四川省成都外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都外国语学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．（4分）在数﹣1、0、、中，为无理数的是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的为（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．，， D．6，12，18 4．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 5．（4分）实数在哪两个相邻的整数之间（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．（4分）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．（4分）点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　） A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4） 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）计算：＝　 　． 10．（4分）要使得式子有意义，则a的取值范围是 　 　． 11．（4分）点A（2a+7，a﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则a＝　 　． 12．（4分）如图，圆柱体的底面圆周长为16cm，高AB为6cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为 　 　cm． 13．（4分）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的面积是 　 　． 三、解答题（共48分） 14．（12分）计算： （1）； （2）． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　． （2）在图中描出点C（1，2）． （3）在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且BC∥AD，BC＝AD，则点D的坐标为 　 　． 16．（8分）已知a＝+2，b＝2﹣，求下列各式的值： （1）a2+2ab+b2； （2）a2﹣b2． 17．（10分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 18．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且． （1）求点A，B的坐标； （2）若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点C，求△ABC的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 四、填空题（每小题4分，共20分） 19．（4分）已知实数x、y满足，则（x+y）2024的值为 　 　． 20．（4分）若，则x2﹣2x+4的值是 　 　． 21．（4分）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 　 　． 22．（4分）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2）…，则第24秒时点P所在位置的坐标是 　 　，第2024秒时点P所在位置的坐标是 　 　． 23．（4分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　 　． 五、解答题（共30分） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝ ＝＝ ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简 （2）化简． （3）化简：+++…+． 25．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）． （1）求△ABC三个顶点A，B，C的坐标； （2）若点P坐标为（1，6），连接PA，PB，则△PAB的面积　 　； （3）是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标． 26．（12分）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段BC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE． 【感知特殊】 （1）如图1，当α＝30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； 【探究一般】 （2）①如图2，当0°＜α＜90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明； ②当90°＜α＜180°时，直接写出线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【应用迁移】 （3）已知，在线段DC的旋转过程中，当AE＝3时，求线段EC的长． 2024-2025学年四川省成都外国语学校八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．（4分）在数﹣1、0、、中，为无理数的是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可． 【解答】解：数﹣1、0、、中，为无理数的是． 故选：D． 【点评】本题考查了无理数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式乘法的计算方法，算术平方根，立方根的定义和性质计算即可． 【解答】解：A.没有意义，因此选项A不符合题意； B.＝﹣2，因此选项B符合题意； C.，因此选项C不符合题意； D.，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘法，算术平方根，立方根．掌握二次根式乘法的计算方法、算术平方根，立方根的性质是正确解答的关键 3．（4分）以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的为（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．，， D．6，12，18 【分析】利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【解答】解：A．∵12+22≠32，∴根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，不符合题意； B．∵32+42＝52，∴根据勾股定理逆定理可得该组线段可以构成直角三角形，符合题意； C．∵，∴根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，不符合题意； D．∵62+122≠182，∴根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形． 