北京市延庆区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

延庆区 2024-2025 学年第一学期期中试卷答案 九年级数学 2024.10 一、选择题：（共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分） BCCB CDBD 二、填空题：（共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分） 9． (1 4)， 10．答案不唯一，如 2y x 11．5 5 5 12．1:9 13．答案不唯一，如∠ACP=∠B 14． 2 15． 1 1 9 a  16．①④ 三、解答题 17．（1） 2 2 3y x x   . 解： 2 2 1 1 3y x x     . 2( 1) 4y x   . （2）画图略. 18．（1）解：∵二次函数 2y x bx c    的图象经过(1，0)和(2，1)两点 ∴ 1 0 4 2 0 b c b c          解这个方程组得 4 3 b c     ∴此二次函数的表达式为 2 4 3y x x    . （2）1 3x  19.（1）证明：∵ AE AD AC AB  ， A A   ， ∴ △AED∽△ACB． （2）解： ∵ △AED∽△ACB ∴ ADE B  ∵∠A=45°，∠C=60°， ∴∠B=75°． ∴∠ADE=75°． …………………………2 分 …………………………4 分 …………………………2 分 …………………………4 分 …………………………6 分 …………………………6 分 …………………………1 分 …………………………2 分 …………………………3 分 …………………………4 分 …………………………5 分 …………………………6 分 E D CB A 20．解：（1）∵二次函数的图象过点 A(2，-3)，且顶点坐标为 C(1，-4)， ∴设二次函数的表达式为 2( 1) 4y a x   ． ∴ 23 (2 1) 4a    ． ∴ 1a  ． ∴ 2( 1) 4y x   ． （2） 4 0y   ． 21．证明：∵∠BAC=∠BDC， ∠AFB=∠DFC， ∴ ∠ABE=∠ACD． ∵ ∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE． ∴∠BAE=∠CAD． ∴△ABE∽△ACD． 22．（1） 22 40y x x   ；9 20x  ． （2）10；200． 23.（1）∵平行四边形 ABCD， ∴ BC=AD，∠A=∠C． ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠DEA=∠DFC． ∴△ADE∽△CDF． ∴ CD DF AD DE  ． ∴ CD DF BC DE  ． （2）∵△ADE∽△CDF ∴ CD FC AD AE  ． ∴ 2 1 3 AE  ． ∴AE= 3 2 ． …………………………1 分 …………………………2 分 …………………………3 分 …………………………2 分 …………………………3 分 …………………………1 分 …………………………4 分 …………………………2 分 …………………………4 分 …………………………4 分 …………………………3 分 …………………………5 分 …………………………2 分 A B C DEF …………………………3 分 …………………………4 分 F E D CB A …………………………2 分 1 …………………………6 分 24.解：作 CF⊥AB 于点 F，交 MN 于点 E ∵MN∥AB， ∴△CNM∽△CBA. ∴ CE MN CF AB  . ∴ 0.6 0.16 50 AB  . ∴AB= 40 3 . 答：旗杆 AB 的高度是 40 3 m. 25．（1）图象略； （2）49；230； （3）落在球桌上． 理由如下： 将（230,0）代入 2 10.0025( ) 1y x h    ， 得 1 250h  或 1 210h  （舍去）， 当 1 250h  时，根据对称性可知，另一个交点为（270，0） ∵270<274 ∴乒乓球再次下落时仍落在球桌上. 26．解：（1）当 1m 时，抛物线为 2 2 3y x x   ∴抛物线的对称轴为直线 2 1 2 1 x      ． （2）∵a>0，∴抛物线开口向上， 当 x>m 时，y 随 x 的增大而增大 当 x<m 时，y 随 x 的增大而减小 ∵抛物线的对称轴为 x=m， 1m m  ∴点 2( 1 )B m y ， 在对称轴的右侧 …………………………1 分 …………………………2 分 …………………………1 分 …………………………2 分 …………………………3 分 …………………………1 分 …………………………4 分 …………………………4 分 …………………………3 分 …………………………4 分 …………………………5 分 ………………………6 分 …………………………5 分 E F ∴分类讨论如下： （1）当 A，B 两点都位于对称轴的右侧时， ∵ 1 2y y ∴1 2 1m m   ∴ 0m （2）当 A，B 两点位于对称轴的两侧时， 设 2( 1 )B m y ， 关于对称轴 x=m 的对称点为 ' 0 1( )B x y， ， 则 0 1 2 m x m    ，则 0 1x m  ；即 ' 2( 1 )B m y ， ； ∵ 1 2y y ∴1 2 1m m   ∴ 2 3 m  . 综上所述，m 的取值范围是 0m 或 2 3 m  . 27．（1）①∠ACE=75°； ②∵CE∥AB， ∴ CD DE BD AD  . ∵AD＝2，BD＝2DC， ∴ 1 2 2 DE  . ∴DE=1. ∴AE=3 ∵∠CAD=30°，∠ACE=75°， ∴∠ACE=75°. ∴AE=AC. ∴AC=3. （2）作 DM∥AB， ∴∠BAE=∠EMD，∠ABE=∠EDM. ∴△DME∽△BAE. …………………………5 分 ………………………………1 分 ………………………………4 分 ………………………………2 分 ………………………………3 分 ……………………3 分 E D CB A M E D CB A …………………………4 分 …………………………6 分 ∴ 1 2 DM EM DE AB AE BE    . ∴EM=1，AM=3. ∵∠CAD=30°，∠AMD=90°， ∴ 1 2 DM AD . ∴在 Rt△AMD 中， 2 29 4MD MD  . ∴ 3DM  ， 2 3AD  . ∵AC=AD， ∴ 2 3AC  . ∵ 1 2 DM AB  ， ∴ 2 3AB AC  . ∴Rt△BAC 中， 2 3 2 2 6BC    . 