2025年高考数学二轮复习专项训练17 空间几何体

2025二轮复习专项训练17 空间几何体 [考情分析]　高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积、球的组合体问题．常以选择题、填空题的形式出现，部分题目难度较大． 【练前疑难讲解】 一、空间几何体的截面问题 1．用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 2．确定截面的主要依据有 (1)平面的四个基本事实及推论． (2)直线和平面平行的判定和性质． (3)两个平面平行的性质． (4)球的截面的性质． 二、表面积与体积 1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： (1)圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； (2)圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； (3)圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； (4)球的表面积S＝4πR2. 2．柱体、锥体和球的体积公式： (1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (3)V球＝πR3. 三、多面体与球 多面体的外接球模型： (1)长方体的外接球直径为体对角线， 则R＝； 正方体的外接球半径为R＝； 正方体的内切球半径为r＝. (2)柱体模型 如图①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，设外接球半径为R，球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1，则R＝＝，其中r＝O1A为△ABC外接圆半径． (3)锥体模型 如图②，在正三棱锥P－ABC中，先求出高线长h＝PO1＝， 在Rt△OO1A中，R2＝OO＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R为外接球半径，r＝O1A为△ABC外接圆半径，O1为△ABC的外接圆圆心． (4)正四面体(构造正方体)、对棱相等的三棱锥(构造长方体) 如图③：正四面体D－A′BC′可构造正方体(所有面对角线相等)； 如图④：对棱相等的三棱锥A－BCD可构造长方体(对面的对角线相等)． 一、单选题 1．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·云南·阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（    ）    A．该圆台轴截面ABCD的面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．该圆台有内切球，且半径为 4．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为 C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为 三、填空题 5．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知圆锥的轴截面面积为，则该圆锥的外接球半径的最小值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B AB BD 1．D 【分析】延长正四棱台的棱交于一点，由三角形相似，求出，再由棱台的体积公式求出截面截得棱台的上部分几何体的体积，设截面与上底面的距离为，正方形的边长为，由三角形相似，得到，结合即可求出. 【详解】延长正四棱台的棱交于点， 如图所示，截面平行于底面 设上底面的面积为，下底面的面积为，截面的面积为， 正四棱台的体积为，平行于底面的截面截棱台，截得的上部分几何体体积为，则， 上底面的中心为，下底面的中心为，连结， 则上底面，下底面，正四棱台的高为， 设截面与上底面的距离为，正方形的边长为， ，， 由得，，由得，， 又，所以， 同理可得，得，所以，① 又因为，② 由①②得，，，所以截面与上底面的距离为. 故选：D.    2．B 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 3．AB 【分析】求出圆台的高可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B，C；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆可判断D. 【详解】对于A，由，可得高， 则圆台轴截面ABCD的面积为，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为， 又，， 所以，故B正确； 对于C，圆台的体积为，故C错误； 对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆， 由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误， 故选：AB. 4．BD 【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【详解】由题意可得， 又平面， 所以平面， 在中，，边上的高为， 所以，故A错误； 对于B，在中，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，， 设点到平面的距离为， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误； 由B选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 又因为平面， 则，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：BD. 5． 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 6．2 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，可得，，设，利用导数判断单调性求出最值. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 设圆锥的外接球的半径为，则无论球心在圆锥内还是圆锥外，都有，则， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，. 故答案为：2. 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南京·二模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津北辰·三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（    ） A． B． C． D．6 8．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 9．（2024·河北邢台·一模）如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 11．（2024·山西朔州·一模）已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则（    ） A．圆锥的母线长为4 B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 C．圆锥的体积为 D．沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 12．（24-25高三上·广西·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（    ） A．在四面体中，点的曲率为 B．在四面体中，点的曲率大于 C．四面体外接球的表面积为 D．四面体内切球半径的倒数为 13．（2023·辽宁·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积 14．（2024·安徽·一模）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成的角等于 B．四棱锥的体积为 C．两条异面直线和所成的角为 D．二面角的平面角的余弦值为 三、填空题 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 . 16．（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ． 17．（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则 . 18．（2023·上海徐汇·二模）如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C C A A B A C 题号 11 12 13 14 答案 ACD ABD BCD ABC 1．A 【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米， 设底面圆的半径为r，则， 则圆锥的母线长为（米）， 故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米）， 故选：A 2．