4．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】直接根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，AB＝2， ∴BC＝＝＝， 即BC的长是， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（4分）实数在哪两个相邻的整数之间（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴， 即2＜＜3， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 6．（4分）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】点A处所表示的数为1﹣，化简可得． 【解答】解：1﹣＝1﹣， 故选：B． 【点评】本题考查了实数与数轴，观察图中点A处所表示的数为1﹣是本题的关键． 7．（4分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长． 【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm， 而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2， 整理得16x＝48，所以x＝3． 故选：A． 【点评】折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题． 8．（4分）点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　） A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4） 【分析】根据第四象限的点的坐标特征，以及点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，求出点M的横坐标与纵坐标即可得解． 【解答】解：∵点M在第四象限，且点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ∴点M的横坐标为4，纵坐标为﹣3， ∴点M的坐标为（4，﹣3）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）计算：＝　﹣2　． 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根． 10．（4分）要使得式子有意义，则a的取值范围是 　a≥2　． 【分析】根据被开方数为非负数列出不等式求解即可． 【解答】解：根据题意得，当a﹣2≥0，式子有意义， 即a≥2， 故答案为：a≥2． 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 11．（4分）点A（2a+7，a﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则a＝　﹣8　． 【分析】根据第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数即可得解． 【解答】解：∵点A（2a+7，a﹣1）在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等， ∴2a+7＝a﹣1 解得：a＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握各象限角平分线上点的坐标的符号特征是关键． 12．（4分）如图，圆柱体的底面圆周长为16cm，高AB为6cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为 　10　cm． 【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：圆柱体的侧面展开图如图所示， ∵底面圆周长为16cm， ∴AD＝8cm， 又∵AB＝6cm， ∴在Rt△ABC中，AC＝＝10（cm）． 故答案为：10． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 13．（4分）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的面积是 　14　． 【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和． 【解答】解：由勾股定理得，正方形A的面积＝10+4＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 三、解答题（共48分） 14．（12分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式根式即可； （2）先根据二次根式的除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣3+5 ＝4； （2）原式＝3﹣2+ ＝3﹣2+2 ＝3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点A的坐标为 　（﹣3，﹣1）　，点B的坐标为 　（1，0）　． （2）在图中描出点C（1，2）． （3）在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且BC∥AD，BC＝AD，则点D的坐标为 　（﹣3，1）　． 【分析】（1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点C； （3）根据平面直角坐标系即可求出点D的坐标． 【解答】解：（1）点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣1）； （1，0）； 故答案为：（﹣3，﹣1）； （1，0）； （2）如图，点C即为所求： （3）根据D为x轴上方的一点，且BC∥AD，BC＝AD， 可以判断出点D的坐标为：（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 【点评】本题考查平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系内点坐标的特点是解题的关键． 16．（8分）已知a＝+2，b＝2﹣，求下列各式的值： （1）a2+2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【分析】根据a，b的值求出a+b和a﹣b的值，（1）根据完全平方公式和（2）根据平方差公式对要求的式子进行变形，然后代值计算即可得出答案． 【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣， ∴a+b＝4，a﹣b＝2， （1）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝42＝16； （2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，根据a，b的值求出a+b和a﹣b的值是解题的关键． 17．