28.（1） ( 4 ，1)； （2） 4 或 2 2 ； （3）2 2 2 6b  ． （提示：如图） …………………………1 分 …………………………5 分 …………………………7 分 ………………………………5 分 ………………………………6 分 ………………………………7 分 y xO 2 62 2 。 -4 4 -12 12 。 九年级数学 第 1 页 共 8 页 延庆区 2024-2025 学年第一学期期中试卷 九年级数学 2024.10 考 生 须 知 1.本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟． 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、画图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、 选择题（共 16 分，每小题 2 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1.如果3 2x y ，那么下列结论正确的是 （A） 23 yx  （B） 32 yx  （C） 3 2 x y  （D） 2 3 y x  2.二次函数 2 4 +3y x x  的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 （A）1 4 3，， （B）0 4 3，， （C） 4 31， ， （D）0 4 3， ， 3.已知二次函数 22 1y x  （ ） ，若点 1(1 )，y 和 2(4 )，y 在此函数图象上，则 1y 与 2y 的大 小关系是 （A） 1 2y y （B） 1 2=y y （C） 1 2y y （D）无法确定 4.把抛物线 22y x 向左平移 1 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为 （A） 22( 1) 5y x   （B） 22( 1) 5y x   （C） 22( 1) +5y x  （D） 22( 1) 5y x   5.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC． 若 AE=6，EC=3，DE=8，则 BC 的长为 （A）4 （B）10 （C）12 （D）16 ED CB A 九年级数学 第 2 页 共 8 页 3 1 9751 3O 4 2 y 64 8 10 x2 P O DA B E C F 6.在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，AD = 2，BD =3，则 CD 的长为 （A）2 （B） 3 （C） 9 2 （D） 4 3 7.《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里， 各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”.今译如下：如图，矩 形 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别位于 AB，AD 的中点， EG⊥AB 于点 E，FH⊥AD 于点 F，EG=15 里，HG 经过 A 点，则 FH 的长为 （A）0.95 里 （B）1.05 里 （C）2.05 里 （D）2.15 里 8.如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，边 BC，AD 的中点分别是点 E，F， AB=3，BC=4，一动点 P 从点 B 出发，沿着 B﹣A﹣D﹣C 在矩形的边上运动，运动到 点 C 停止，点 M 为图 1 中某一定点，设点 P 运动的路程为 x，△BPM 的面积为 y，表 示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示．则点 M 的位置可能是图 1 中的 （A）点 C （B）点 F （C）点 D （D）点 O 二、填空题 （共 16 分，每小题 2 分） 9.抛物线 2( 1) 4y x   的顶点坐标是___________． H G F E D C B A D CB A 图 2 图 1 九年级数学 第 3 页 共 8 页 A B C D E 10.请写出一个对称轴为 y 轴的二次函数的表达式___________． 11.如图，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB=10，那么AP的长为_________． 12.如图，在△ABC 中，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．若 AD＝1，DB＝2， 则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于___________． 第 12 题图 第 13 题图 13.在△ABC 中，P 是边 AB 上的一点，连接 CP.请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC， 这个条件可以是___________（写出一个即可）． 14.二次函数 2 2 1y x x   的最小值是___________． 15.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A( 3 ，1)，B( 1 ，1)， 如果抛物线 2y ax （ 0a  ）与线段 AB 有公共点， 那么 a 的取值范围是___________． 16.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象与 x 轴交于 A( 1 ，0)， B 两点，对称轴是直线 1x  ，下面四个结论中， ① 0a ； ②当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大； ③点 B 的坐标为(2，0)； ④若点 M 1( 2 )y , ，N 2(5 )y, 在函数的图象上， 1 2y y . 其中正确的是___________（只填写序号）． P CB A P BA y x-1 1 x=1 O BA -2 -1 2 1 -4 -3 -2 -1 21O BA y x 九年级数学 第 4 页 共 8 页 三、解答题（共 68 分，第 17-20 题，每小题 6 分，第 21-22 题，每小题 4 分，第 23-24 题，每小题 5 分，第 25-26 题，每小题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分） 17.