A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    3．B 【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 4．C 【分析】设圆锥的底面半径，母线为，外接球的半径为，依题意求出、，即可得，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得， 可知， 所以圆锥的外接球球的表面积. 故选：C. 5．C 【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解. 【详解】令外接球的半径为，依题意，，， 过点作，则，所以， 又，所以， 所以圆台的侧面积， 球的表面积， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为. 故选：C 6．A 【分析】在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质和求得表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径， 则该球的表面积为． 故选：A． 7．A 【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长． 【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大， 则该球半径，如图： 可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心， 设正四面体的棱长为，则，， 在中，则，即， 解得，即． 故选：A 8．B 【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线， 所以， 所以. 故选：B 9．A 【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案. 【详解】正四棱台容器的高为12cm，，， 正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为， 其体积为； 放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图， 其中是底面边长10 cm，是容器的高为12 cm，是水的高为9 cm， 由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4 cm， 此时水的体积为， 放入的57个球的体积为， 设小铁球的半径为，则，解得. 故选：A 10．C 【分析】设球的半径为，利用球和圆柱的表面积、体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为， 所以圆柱的表面积，体积， 球的表面积，体积， 所以圆柱的表面积与球的表面积之比， 圆柱体积与球体积之比， 故选：C 11．ACD 【分析】先求出圆锥的母线和底面半径的长，逐项计算后可得正确的选项. 【详解】    对于A， 设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，故， 故A正确. 对于B，圆锥的高为，则， 故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为，故B错误. 对于C，圆锥的体积为，故C正确. 对于D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为， 故所得圆台的体积为，故D正确. 故选：ACD. 12．ABD 【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项. 【详解】在正方体中，易证为正三角形，，， 在四面体中，点的曲率为，A选项正确； 在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确； 四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为， 四面体外接球的表面积为，C选项错误； 四面体的体积， 四面体的表面积， 四面体内切球的半径， 即，D选项正确； 故选：ABD. 13．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为2，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心， 建立空间直角坐标系如下图所示，    则, , A项，    ， 设面的法向量为， 则，即解得：， 当时，， ∵， ∴直线与面不平行，A错误； B项，    设面的法向量为， 则，即解得：， 当时，， ∵， ∴直线与平面平行，B正确； C项，    ，C正确； D项，    如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，    ∴为三棱锥外接球的直径， 由几何知识得， ∴三棱锥的外接球表面积为，D正确； 故选：BCD. 14．ABC 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由平面即可求出四棱锥的体积判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D． 【详解】如图， 取的中点，连接，则， 而平面，平面， 得，平面 则平面， 所以是直线与平面所成的角为，故A正确； 点到平面的距离为的长度为， 则，故B正确； 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故C正确； 连接，由，所以， 又，所以为二面角的平面角， 易求得， 又，， 由余弦定理可得，故D错误． 故选：ABC． 15．/ 【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得. 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故答案为：. 16． 【分析】利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解. 【详解】由球的截面圆性质可知球的半径， 则该球的体积为. 故答案为：. 17．1 【分析】设正的边长为2，求出圆锥底面圆半径、高、母线及球的半径，再利用体积、表面积公式计算即得. 【详解】依题意，设正的边长为2，则圆锥的底面圆半径为1，高为，母线长为2， 因此，， 球半径即为正的边心距，因此，， 所以. 故答案为：1 18．/ 【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线长为， 所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：， 所以，所以圆锥的高. 故圆锥的体积为：. 故答案为：. 【能力提升训练】 一、单选题 1．（2024·广东·二模）已知球与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球与圆台的体积之比为，则球与圆台的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南常德·三模）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 8．（2024·北京丰台·一模）正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论： ①棱长为； ②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°； ③表面积为； ④外接球的体积为． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 9．（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2022·山东·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使四点共面 B．存在点，使平面 C．三棱锥的体积为 D．经过四点的球的表面积为 14．（2024·山东济宁·一模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 D．若CN与平面所成的角为，则 15．（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（    ） A．底面椭圆的离心率为 B．侧面积为 C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为 D．底面积为 三、填空题 16．（2024·河南·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ． 17．（2024·浙江温州·一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 . 18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B D B B C B 题号 11 12 13 14 15 答案 A C ABC AD ABD 1．D 【分析】由球与圆台的体积之比为，得到圆台的上、下底面半径分别为，球的半径之间的关系，代入表面积公式化简，即可得到答案. 