（10分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【分析】（1）先对Rt△ABD运用勾股定理求出BD，即可求出时间； （2）在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km，对Rt△AED运用勾股定理求得ED＝120km，则即可求出EF，那么时间即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km， 在Rt△ABD中，BD＝＝300（km）， ∵300÷15＝20（h）， ∴台风中心经过20h从B点移到D点； （2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km， 由AD⊥BC得DE＝DF， 在Rt△AED中，ED＝＝120（km）， ∴EF＝2ED＝240km， ∴t＝240÷15＝16（h）， ∴A市受到台风影响的时间持续16h． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． 18．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且． （1）求点A，B的坐标； （2）若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点C，求△ABC的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意求出a＝﹣1，b＝2，进而即可求解； （2）由勾股定理得出AB2+AC2＝BC2，设OC＝m，则BC＝m+2，求出m得到CO＝，即可求解； （3）当AB＝AP时，列出方程，解方程即可求解；当AB＝BP或BP＝AP时，同理可解． 【解答】解：（1）∵． ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴A（﹣1，0），B（0，2）； （2）∵A（﹣1，0），B（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， ∴AB2＝12+22＝5， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， 设OC＝m，则BC＝m+2， ∴22+12+12+m2＝（m+2）2， ∴m＝， ∴CO＝， ∴BC＝2+＝， ∴△ABC的面积＝BC×OA＝×1＝； （3）存在，理由： 设点P（0，y）， 由点A、B、P的坐标得，AB2＝5，AP2＝1+y2，BP2＝（y﹣2）2， 当AB＝AP时， 则1+y2＝5， 解得：y＝2（舍去）或﹣2， 即点P（0，﹣2）； 当AB＝BP或BP＝AP时， 则5＝（y﹣2）2或1+y2＝（y﹣2）2， 解得：y＝2±或， 即点P（0，2+）或（0，2﹣）或（0，）， 综上，P（0，2+）或（0，2﹣）或（0，）或（0，﹣2）． 【点评】本题是三角形综合题，考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形的面积，非负数等，分类求解是解题的关键． 四、填空题（每小题4分，共20分） 19．（4分）已知实数x、y满足，则（x+y）2024的值为 　1　． 【分析】先根据非负数性质得到x﹣1＝0，y+2＝0，求出x、y的值，再代入（x+y）2024即可求得答案． 【解答】解：根据题意得，， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴（x+y）2024＝（1﹣2）2024＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了非负数的性质：算术平方根，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 20．（4分）若，则x2﹣2x+4的值是 　5　． 【分析】将所求式子变形，然后将x的值代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵， ∴x2﹣2x+4 ＝（x﹣1）2+3 ＝（+1﹣1）2+3 ＝（）2+3 ＝2+3 ＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21．（4分）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 　1　． 【分析】由于，所以可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为a＝2，小数部分为， ∴， 故答案为：1． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 22．（4分）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2）…，则第24秒时点P所在位置的坐标是 　（4，0）　，第2024秒时点P所在位置的坐标是 　（44，0）　． 【分析】分析点P的运动路线及所处位置的坐标得出规律“动点P第2n（2n+2）秒运动到（2n，0）”，进而得出答案即可． 【解答】解：由题意分析可得， 动点P第8＝2×4秒运动到（2，0）， 动点P第24＝4×6秒运动到（4，0）， 动点P第48＝6×8秒运动到（6，0）， 以此类推，动点P第2n（2n+2）秒运动到（2n，0）， 又∵2024＝44×46， ∴第2024秒时点P所在位置的坐标是（44，0）， 故答案为：（4，0），（44，0）． 【点评】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中得出规律是解题的关键． 23．（4分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　2　． 【分析】如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK＝CD，可得CD+BE＝EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长； 【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ∵CK∥AB， ∴∠KCE＝∠A， ∵CK＝CA，CE＝AD， ∴△CKE≌△CAD， ∴CD＝KE， ∵CD+BE＝EK+EB≥BK， ∴CD+BE的最小值为BK的长， 在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8， ∴CG＝BC＝4，BG＝4， 在Rt△KBG中，BK＝＝＝2． 故答案为2． 【点评】本题考查两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 五、解答题（共30分） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝ ＝＝ ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简 （2）化简． （3）化简：+++…+． 【分析】（1）分子分母分别乘即可； （2）分子分母分别乘﹣即可； （3）分母有理化后，合并同类二次根式即可； 【解答】解：（1）＝＝ （2）化简＝＝﹣ （3）化简：+++…+ ＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣） ＝（﹣1） 【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型． 25．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）． （1）求△ABC三个顶点A，B，C的坐标； （2）若点P坐标为（1，6），连接PA，PB，则△PAB的面积　2　； （3）是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标． 【分析】（1）根据三角形面积公式得到•OA2＝8，解得OA＝4，则OB＝OA＝4，OC＝BC﹣OB＝8，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出△ABC三个顶点的坐标； （2）利用S△PAB＝S△PBH﹣S△AOB﹣S梯形AOHP求解； （3）先计算出S△ABC＝24，分类讨论：当点P在第一象限，即a＞2，作PH⊥x轴于H，如图1，利用S△PAB＝S△AOB+S梯形AOHP﹣S△PBH；当点P在第二象限，即a＜2，作PH⊥y轴于H，如图2，利用S△PAB＝S梯形OHPB﹣S△PAH﹣S△OAB；分类得到2a﹣4＝24或4﹣2a＝24，然后分别求出a的值，从而确定P点坐标． 【解答】解：（1）∵S△ABO＝•OA•OB， ∵OA＝OB， ∴OA2＝8，解得OA＝4， ∴OB＝OA＝4， ∴OC＝BC﹣OB＝12﹣4＝8， ∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）； （2）作PH⊥x轴于H，如图1， S△PAB＝S△PBH﹣S△AOB﹣S梯形AOHP ＝×（4+1）×6﹣8﹣×（4+6）×1 ＝15﹣8﹣5 ＝2． （3）S△ABC＝×4×12＝24， 直线AB的解析式是y＝x+4， 当y＝6时，6＝x+4，解得x＝2． 当点P在第一象限，即a＞2，作PH⊥x轴于H，如图2， S△PAB＝S△AOB+S梯形AOHP﹣S△PBH＝8+•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4； 则2a﹣4＝24， 解得a＝14． 此时P点坐标为（14，6）； 当点P在第二象限，即a＜2，作PH⊥y轴于H，如图3， S△PAB＝S梯形OHPB﹣S△PAH﹣S△OAB＝•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a； 则4﹣2a＝24， 解得a＝﹣10． 此时P点坐标为（﹣10，6）． 综上所述，点P的坐标为（﹣10，6）或（14，6）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住三角形面积公式． 26．（12分）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段BC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE． 【感知特殊】 （1）如图1，当α＝30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； 【探究一般】 （2）①如图2，当0°＜α＜90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明； ②当90°＜α＜180°时，直接写出线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【应用迁移】 （3）已知，在线段DC的旋转过程中，当AE＝3时，求线段EC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得CH垂直平分AD，∠EDA＝45°＝∠EAD，从而得证； （2）①，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F，利用ASA得到△FBC≌△EAC，从而得BF＝AE，△ECF是等腰直角三角形，即可得证； ②EA﹣EB＝EC．过点C作CF⊥CE，交BD于点F，利用AAS证得△CBE≌△CDF，得到EB＝DF，由（1）得EA＝ED，利用EA﹣EB＝ED﹣DF＝EF＝EC，即可得证； （3）在Rt△ACB中求得AB＝，在△AEB中，利用勾股定理得EB＝1，再利用（2）中的结论，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α＝30°， ∴∠ACD＝120°， ∵CA＝CB＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝30°， ∵H是AD的中点， ∴CH垂直平分AD， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， 在△BCD中，CB＝CD，∠BCD＝30°， ∴∠CDB＝∠CBD＝75°， ∴∠EDA＝∠CDB﹣∠CDA＝75°﹣30°＝45°＝∠EAD， ∴∠AED＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝90°， ∴△AED是等腰直角三角形； （2）解：①EA+EB＝EC，理由如下： 如图2.1，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F， ∴∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴∠ECF﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠ECB，即∠BCF＝∠ACE， 在四边形ACBE中，∠AEB＝∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠EBC＝360°﹣∠AEB﹣∠ACB＝180°， ∵∠FBC+∠EBC＝180°， ∴∠FBC＝∠EAC， 在△FBC和△EAC中， ∠FBC＝∠EAC BC＝AC ∠BCF＝∠ACE ∴△FBC≌△EAC（ASA）， ∴BF＝AE，CE＝CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF＝EC； ∵EF＝EB+BF＝EB+EA， ∴EB+EA＝EC； ②EA﹣EB＝EC．理由如下： 如图2.2，过点C作CF⊥CE，交BD于点F， 由①得，△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC，∠CEF＝∠CFE＝45°， ∴∠CFD＝∠CEB＝135°， ∵CB＝CD， ∴∠CBE＝CDF， 在△CBE和△CDF中， ∠CBE＝∠CDFB ∠CEB＝∠CFD BC＝DC ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴EB＝DF， 由（1）得EA＝ED， ∴EA﹣EB＝ED﹣DF＝EF＝EC； （3）解：当 0°＜a＜90° 时，EB+EA＝EC，如图3.1， 在Rt△ACB中，AC＝BC＝， ∴AB＝AC＝， 在△AEB 中，AE＝3，， ∴EB＝＝＝1， ∴EC＝EB+EA＝1+3＝4， ∴EC＝2； Ⅱ．当 90°＜a＜180° 时，，如图3.2， 同理可得，EB＝1， ∴EC＝EA﹣EB＝5﹣3＝2， ∴EC＝； 综上所述，在线段DC的旋转过程中，EC＝2或． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$