判断即可；C选项结合图象可得在这1分钟内，有4个时间点，过山车高度是80米；D选项通过函数图象的增减性判断即可． 【解答】解：A．由图象可知，当t＝41秒时，h的值是15米，故本选项不合题意； B．由图象可知，过山车距水平地面的最高高度为98米，故本选项不合题意； C．由图象可知，在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值有3个，原说法错误，故本选项符合题意； D．由图象可知，当41＜t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大；故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想． 6．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若菱形ABCD的面积是12，则△AOB的面积为（　　） A．3 B．6 C．24 D．48 【分析】根据菱形的性质可得△ABC和△ACD的面积相等，△ABO和△CBO的面积相等即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴S△ABC＝S△ACD＝S菱形＝6，AO＝CO， ∴S△ABO＝S△CBO＝S△ABC＝3， 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，三角形的面积，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 7．（4分）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出+2的大小即可． 【解答】解：原式＝+2， ∵＜＜，即2＜＜3， ∴4＜+2＜5， 故选：B． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确判断的前提． 8．（4分）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：根据题意得： ＝0.2， 解得：a＝15， 经检验：a＝15是原分式方程的解， 答：a的值约为15； 故选：B． 【点评】本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键． 9．（4分）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB＝α，则用α表示∠OAE为（　　） A． B．45°﹣ C．45°﹣a D．90°﹣α 【分析】根据矩形的性质得出OA＝OB，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OA＝OD， ∵∠BAD的角平分线交BC于点E， ∴∠EAD＝∠BAD＝＝45°， ∵∠AOB＝α， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣α， ∴∠OAD＝， ∴∠OAE＝∠EAD﹣∠OAD＝45°﹣， 故选：B． 【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出OA＝OB解答． 10．（4分）在多项式a﹣b﹣c﹣d（a＜b＜c＜d＜0）中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”， 例如：|a﹣b|+c+d＝﹣a+b+c+d，|a+b|﹣|c+d|＝﹣a﹣b+c+d… 下列说法中正确的有（　　） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】由题意知，a﹣b﹣c﹣d（a＜b＜c＜d＜0）先将其中任意两个减号变为加号，有a+b+c﹣d，a+b﹣c+d，a﹣b+c+d，然后进行“双加绝对操作”，化简绝对值，进行判断作答即可． 【解答】解：∵a﹣b﹣c﹣d（a＜b＜c＜d＜0）先将其中任意两个减号变为加号， ∴有a+b+c﹣d，a+b﹣c+d，a﹣b+c+d， ①a+b+c﹣d“双加绝对操作”后|a+b|+c﹣d＝﹣a﹣b+c﹣d，|a+b|+|c﹣d|＝﹣a﹣b﹣c+d，a+|b+c|﹣d＝a﹣b﹣c﹣d，a+b+|c﹣d|＝a+b﹣c+d； ②a+b﹣c+d“双加绝对操作”后|a+b|﹣c+d＝﹣a﹣b﹣c+d，|a+b|﹣|c+d|＝﹣a﹣b+c+d，a+|b﹣c|+d＝a﹣b+c+d，a+b﹣|c+d|＝a+b+c+d； ③a﹣b+c+d“双加绝对操作”后|a﹣b|+c+d＝﹣a+b+c+d，|a﹣b|+|c+d|＝﹣a+b﹣c﹣d，a﹣|b+c|+d＝a+b+c+d，a﹣b+|c+d|＝a﹣b﹣c﹣d； 当a+|b+c|﹣d＝a﹣b﹣c﹣d时，运算结果与原多项式相等，①正确，故符合要求； 当|a﹣b|+c+d＝﹣a+b+c+d时，其运算结果与原多项式之和为0，②正确，故符合要求； 所有“双加绝对操作”共有9种不同的结果，③错误，故不符合要求； 故选：C． 【点评】本题考查了化简绝对值，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．（4分）计算：＝　5　． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝2+3 ＝5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 12．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式m2﹣m+1的值为 　5　． 【分析】利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的一个根， ∴m2﹣m﹣4＝0， ∴m2﹣m＝4， ∴m2﹣m+1＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义． 13．（4分）有四张完全一样正面分别写有“决”“胜”“中”“考”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字不相同的概率是 　　． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字不相同的结果有12种， ∴抽取的两张卡片上的汉字不相同的概率为＝． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14．（4分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是 　6　． 【分析】设正多边形的一个外角的度数为x°，根据正多边形的一个内角等于一个外角的2倍列方程可求解一个外角的度数，再利用多边形外角和为360°可求解． 【解答】解：设正多边形的一个外角的度数为x°， 由题意得2x+x＝180°， 解得x＝60， 360°÷60°＝6， 所以这个正多边形的边数是6． 故答案为6． 【点评】本题主要考查正多边形的性质，多边形的内角与外角，求解正多边形一个外角的度数是解题的关键． 