【详解】      由题意，作出圆台的轴截面， 设圆台的上、下底面半径分别为，球的半径， 则，过A作于点， 由，得，化简得， 由球的体积公式， 圆台的体积公式， 已知球与圆台的体积之比为，则， 化简得， 则，得， 又球的表面积，圆台的表面积， 所以， 故选：D. 2．B 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B. 3．B 【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，求出，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解. 【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得， 设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为， 轴截面如下图示，内切球切母线于，底面半径，，则， 又，故， 又，故， 故该圆锥的表面积为， 令，所以， 所以. （当且仅当时等号成立） 所以该圆锥的表面积的最小值为. 故选：B    4．C 【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积. 【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，    则圆台侧面积为， 上、下底面面积分别为和. 由圆台表面积为，得， 所以圆台高， 设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1. 作于点， 设，由，则球心在圆台外部. 则有，解得， 所以球的体积为. 故选：C. 5．B 【分析】利用等体积法求出点到平面的距离，说明所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，再根据求得体积公式即可得解. 【详解】由题意，设点到平面的距离为， 而 ， 由，得，解得， 棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为， 棱长为6的正方体体对角线的长度为， 因为， 所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球， 则该球形饰品的体积的最大值为. 故选：B. 6．D 【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果. 【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设， 根据其对称性可知，过点， 又该八面体为正八面体，则面，又面，故； 显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，， 则，在直角三角形中，； 由可得，则； 故该八面体的表面积. 故选：D. 7．B 【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得.. 【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm， 由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有， 即，可得，则， . 故选：B. 8．B 【分析】注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断①正确；可以找到一对位于正方形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到②错误；根据该几何体每种面（正三角形和正方形）各自的数量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出③正确；直接证明正方形的中心到该几何体每个顶点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球的体积，得到④错误. 这就得到全部正确的结论是①③，从而选B. 【详解】如图所示： 该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的一半， 故该等腰直角三角形的直角边长度为1，从而该几何体的每条棱的长度都是，①正确； 若为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱， 则，平行于，异面，所以异面，， 这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，②错误； 该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，边长均为，故每个正方形的面积都是， 每个正三角形的面积都是，故表面积为，③正确； 设正方体的中心为，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点， 故到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的倍，即. 这意味着以为球心，半径为的球是该几何体的外接球，从而外接球的体积，④错误. 从而全部正确的结论是①③. 故选：B. 9．C 【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C 10．B 【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，在中，，且， 由余弦定理得， 设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即 再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为， 在直角中，可得， 所以球的表面积为. 故选：B.    11．A 【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积. 【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面， 因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以， 因为，由勾股定理得， 故棱锥的体积为，棱锥的表面积为， 设内切球的半径为，    则由等体积法可得，解得， 所以． 故选：A 12．C 【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可. 【详解】过三角形的中心作平面的垂线， 过三角形的中心作平面的垂线， 两垂线交于点，连接， 依据题中条件可知，为四面体的外接球球心， 因为， 所以, 则, 即外接球半径为， 则该球的表面积为， 故选：C. 13．ABC 【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】A：如图，在正方体中，连接． 因为N，P分别是的中点，所以． 又因为，所以． 所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确； B：连接，当Q是的中点时，因为，所以． 因为平面平面，所以平面，故B正确； C：连接，因为，则 ，故C正确； D：分别取的中点E，F，构造长方体， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球． 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误． 故选：ABC 14．AD 【分析】对于A,根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，继而可判定；对于B,根据题意画出截面图，计算即可；对于C，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可. 【详解】对于A,连接,因为, 平面,平面, 所以平面,    又点是棱上的动点（含端点）， 所以点到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，故A正确； 对于B,如图， 四边形为过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形，    因为平面平面, 且平面平面, 且平面平面, 根据面面平行的判断定理知，， 又因为为中点，所以为四等分点， 则四边形的周长为： , 故B错误； 对于C,如图所示，连接,取的中点为, 连接，设外接圆圆心为,外接球球心为, 连接,则,    在中，设其外接圆半径为， 由正弦定理知，， 所以，即， 依题易得,故, 弦所对的圆周角相等，故四点共圆， 则, 设外接球半径为,过作,交于, 则在中，, 即,① 在中，, 即,② 联立①②，解得, 故外接球的表面积为, 故C错误； 对于D，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，    则, 则, 设平面的法向量， 则， 令，则，故， 则, , 当时，， 当时， ， 当且仅当时等号成立， 又， 综上可知，，故D正确， 故选：AD. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 15．ABD 【分析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项． 