经典奥数-计算题专项20种类型精讲精练-小升初计算题讲义

小升初经典奥数——计算题专项训练20种类型讲练测 巧妙的计算不仅可以培养学生逻辑思维能力、提高解决问题的能力；‌而且可以帮助学生节省时间、提高效率，增强数感和数学意识。目前学生计算现状主要体现在以下两点： ‌ 1.学生对简便运算定律认识模糊‌：许多学生对简便运算定律认识较为模糊、混淆不清，对运算的性质理解不深刻，导致在运用过程中不灵活。 ‌ 2.简算意识淡薄‌：在教学过程中发现，学生的简便意识较为薄弱，大多数学生不能自觉地从简便计算的角度去思考、计算，在题目没有明确要求运用简便方法计算时，大多数学生只会按照运算顺序来计算，没有养成简便计算的习惯。 本讲义源于课本，优化结构；由浅入深，螺旋上升；注重启迪，点拨到位。朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，人生更加优秀！ 在简便计算中，常用的方法有： 1.提取公因数‌是指在数学运算中，将一个数学表达式中的公共因数提取出来，以便简化计算过程或使表达式更简洁。常见的是乘法分配律的合并式。 2.整体约分法是约分的延伸，其核心步骤是提取公因数，然后对其余部分进行整体约分，以达到化繁为简的目的。 3.裂项法,就是在计算分数加、减法时，先将其中一些分数作适当拆分，使得其中一些分数可以互相抵消，达到简算的目的。裂项时要注意两点:一是必须保持分数只是形变而值不变;二是能达到简算的目的。 4.分组法可以将复杂的计算题分解成若干个简单的部分，使得计算过程更加简洁明了；通过分组，可以减少计算的步骤，节省时间，提高计算效率。 5.换元法‌是一种常用的数学解题方法，通过将某个式子看作一个整体，并用一个变量去代替它，从而简化问题。 6.数形结合法：采用图形相结合方法进行巧妙计算。 （除法的性质应用）2023÷2023 【解析】此题难点就是带分数转化成假分数难度较大，计算过程过于繁琐，如果巧用除法的性质进行计算，则简单明了。 除法性质：①a÷b÷c=a÷（b×c）；②a÷b÷c= a÷c÷b。（互逆） 解法一：（除法性质） ∵2023=2023+=2023×（1+）=2023×1 ∴原式=2023÷（2023×1） =2023÷2023÷1 =1÷1 = 解法二：（倒数法） 【解析】∵a÷b=，b÷a=，可以看出a÷b与b÷a的结果互为倒数；∴a÷b=1÷（b÷a） ∴原式=1÷（2023） =1÷[（2023+）÷2023] =1÷[（2023+）×] =1÷[2023×+×] =1÷[1+] =1÷ = 解法三：（带分数变形后再约分） 【解析】根据分数除法的计算法则：一个数除以分数等于这个数乘以分数的倒数。所以除数是带分数，要先转化为假分数。即a÷b=a÷ 原式=2023÷ =2023÷ =2023÷ =2023× = 【小结】我们在计算过程中要多角度思考，灵活选择合适的方法进行简便计算。 2002÷2002+2001÷2001 提取公因数（直接提取公因数） 5.125×+2.875× 【解析】乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c 原式=（5.125+2.875）× =10× = ×24+×24-24÷ 提取公因数（分次提取公因数） 81.5×15.8+67.6×18.5+81.5×51.8 【解析】在三组乘法里，找不到3个相同的数，无法直接提取公因数，则边做边观察，在过程中再次出现公因数，第二次提取公因数。 原式=（15.8+51.8）×81.5+67.6×18.5（第一次应用乘法分配律） =67.6×81.5+67.6×18.5（出现公因数67.6） =（81.5+18.5）×67.6（第二次应用乘法分配律） =100×67.6 =6760 53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5 扩缩后再提取公因数 扩缩法：一个因数扩大几倍，另一个因数就缩小几倍，它们的积不变，这叫做积不变的规律 （1）1.9×1.25+281×-12.5（移动小数点） 【解析】先把分数化成小数后，发现小数点位数不相同。应用积不变的规律扩缩转化成相同小数后，再提取公因数。 （1）原式=1.9×1.25+281×0.125-12.5×1 =19×0.125+281×0.125-0.125×100（扩缩） =0.125×（19+281-100） =0.125×200 =25 【小结】此题综合考查学生数的转化、积不变规律和乘法分配律。易错点在12.5是单独的一个数，学生容易忽略且不知道如何利用积不变的规律转化为两个数的乘积，可以添加×1。 31.4×4.3+72×3.14-150×0.314 （2）333×666+999×778（扩缩法：333扩大3倍，666就缩小3倍，积不变） 【解析】运用乘积不变规律，一个因数扩大3倍，另一个因数就缩小3倍，乘积不变。 原式=999×222+999×778 =（222+778）×999 =1000×999 =999000 2222×6666+3333×5556 交换分数分子后再提取公因数 ×+×+× 【解析】观察发现，因数中没有相同的分数，无法直接提公因数；但出现同分母或同分子，可以应用乘法交换律，交换分数的分子或分母，转化为相同的分数，再提取公因数。 原式=×+×+×（交换分子） =（++）× =× = 【小结】当每组乘法中有相同的分子或分母时，就要考虑交换分数分子，转化成相同的因数，再提取公因式。 ×34+ ×31 拆数后再相乘（常见两个数相乘题型） 即把一个数拆分成两个或两个以上的数相加、相减或相乘。 1998×9 【解析】运用凑整法把带分数拆成（10-） 原式=1998×（10-） =1998×10+1998× =19980+1 =19981 90× 整体相乘法 （a+b）×（c×d）=a×（c×d）+c×（c×d）（把c×d看为一个整体） 【解析】此题为乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c的延伸，c不仅可以表示一个数，还可以表示一个式子。 （+）×17×19（把17×19看作一个整体） 原式=×17×19+×17×19 =57+34 =91 （+）÷×27 聚零为整巧约分 （+1+）÷（++） 【解析】此题如果通分计算，则计算复杂，容易出错。仔细观察发现，每个括号里的三个分数有同分母。把一个整体（+1+）转化为（++）=2×（++），通过整体约分此题就简单多了。 原式=2×（++）÷（++） =2 【小结】如果遇到两组和相除的题型，要看看每组分数和有没有关系。 （+）÷（+） 变形后再约分 （分数的分子不变，分母变形后再约分） 【解析】此题先采用乘法分配律对分母部分进行变形，再整体约分 原式= = =（分子与分母一样，不必计算，直接整体约分为1） =1 （提公因数后再整体约分） （+++）×3（分子、分母变形后巧约分） 【解析】当分数不是最简分数时，可找出分子与分母的最大公因数后再约分，化繁为简。此题后三个分数的分子分母都是重叠数，且分子与分母都有公因数，找到它们的最大公因数就迎刃而解了。 （1）∵=，分子与分母的最大公因数是101，可以化简为；同理==；=。 （2）原式=（+++）×3 =1×3 =3 +++ 裂项计算（直接裂减法） + + + + 【解析】每个分数的分母都是两个相邻的自然数的乘积，且分子为1的时候，可以把每个分数裂成两个分数单位的差。 原式=-+-+-+-+- =- = 【小结】若干个分数连加，如果每个分数的分母都是两个相邻的自然数相乘的形式，且分子为1的时候，我们可以利用公式=-把每个分数拆成两个分数单位的差。 ++++ 裂项计算（裂减后再×法） ++++ 【解析】当分数分母不是两个相邻数相乘时，不能直接裂项；两个数相差几，裂项时要乘几分之一。 原式=×（1-）+×（-）+×（-）+×（-）+×（-） =×（1-+-+-+-+-） =×（1-） = 【小结】若干个分数单位相加时，如果分数分母不是两个相邻数相乘时，不能直接裂项；两个数相差几，裂项时要乘几分之一。 ++++ -+-+ 【解析】每个分数的分母都是两个相邻的自然数的乘积，且分子为两个自然数和的时候，可以把每个分数裂成两个分数单位的相加。 原式=（+-（-+（--（-+（-）（注意要添加括号） =+--++--+-（去括号时注意符号的变化） =+--++--+- =- = 【小结】若干个分数相加减，如果每个分数的分母都是两个相邻的自然数相乘的形式，且分子为相邻两个自然数之和的时候，我们可以利用公式=+把每个分数拆成两个分数单位的和。 -+-+ 分组法 20+19-18-17+16+15-14-13+…+4+3-2-1 【解析】把四个数分成一组，20个数一共可以分成5组，每组和相等。 解：原式=(20+19-18-17)+(16+15-14-13)+…+(4+3-2-1) =4×5 =20 99-98+97-96+95-94+…+1- 换元法 （2+++）×（+++）-（2++++）×（++） 【解析】此题全部展开，算式太长太复杂，不切合实际，根据题目特点，题目里有重复的算式，可以采用换元法，化繁为简再行计算。 设a=+++，b=++，那么a-b=。所以 原式=（2+b）×a-（2+a）×b =2a+ab-2b-ab =2a-2b =2（a-b） =2× = （++）×（++）-（+++）×（+） 数形结合法 ++++ 【解析】此题为极限思想问题，采用数形结合，学生能快速计算出答案。如果在原式基础上再加上一个，结果就等于1。 ∵+++++=1 ∴原式=+++++- =1- = 1+3+5+7+9+……+123+125 解方程的依据是等式的性质及数量之间的关系。 1.等式的性质：等式左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式两边仍然相等；或方程左右两边同时乘（或除以）一个非零的数，等式左右仍然相等。 2.数量关系： ①一个加数=和-另一个加数 ②被减数=减数+差 ③减数=被减数-差 ④一个因数=积÷另一个因数 ⑤被除数=商×除数 ⑥除数=被除数÷商 如：--=2- 【解析】方程左右两边同时乘分母2和3的最小公倍数6。 原式：6×（ - ）=6×（2 -） 6-3（-1）=12-2（+2） 3+3=8-2 =1 已知=+，求A的值。 :=（-1）: 【解析】解比例的依据是比例的基本性质：在比例里，两外项的积等于两内项的积。 原式：解×=（-1）× =- （-）= =9.6 =（-19）÷ 定义新运算 已知aΔb=a×b-a-b+2,又知(3Δ)Δ3=13,求的值。 【解析】根据定义先算3Δ,在这里△是新的运算符号。 因为(3Δ)3=13,即(3-3- +2)Δ3=13,也即(2-1)Δ3=13, 即:(2-1)×3-(2-1)-3+2=13 6-3-2+1-3+2=13 4 =16 =4 已知a△b=3a-2b,又知 yΔ(4Δ1)=7,求y的值。 一、简便计算（84分） （1）2016÷2016+2017÷2017 （2）1999+999×999 （3）87.16×1.45+12.84×21.84+0.8716×2039 （4）3001× （5）（+-）÷ （6）× （7）×23+16×+× （8）×+×-× （9）（+1+）÷（++） （10）（××）÷（××） （11）4×7×（-） （12）31×+41× （13） （14）2013×2015×（+） （15） ++++ （16）（1+×1）+（2+×2）+（3+×3）+……+（7+×7） （17）++++ （18）+++++ （19）1+2+3+4+…+100 （20）1+3+5+7+……+199 （21）+ 二、解方程（16分） （22）+++……+=503 （23）-=2 （24）18%:= （25）对于数a、b定义新运算：a⊙b= ，那么x⊙（6⊙4）=x，求x。 【能力冲浪】参考答案 2002÷2002+2001÷2001 =1÷1+1÷1 =1+ =2 ×24+×24-24÷ =×24+×24-24× =（+-）×24 =24 53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5 =53.5×（35.3+43.2）+78.5×46.5 =53.5×78.5+78.5×46.5 =（53.5+46.5）×78.5 =100×78.5 =7850 31.4×4.3+72×3.14-150×0.314 =3.14×（43+72-15） =3.14×100 314 2222×6666+3333×5556 =4444×3333+3333×5556 =3333×（4444+5556） =3333×10000 =33330000 ×34+ ×31 =×17×2+ ×31 =×44+ ×31 =×（44+31） =17 90× =（89+1）× =89×+1× =1+ =1 （+）÷×27 =（+）×23×27 =+×23×27 =135-92 =43 （+）÷（+） =13×（+）÷（+） =13 （提公因数后再整体约分） = = +++ =+++ =+++ = = ++++ =2×（++++） =2×（1-+-+……+-） =2×（1-） = ++++ =（-+-+-+-+-）× =（-）× =× = -+-+ =（1+）-（+）+（+）-（+）+（+） =1+--++--++ =1+ =1 99-98+97-96+95-94+…+1- =（99-98）+（97-96）+（95-94）+…+（1- =+++……+ =×99 =109.5 （++）×（++）-（+++）×（+） 设+=a, ++=b,b-a= 原式=（a+）×b-（b+）×a =ab+b-ab-×a =×（b-a） =× =1 1+3+5+7+9+……+123+125 =[（1+125）÷2]2 =632 =3969 已知=+，求A的值。 解：=+===+, 所以A=7 =（-19）÷ 解：=（-19）× = 0.5x-3=7（x-19） X=20 已知a△b=3a-2b,又知 yΔ(4Δ1)=7,求y的值。 解：∵4Δ1=3×4-2×1=10 ∴yΔ10=7 3y-10×2=7 y=9 【经典测试】参考答案 一、简便计算（84分） （1）2016÷2016+2017÷2017 =1÷1+1 =+1 =2 （2）1999+999×999 =1000+999+999×999 =1000+（1+999）×999 =1000+1000×999 =1000×（1+999） =1000×1000 =1000000 （3）87.16×1.45+12.84×21.84+0.8716×2039 = 87.16×1.45+12.84×21.84+87.16×20.39 = 87.16×（1.45+20.39）+12.84×21.84 = 87.16×21.84+12.84×21.84 =（87.16+12.84）×21.84 =100×21.84 =2184 （4）3001× =（3000+1）× =3000×+ =2999 （5）（+-）÷ = （+-）×24 = +-×24 =8+6-4 =10 （6）× =× =× = （7）×23+16×+× = ×23+4×+× = ×（23+4+ = ×28 =16 （8）×+×-× =×+×-× =×（+- =× = （9）（+1+）÷（++） =2×（++）÷（++） =2 （10）（××）÷（××） =（××）×（××） =5 （11）4×7×（-） = 4×7×- 4×7× =49-16 =33 （12）31×+41× =（30+1）×+（40+1）× =30×+1×+40×+1× =20+1+30+1 =52 （13） = = = =1 （14）2013×2015×（+） = 2013×2015×+ =+ =2 （15）++++ =（1-+-+-+-+-）× =（1-）× = （16）（1+×1）+（2+×2）+（3+×3）+……+（7+×7） =（1+2+3+4+5+6+7）+×（1+2+3+4+5+6+7） =28+2 =30 （17）++++ = 1-+-+-+-+- = 1- = （18）+++++ = -+-+-+-+-+ = （19）1+2+3+4+…+100 =（1+2+3+4+……+100）+（++++…+ =5050+ =5052 （20）1+3+5+7+……+199 =[（1+199）÷2]2 =1002 =10000 （21）+ =1+1 =2 二、解方程（16分） （22）+++……+=503 解：（+++……+=503 (-+-+-+…+-) =503×2 (-) =503×2 =503×2 =2016 （23）-=2 解：5（x-1）-2（x+1）=2 3x=9 X=3 （24）18%:= 解：:=x:6.5 :=x: x=× X=1.8 （25）对于数a、b定义新运算：a⊙b= ，那么x⊙（6⊙4）=x，求x。 解：∵6⊙4==5 ∴x⊙5=x =x X=5 学科网（北京）股份有限公司 $$