15．（4分）九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 　x（x﹣1）＝1560　． 【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程． 【解答】解：全班有x名学生，那么每名学生送照片（x﹣1）张， ∴全班应该送照片x（x﹣1）， 则可列方程为：x（x﹣1）＝1560． 故答案为：x（x﹣1）＝1560． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清每名同学送出的照片是（x﹣1）本是解决本题的关键． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，对角线AC、BD相交于点E，将△ADE沿着DE翻折到△FDE，连接CF，则CF的长为 　　． 【分析】连接AF，交BD于点G，说明EG为△ACF的中位线，再利用勾股定理列方程即可解决问题． 【解答】解：连接AF，交BD于点G， ∵将△ADE沿着DE翻折到△FDE， ∴BD垂直平分AF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AE＝CE，AC＝BD， ∴EG是△ACF的中位线， ∴CF＝2EG， 在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD＝10， ∴AE＝BE＝5， 设EG＝x，则BG＝5﹣x， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得x＝， ∴CF＝2x＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 17．（4分）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　﹣4　． 【分析】分别解方程和不等式，根据题意确定a的取值范围，列出所有符合条件的a的值，求它们的和即可． 【解答】解：方程的解为x＝， 根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5． ∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解， ∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1． 综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5， ∴a＝﹣3，﹣1． ∵﹣3﹣1＝﹣4， ∴符合条件的所有整数a的和为﹣4 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，正确求出它们的解是本题的关键． 18．（4分）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝34时，n′＝43，，则F（38）＝ 　﹣405　；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）规定：，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s，t）的最大值为 　　． 【分析】根据“异能数”定义以及F（n）公式计算F（38）的值即可；根据题意，可得F（s）＝81（a﹣b），F（t）＝81（x﹣y），根据F（s）能被7整除，可得a﹣b＝7，可知a＝9，b＝2，再根据F（s）+F（t）﹣81y＝162可得x﹣2y＝﹣5，即可确定x＝1，y＝3或x＝3，y＝4，然后分别计算K（s，t）的值，比较即可获得答案． 【解答】解：根据题意，F（38）＝＝﹣405； ∵s＝10a+b， ∴F（S）＝＝81（a﹣b）， 同理可得F（t）＝81（x﹣y）， ∵F（s）能被7整除， ∴a﹣b＝7， 又∵1＜b≤a≤9， ∴a＝9，b＝2， ∴81（a﹣b）+81（x﹣y）﹣81y＝162， 整理可得：a﹣b+x﹣2y＝2， ∴x﹣2y＝﹣5， ∵1≤x、y≤5， ∴x＝3，y＝4或x＝1，y＝3， ∵， ∴当x＝1，y＝3时，K（s，t）＝， 当x＝3，y＝4时，K（s，t）＝， ∵， ∴K（s，t）的最大值为：． 故答案为：﹣405；． 【点评】本题主要考查了新定义运算，理解新定义“异能数”及相关计算是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．（8分）解下列一元二次方程： （1）x2+12x+27＝0； （2）（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）． 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+9＝0或x+3＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2+12x+27＝0， （x+9）（x+3）＝0， x+9＝0或x+3＝0， 所以x1＝﹣9，x2＝﹣3； （2）（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）， （2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（2x﹣1﹣2）＝0， 2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0， 所以x1＝，x2＝． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 20．（10分）在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交BC于点E，垂足为点O，连接BO并延长，在射线BO上截取OD＝OB，连接AD、CD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵OE垂直平分AC， ∴点O是AC的中点． ∴OA＝　OC　． ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝　90°　， ∴四边形ABCD是 　矩形　． ∴　AC＝BD　． ∵， ∴OB＝　AC　． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明四边形ABCD是矩形，可得结论． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵OE垂直平分AC， ∴点O是AC的中点． ∴OA＝OC． ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． ∴AC＝BD， ∵， ∴OB＝AC． 故答案为：OC，90°，矩形，AC＝BD，AC． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（10分）为了在青少年中推动法制教育与法治实践、道德教育有机结合，充分调动广大青少年学法守法用法的积极性和自觉性，增强青少年法制宣传教育的针对性、时效性和有效性，某校组织了法律知识主题大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x＜70；B．70≤x＜80；C．80≤x＜90；D．90≤x≤100）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：65，66，68，71，79，85，85，85，86，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，82． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　80.5　，b＝　85　，m＝　20　； （2）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）已知该校七年级有680人，八年级有850人参加了此次主题大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？ 【分析】（1）根据中位数，众数，百分比的定义判断即可； （2）从平均数，中位数分析即可； （3）求出两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有人数即可． 【解答】解：（1）a＝＝80.5，b＝85，m＝100﹣30﹣10﹣40＝20； 故答案为：80.5，85，20； （2）从平均数看，七年级79分＝八年级79分， 从中位数看，七年级82分＞八年级80.5分， 所以，七年级掌握知识较好； （3）（人） 答：估计两个年级参加竞赛成绩不低于80分的共有850人． 【点评】本题考查扇形统计图，样本估计总体，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（10分）中考临近，某商家抓位商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过10%．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【分析】（1）设商家购买笔的进价是x元/支，圆规的进价是（x+2）元/个，利用数量＝总价÷单价，结合1600元购买笔的数量是用1200元购买圆规数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出商家购买笔的进价，再将其代入（x+2）中，即可求出商家购买圆规的进价； （2）设每个圆规的售价为y元，则每个圆规的销售利润为（y﹣6）元，平均每天可卖出（150﹣10y）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设商家购买笔的进价是x元/支，圆规的进价是（x+2）元/个， 根据题意得：＝×2， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意， ∴x+2＝4+2＝6（元/个）． 答：商家购买笔的进价是4元/支，圆规的进价是6元/个； （2）设每个圆规的售价为y元，则每个圆规的销售利润为（y﹣6）元，平均每天可卖出30+10（12﹣y）＝（150﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣6）（150﹣10y）＝200， 整理得：y2﹣21y+110＝0， 解得：y1＝10，y2＝11， 当y＝10时，×100%＝×100%≈16.7%＞10%，不符合题意，舍去； 当y＝11时，×100%＝×100%≈8.3%＜10%，符合题意． 答：每个圆规的售价为11元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，当点P到达点C时停止运动．连结DP，DB，若点P运动的路程为x（x≥0），△BPD的面积为y，当点P与点B重合时，y的值为0． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当y＞4时，x的取值范围． 【分析】（1）分两种情况：①AB上，②在BC上时分别表示出三角形ABC的BP的长利用三角形的面积公式得出两个函数，解析式是分段函数；（2）根据函数解析式，画出函数的图象即可；（3）据（2）中所画函数的图象观察y＞0时得到x的取值范围． 【解答】（1）解：分两种情况： ①P点AB边上时，即0≤x≤4， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝AD＝BC＝CD， ∴BP＝AB﹣AP＝4﹣x， ∵AD⊥AB， ∴S△BPD＝， 即：y＝， ∴y＝﹣2x+8； ②P点CB边上时，即4≤x≤8， ∵AB+BP＝x， ∴BP＝x﹣4， ∵CD⊥BC， ∴S△BPD＝， 即：y＝×4（x﹣4）， ∴y＝2x﹣8， 综上所述：y＝； 当4≤x≤8，y随x增大而减小（答案不唯一）； （2）图象如图： （3）观察图象可得：y＞4时，0≤x＜2或6＜x≤8． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数的实际应用． 24．（10分）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：A﹣B﹣C﹣D．已知点B在点A的北偏东45°方向3.6km处，点C在点B的正东方2.4km处，点D在点C的南偏东30°方向，点D在点A的正东方．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） （1）求线段CD的长度；（结果精确到0.01km） （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能否按时送达？（送货司机在各站点停留的时间忽略不计） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△ABE中，求出AE，从而得到CF，再在Rt△CDF中，即可求出CD； （2）先求出路线A﹣B﹣C﹣D的总长，进而求出送餐需要的时间，再与16分钟比较即可判断是否能按时送达． 【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F， ∵C在点B的正东方，点D在点A的正东方， ∴四边形AFCE是矩形， 在Rt△ABE中， ∵AB＝3.6km，∠BAE＝45°， ∴AE＝AB•cos45°＝3.6×≈2.55（km）， ∴CF＝AE＝2.55km， 在Rt△CDF中， ∵∠DCF＝30°， ∴CD＝＝≈2.94（km）， 答：线段CD的长度约为2.94km； （2）送货司机按既定路线A﹣B﹣C﹣D路线长为AB+BC+CD＝3.6+2.4+2.94＝8.94（km）， 按全程保持10m/s＝600m/分的速度匀速行驶，需要8940÷600＝14.9（分钟）＜16（分钟）， ∴能按时送达． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25．（10分）如图1，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB． （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，点P为线段AB上一动点，若S△APC＝8，求点P的坐标； （3）如图3，点Q为直线AB上一动点，当∠BCQ＝∠BAO时，求点Q的坐标． 【分析】（1）先求出A（﹣4，0），再利用待定系数法求解即可； （2）先求出C（0，﹣4），进而得到OA＝OC＝4，OB＝2，BC＝6，设点，根据三角形面积之间的关系建立方程求解即可； （3）如图，当Q点在B点右侧时，证明∠BAC＝∠QCA，得到QA＝QC，则P点在直线y＝x上；如图，当Q点在B点左侧时，证明CQ⊥AB，由勾股定理得，利用等面积法得到，设，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）在y＝﹣x﹣4中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为； （2）在y＝﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∵点A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣4）， ∴OA＝OC＝4，OB＝2， ∴BC＝6， 设点，当点P在线段AB上时，如图2.1， ∵S△APC＝8， ∴S△ABC﹣S△PBC＝8， ∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8， 解得m＝﹣， ∴点P（﹣，）； （3）如图，当Q点在B点右侧时，如图3.1， ∵OA＝OC＝4， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵∠BAO＝∠BCQ， ∴∠BAC＝∠QCA， ∴QA＝QC， ∴QO垂直平分AC， ∴P点在直线y＝x上， ∴， 解得x＝4， ∴P（4，4）； 如图3.2，当Q点在B点左侧时， ∵∠BAO＝∠BCQ，∠BAO+∠CBQ＝90°， ∴∠ABO+∠BCQ＝90°， ∴CQ⊥AB， 在Rt△ABO中，由勾股定理得， ∵S△ABC＝AO•BC＝AB•CQ， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴； 综上所述：Q点坐标为（4，4）或． 【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26．（10分）在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为CB延长线上任一点，连接AD． （1）如图1，若，BD＝2，求线段BC的长； （2）如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接BE，CE．点F为BE的中点，连接AF．求证：DC＝2AF； （3）在（2）的条件下，设点K为直线CE上的点，AE交BC于点P．点D在CB延长线上运动的过程中，当AB⊥BE时，将△ABE沿直线AE翻折到△ABE所在平面内得到△ANE，同时将△PCK沿直线PK翻折到△PCK所在平面内得到△PKM．在MN取得最大值时，请直接写出的值． 【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD≌△ACE，证明△ADE是等腰直角三角形，求出DE，CE的长度，在Rt△DCE中运用勾股定理得到CD从而求出BC； （2）取BC的中点G，连接AG，GF，DE，证明△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，证明点A、G、F三点共线，再证明GF＝CE，AG＝BC，即可证明结论； （3）由题可知，点M在以点P为圆心，PC的长度为半径的圆上运动，得点P在线段MN上时，MN取得最大值，证明△AGP∽△ECP，设AG＝x，则BG＝CG＝x，AB＝，BC＝CE＝2x，根据相似三角形的性质表示GP，PC，MN，BC，根据锐角三角函数，表示BH，BN，即可求解． 【解答】解：（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使得AB与AC重合，得到△ACE，连接DE， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°， 由旋转得△ABD≌△ACE，∠DAE＝90°， ∴∠ABD＝∠ACE＝135°，AD＝AE＝，BD＝CE＝2， ∵∠DAE＝90°，AD＝AE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝＝， ∵∠ACE＝135°，∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， ∵DE＝，CE＝2， ∴CD＝＝8， ∴BC＝CD﹣BD＝6； （2）连接DE， 由线段AD绕着点A逆时针旋转90°得到线段AE，得∠DAE＝90°，AD＝AE， ∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， 取BC的中点G，连接AG，GF， ∵AB＝AC，点G是BC中点， ∴AG⊥BC， ∵点G，F是BC，BE中点， ∴GF是△BCE的中位线， ∴GF∥CE，GF＝CE， ∵CE⊥BC， ∴GF⊥BC， ∵AG⊥BC， ∴点A、G、F三点共线， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AG＝BC， ∴AF＝AG+GF＝+＝+＝， ∴CD＝2AF； （3）由题可知，点M在以点P为圆心，PC的长度为半径的圆上运动， 得点P在线段MN上时，MN取得最大值， ∵∠ABE＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠CBE＝45°， ∵∠BCE＝90°， ∴△BCE是等腰直角三角形， 设AG＝x，则BG＝CG＝x，AB＝，BC＝CE＝2x， ∵AG∥CE， ∴△AGP∽△ECP， ∴， ∴PG＝CG＝x，PC＝CG＝， 由折叠可知PB＝PN， ∴MN＝NP+MP＝BP+CP＝BC＝2x， ∵△ABC和△BCE是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝，BE＝BC＝， 在Rt△ABE中， ∵AB＝，BE＝， ∴AE＝＝， ∴＝， ∵BC关于AE对称， ∴BN＝2BH，AE⊥BN， ∴∠ABH＝90°﹣∠BAH＝∠AEB， ∴＝， ∴AH＝＝， ∴BH＝＝， ∴BN＝2BH＝， ∴． 【点评】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，本题的关键是熟练运用上述知识点解题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$