已知二次函数 2 2 3y x x   ． （1）将 2 2 3y x x   化成 khxay  2)( 的形式； （2）在所给的平面直角坐标系 xOy 中，画出它的图象． 18.已知二次函数 2y x bx c    的图象经过(1，0)和(2，1)两点． （1）求此二次函数的表达式； （2）当 0y 时，直接写出 x 的取值范围． 19.如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且 AE AD AC AB  . （1）求证△AED∽△ACB； （2）若∠A=45°，∠C=60°，求∠ADE 的度数． 20.已知二次函数的图象过点 A(2，-3)，且顶点坐标为 C(1，-4)． （1）求此二次函数的表达式； （2）当 1 2x   时，直接写出 y 的取值范围. E D CB A O y x–1–2–3–4 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 九年级数学 第 5 页 共 8 页 21.如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 F，点 E 是 BD 上一点， 且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD． 22.某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用 总长为 40m 的栅栏围成.已知墙长为 22m（如图），设矩形 ABCD 的边 AB=xm，面积 为 ym2 . （1）y 关于 x 的函数表达式是 ，自变量 x 的取值范围是 ； （2）当 x= m 时，活动区的面积有最大值 m2. 23.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F. （1）求证： CD DF BC DE  （2）当 CD=2，AD=3，CF=1 时，求 AE 的长． 24.小明到操场测量旗杆 AB 的高度，他手拿一只铅笔 MN，边移动边观察（铅笔 MN 始 终与地面垂直）.当小明移动到点 D 处时，眼睛 C 与铅笔顶端 M、旗杆的顶端 A 三点 共线，此时测得DB=50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m， 求旗杆 AB 的高度． D CB A A B C DEF F E D CB A 九年级数学 第 6 页 共 8 页 25.乒乓球被誉为中国国球.2024 年巴黎奥运会上，中国队展现 了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的 取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.已知 乒乓球台的长度为 274cm，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为 28.75cm 处，将 乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分. 从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为 y（单位： cm），乒乓球运行的水平距离记为 x（单位：cm），测得如下数据： 水平距离 x/cm 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出 表示乒乓球运行路线形状的大致图象； （2）当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面 球台上时，到起始点的水平距离是 cm； （3）乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 20.0025( ) 1y x h    .判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由. x y 2502302101901701501301109070503010 /cm /cmO 10 20 30 40 50 60 70 九年级数学 第 7 页 共 8 页 26.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2 2 3y x mx   ． （1）当 1m 时，求抛物线的对称轴； （2）已知 1(1 2 )A m y ， 和 2( 1 )B m y ， 为抛物线上的两点，满足 1 2y y ，求m的取值 范围． 27.阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠BAD＝75°， ∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求 AC 的长． 图 1 图 2 小华发现，过点 C 作 CE∥AB，交 AD 的延长线于点 E，通过构造△ACE，经过 推理和计算，能够使问题得到解决（如图 2）． （1）①直接写出∠ACE 的度数； ②求线段 AC 的长； （2）参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，AC=AD，对角线 AC 与 BD 交于点 E，AE＝2，BE＝2DE，求 BC 的长． D CB A E D CB A E D C B A 图 3 九年级数学 第 8 页 共 8 页 28.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y′），给出如下定义： 若          0 0 xy xy y ，则称点 Q 为点 P 的“反称变点”． 例如：点（1，3）的“反称变点”为点（1，3），点（ 1- ，2）的“反称变点”为点 （ 1- ， 2- ）． （1）点（ 4- ， 1- ）的“反称变点”坐标为___________； （2）若点 P 在函数 2 12y x   的图象上，其“反称变点”Q 的纵坐标 y′是 4，求“反 称变点”Q 的横坐标； （3）若点 P 在函数 2 12y x   （ 4 x n   ）的图象上，其“反称变点”Q 的纵坐 标 y′ 的取值范围是 12 12y   ，直接写出 n 的取值范围.