精品解析：山东省聊城市莘县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 2. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B 3. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 4. 如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 【答案】A 【解析】 【详解】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝40°，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：连接OC，如图： ∵DC与圆O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ABC＝20°， ∴∠COD＝2∠ABC＝40°， ∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键． 5. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 立柱根部与圭表的冬至线的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 6. 如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角． 连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得 ． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，A，B，C，D分别是龙城公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米，千米．则的长度为（ ）千米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E， 由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，构造直角三角形时解题的关键． 8. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，由四边形是平行四边形，得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点, ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴，， ∴， 解得： 故选: A． 9. 如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 10. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 锐角α满足，则α的度数为 ___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知相关内容是解题的关键．根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 13. 如图，已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是________． 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】由题意可知，OA=OB，ODAB，可求出∠1=∠2，OA=10，OD=5，在RtAOD中，根据∠1的余弦值可求出∠1=60，则∠AOB=120，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得弦AB所对的圆周角的度数. 【详解】 如图，∵OA=OB，ODAB，OA=10，OD=5， ∴∠1=∠2，cos∠1==, ∴∠AOB=2∠1=120， ∴∠C=60，∠D=18060=120. 即弦AB所对的圆周角的度数是60或120. 故答案为60或120. 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质. 14. 如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用翻折变换的性质以及勾股定理得出的长，进而得出，可得出相似比即可得出答案． 【详解】解：∵将矩形纸片沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上 ∴， ∴在中，设，则， ， ∴， 解得： ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折边换的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形的性质得出相似比是解题关键． 15. 如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． 连接，交于点E，则，根据垂径定理得出，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求出即可解答． 【详解】解：连接，交于点E， ∵， ∴， ∵点C是弧中点，， ∴， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， ∴圆心O到弦的距离等于， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，由等边三角形的性质得出，，进而得出，即可判断选项①；由等腰三角形的性质得出，由正方形对角线的性质得出，得，得出，由平行线的性质得出，得出，即可判断选项②；由三角形内角和定理求出，进而求出，即可判断选项③；由，，得出，由相似三角形的性质即可判断选项④；从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，，， ∴，，， ∴，， ∴结论①正确； ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴结论③正确； ∵°，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∴正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果； （2）根据特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、 （1）以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______． （2）外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)利用位似变换的性质分别做出各顶点的对应点即可，在利用位似变换的性质求出的坐标． (2)线段、的垂直平分线的交点即为所求，在利用勾股定理求出半径即可． 【小问1详解】 解：如图 根据位似变换的性质， 故答案为 【小问2详解】 解：如图，点即为所求， 点坐标为 半径 故答案为， 【点睛】本题考查了位似变换，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19. 在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 20. 已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证： （1）△ACE∽△BDE； （2）BE•DC=AB•DE． 【答案】 证明：（1）∵∠ADB=∠ACB， ∴∠BDE=∠ACE， 又∵∠E=∠E， ∴△ACE∽△BDE； （2）∵△ACE∽△BDE ∴， ∵∠E=∠E， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴BE•DC=AB•DE． 【解析】 【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到 ，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到 ，等量代换得到，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是关键． 21. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 22. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面的距离； （2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）5米 （2）17.1米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度，设，， ∵， ∴， 解得， 答：点D到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 23. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点E在上， 是的切线； （2）6． 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义，得到，再利用半径相等，得到，进而得到，推出，又因为，得到，即可证明结论； （2）过点O作，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理得到，最后利用垂径定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点O作于点M， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，圆的切线性质和判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 24. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】（1） 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； 【小问3详解】 解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 5. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B，C，D分别是龙城公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米，千米．则的长度为（ ）千米． A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 9. 如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3 10. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 锐角α满足，则α的度数为 ___________． 12. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 13. 如图，已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是________． 14. 如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为________． 15. 如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于_____． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、 （1）以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______． （2）外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______． 19. 在中，，求的长． 20. 已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证： （1）△ACE∽△BDE； （2）BE•DC=AB•DE． 21. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 22. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面的距离； （2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 23. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $