第三章 实数（单元重点综合测试，湘教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第三章 实数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（本题3分）下列说法正确的是（ ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数 【答案】C 【分析】本题考查平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念是解题的关键； 根据平方根和立方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：解：A、的立方根是，故本选项的说法错误； B、的平方根是，故本选项的说法错误； C、的算术平方根是，故本选项的说法正确； D、可能为，故本选项的说法错误． 故选：C 3．（本题3分）式子 表示的意义是（     ） A．的平方根是2 B．的算术平方根是2 C．2 的平方根是 D．2的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考算术查平方根定义，涉及算术平方根定义及性质，由算术平方根定义及即可得到的意义，熟记算术平方根定义及性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据算术平方根定义及可知，式子 表示的意义是的算术平方根是2， 故选：B． 4．（本题3分）数，0，，中最小的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数比较大小，根据负数比较大小，其绝对值大的反而小进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 5．（本题3分）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 6．（本题3分）已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，则，再根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数为， 故选：B． 7．（本题3分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先根据程序得出，再求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 8．（本题3分）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D．0.5 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算，线段的和差计算，是解决问题的关键，先由正方形面积为2可知边长为，而后根据线段的和差即得． 【详解】∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为2， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴， ∴点E表示的数为， 故选：B． 9．（本题3分）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 【答案】B 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 10．（本题3分）若有理数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是（  ） A．12或8 B．10 C．8 D．10或8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，解决本题的关键是要能根据非负数的性质求出m、n的值，再根据m或n 作为腰进行分类讨论．由已知等式，结合非负数的性质求出m、n的值，再根据m、n分别为等腰三角形的腰，分类求解即可求出的周长． 【详解】解：， ， ， 当为腰时，三边长分别为：2、2、4，不符合三边关系； 当为腰时，三边长分别为：2、4、4，符合三边关系，则周长为：； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根计算即可． 【详解】的相反数是， ∵   ， ∴   的倒数是， ∵   ， ∴   的平方根是． 故答案为：，， 【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根，掌握绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根是解题的关键． 12．（本题3分）的平方根是 ， 的平方根是 ，-343的立方根是 ，的平方根是 . 【答案】 ±3 ±2 -7 ±4； 【详解】解：=9，9的平方根是±3； =4，4的平方根是±2； -343的立方根是－7； ，16的平方根是±4． 故答案为±3，±2，-7， ±4． 13．（本题3分）若单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】2 【解析】略 14．（本题3分）在实数范围内，等式＋－＋3＝0成立，则＝ ． 【答案】8 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，2-x≥0且x-2≥0， 解得x≤2且x≥2， 所以，x=2， y=3， 所以xy=23=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 15．（本题3分）设m是的整数部分，n是的小数部分，则2m+n= ． 【答案】 【详解】∵3<<4，m是的整数部分，n是的小数部分， ∴m=3，n=-3， ∴2m+n=2×3+-3=+3， 故答案为+3. 16．（本题3分）若与是同一个数的平方根，则 ． 【答案】或 【详解】试题解析： 由题可得：或， 解得：或， 故答案为或． 点睛：正数有2个平方根，它们互为相反数. 17．（本题3分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足： 请你判断△ABC的形状是 【答案】直角三角形 【详解】分析：根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形即可． 详解：原等式可化为：， 根据非负数的性质知， a=3，b=4，c=5， ∵32+42=52， ∴以为a、b、c为三边的△ABC是直角三角形. 故答案为直角三角形. 点睛：本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理.将题中的转化为完全平方式是解题的关键. 18．（本题3分）若的平方根等于它本身，，互为倒数，，两数不相等，且数轴上表示，两个数的点到原点的距离相等，则的值为 ． 【答案】1 【分析】利用平方根，倒数，相反数的定义求出a，xy，p+q的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】∵a的平方根等于它本身，∴a=0． ∵x，y互为倒数，∴xy=1． ∵p，q两数不相等，且数轴上表示p，q两个数的点到原点的距离相等，∴p+q=0，∴（a+1）2﹣（﹣xy）2016（p+q） =12﹣（﹣1）2016×0 =1﹣0 =1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了代数式求值，数轴，以及平方根，倒数，相反数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③：④，⑤；⑥（两个1之间的0逐次增加）；⑦； (1)整数集合{ } (2)分数集合合{ } (3)有理数集合{ } (4)无理数集合{ } 【答案】(1)①⑦ (2)② (3)①②⑦ (4)③④⑤⑥ 【分析】(1)根据整数包括正整数，0，负整数，选择填写即可． (2)根据分数的定义，选择填写即可． (3)根据整数和分数统称有理数，选择填写即可． (4)根据无限不循环小数是无理数，选择填写即可． 本题考查了有理数的分类，整数，无理数，熟练掌握分类标准，定义，准确分类是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故整数集合：{①⑦}． （2）解：根据题意，得分数集合：{②}． （3）解：根据题意，得有理数集合：{①②⑦}． （4）解：根据题意，无理数是：，；⑥， 故无理数集合{③④⑤⑥}． 20．（本题6分）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)；0；1； (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，实数的有关概念，解题的关键是∶ （1）根据已知可求得a、b、c、d的值； （2）根据（1）中的值代入即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是倒数是它本身的正数， ∴， ∵d是9的负平方根． ∴， 故答案为：；0；1；； （2）解∶ 由（1）知：；；；； ∴ ． 21．（本题8分）如果a是100的算术平方根，b是125的立方根，求的平方根． 【答案】±. 【分析】先根据算术平方根、立方根的定义求得a、b的值，再代入所求代数式即可计算． 【详解】∵a是100的算术平方根，b为125的立方根， ∴a=10，b=5， ∴a2+4b+1=121， ∴=11， ∴的平方根=±． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义．解题时注意对的平方根的理解．要双重开平方． 22．（本题8分）求下列各式中x的值： （1） 2x2－32＝0；                  （2）(x－2)3＝－18； 【答案】（1）x＝4或－4；（2）x＝－1. 【分析】（1）移项整理后，直接开平方即可； （2）两边同乘以后，直接开立方即可． 【详解】（1）2x2﹣32=0 2x2﹦32 x2﹦16 x﹦±4 ∴x1=4，x2=﹣4； （2）（x－2）3=－27 x－2﹦﹣3 x﹦﹣1． 【点睛】本题考查了解方程、平方根、立方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义． 23．（本题9分）用“作差法”比较和2的大小：，∵，∴，∴，∴． (1)归纳总结：已知两个数a、b，若，则________0；若，则________0；（填>，<或=） (2)举一反三：比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了实数大小比较，关键是熟练掌握作差法． （1）根据不等式的性质可解答①③，根据等式的性质可解答②； （2）根据作差法即可比较大小． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则； ③若，则． 故答案为：①，②； （2）解： ， ， ， ， ． 24．（本题9分）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么________，________． (2)是的小数部分，是的整数部分，那么________，________． (3)的平方根是________； (4)比较大小：________ 【答案】(1)4，5 (2)，3． (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可解答； （2）根据 (1)的结论，得到，即可解答； （3）将（2）的结论代入计算即可解答； （4）根据（2）可得，进而确定的范围即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4，5． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为，即， ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即． 故答案为：，3． （3）解：当，时，代入， ， ∴的平方根为：． （4）解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 25．（本题10分）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 【答案】(1)①表示的代数式；②表示的代数式 (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为7的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴b也是7的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 26．（本题10分）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 0，3.5，，，． 【答案】数轴上表示见解析， 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．把各数在数轴上表示出来，从右到左用“＜”连接起来即可． 【详解】解：， 在数轴上表示为： ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 实数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 2．（本题3分）下列说法正确的是（ ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数 3．（本题3分）式子 表示的意义是（     ） A．的平方根是2 B．的算术平方根是2 C．2 的平方根是 D．2的算术平方根是 4．（本题3分）数，0，，中最小的是（   ） A． B．0 C． D． 5．（本题3分）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 6．（本题3分）已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 7．（本题3分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 8．（本题3分）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D．0.5 9．（本题3分）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 10．（本题3分）若有理数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是（  ） A．12或8 B．10 C．8 D．10或8 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 12．（本题3分）的平方根是 ， 的平方根是 ，-343的立方根是 ，的平方根是 . 13．（本题3分）若单项式与是同类项，则的值是 ． 14．（本题3分）在实数范围内，等式＋－＋3＝0成立，则＝ ． 15．（本题3分）设m是的整数部分，n是的小数部分，则2m+n= ． 16．（本题3分）若与是同一个数的平方根，则 ． 17．（本题3分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足： 请你判断△ABC的形状是 18．（本题3分）若的平方根等于它本身，，互为倒数，，两数不相等，且数轴上表示，两个数的点到原点的距离相等，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③：④，⑤；⑥（两个1之间的0逐次增加）；⑦； (1)整数集合{ } (2)分数集合合{ } (3)有理数集合{ } (4)无理数集合{ } 20．（本题6分）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 21．（本题8分）如果a是100的算术平方根，b是125的立方根，求的平方根． 22．（本题8分）求下列各式中x的值： （1） 2x2－32＝0；                  （2）(x－2)3＝－18； 23．（本题9分）用“作差法”比较和2的大小：，∵，∴，∴，∴． (1)归纳总结：已知两个数a、b，若，则________0；若，则________0；（填>，<或=） (2)举一反三：比较与的大小． 24．（本题9分）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么________，________． (2)是的小数部分，是的整数部分，那么________，________． (3)的平方根是________； (4)比较大小：________ 25．（本题10分）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 26．（本题10分）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 0，3.5，，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$