【详解】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面， 由圆柱的性质知， 则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，，， 所以离心率为，A正确； ，垂足为，则， 易知，，又， 所以斜圆柱侧面积为，B正确； ，，，， 椭圆面积为，D正确； 由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为，C错． 故选：ABD． 16． 【分析】设圆锥的底面圆半径以及球的半径，用表示出圆锥的高和母线以及球的半径，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比. 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为， 因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线， 由题可知：，所以球的半径 所以圆锥的体积为， 球的体积， 所以； 圆锥的表面积， 球的表面积， 所以， 故答案为：；. 17． 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 18．/ 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又，则，所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025二轮复习专项训练17 空间几何体 [考情分析]　高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积、球的组合体问题．常以选择题、填空题的形式出现，部分题目难度较大． 【练前疑难讲解】 一、空间几何体的截面问题 1．用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 2．确定截面的主要依据有 (1)平面的四个基本事实及推论． (2)直线和平面平行的判定和性质． (3)两个平面平行的性质． (4)球的截面的性质． 二、表面积与体积 1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： (1)圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； (2)圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； (3)圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； (4)球的表面积S＝4πR2. 2．柱体、锥体和球的体积公式： (1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (3)V球＝πR3. 三、多面体与球 多面体的外接球模型： (1)长方体的外接球直径为体对角线， 则R＝； 正方体的外接球半径为R＝； 正方体的内切球半径为r＝. (2)柱体模型 如图①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，设外接球半径为R，球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1，则R＝＝，其中r＝O1A为△ABC外接圆半径． (3)锥体模型 如图②，在正三棱锥P－ABC中，先求出高线长h＝PO1＝， 在Rt△OO1A中，R2＝OO＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R为外接球半径，r＝O1A为△ABC外接圆半径，O1为△ABC的外接圆圆心． (4)正四面体(构造正方体)、对棱相等的三棱锥(构造长方体) 如图③：正四面体D－A′BC′可构造正方体(所有面对角线相等)； 如图④：对棱相等的三棱锥A－BCD可构造长方体(对面的对角线相等)． 一、单选题 1．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·云南·阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（    ）    A．该圆台轴截面ABCD的面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．该圆台有内切球，且半径为 4．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为 C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为 三、填空题 5．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知圆锥的轴截面面积为，则该圆锥的外接球半径的最小值为 . 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2024·湖南长沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南京·二模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津北辰·三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（    ） A． B． C． D．6 8．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 9．（2024·河北邢台·一模）如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 11．（2024·山西朔州·一模）已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则（    ） A．圆锥的母线长为4 B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 C．圆锥的体积为 D．沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 12．（24-25高三上·广西·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（    ） A．在四面体中，点的曲率为 B．在四面体中，点的曲率大于 C．四面体外接球的表面积为 D．四面体内切球半径的倒数为 13．（2023·辽宁·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积 14．（2024·安徽·一模）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成的角等于 B．四棱锥的体积为 C．两条异面直线和所成的角为 D．二面角的平面角的余弦值为 三、填空题 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 . 16．（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ． 17．（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则 . 18．（2023·上海徐汇·二模）如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 . 【能力提升训练】 一、单选题 1．（2024·广东·二模）已知球与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球与圆台的体积之比为，则球与圆台的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南常德·三模）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 8．（2024·北京丰台·一模）正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论： ①棱长为； ②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°； ③表面积为； ④外接球的体积为． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 9．（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2022·山东·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使四点共面 B．存在点，使平面 C．三棱锥的体积为 D．经过四点的球的表面积为 14．（2024·山东济宁·一模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 D．若CN与平面所成的角为，则 15．（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（    ） A．底面椭圆的离心率为 B．侧面积为 C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为 D．底面积为 三、填空题 16．（2024·河南·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ． 17．（2024·浙江温州·一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 . 18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$