2025年高考数学二轮复习专项训练15 等差数列、等比数列

2025二轮复习专项训练15 等差数列、等比数列 [考情分析]　高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式考查，属于中档题目． 【练前疑难讲解】 一、等差数列、等比数列的基本运算 1．等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝＝na1＋d. 2．等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1； q≠1，Sn＝＝. 二、等差数列、等比数列的性质 1．等差数列常用性质： (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列． 2．等比数列常用性质： (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； (2)an＝am·qn－m. 三、等差数列、等比数列的判断与证明 证明数列{an}是等差(比)数列的方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明(an≠0，n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，证明a＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)． 一、单选题 1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2024·河南郑州·二模）已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．－36或36 B．－36 C．36 D．18 二、多选题 3．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知等差数列的前项和为，的公差为，则（    ） A． B． C．若为等差数列，则 D．若为等差数列，则 4．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（    ） A．若取，，则 B．满足题意的也必是一个等比数列 C．在的前100项中，的可能项数最多是6 D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 三、填空题 5．（23-24高三上·江苏·期末）若数列满足，（），则 . 6．（2024·湖北·一模）设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为 ． 四、解答题 7．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 8．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足：，且数列为等差数列，则（    ） A．10 B．40 C．100 D．103 2．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 6．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．168 C．121 D．163 8．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 9．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 10．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ） A．等差数列，若，则 B．等比数列，若，则 C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列 D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列 12．（22-23高二上·广东广州·期末）记为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若对，，有，则数列一定是等差数列 B．若对，，有，则数列一定是等比数列 C．已知，则一定是等差数列 D．已知，则一定是等比数列 三、填空题 13．（23-24高三下·湖南·开学考试）若数列满足，，则的最小值是 ． 14．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）设是等比数列，且，，则 . 四、解答题 15．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 16．（2024·山东·二模）已知数列．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和的最大值． 17．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 18．（2023·吉林·模拟预测）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝﹣m. (1)求m的值，并求出数列{an}的通项公式； (2)令，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n. 【能力提升训练】 一、单选题 1．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 4．（2022·江西上饶·二模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 8．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 二、多选题 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 10．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 11．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 三、填空题 12．（2024·山东日照·模拟预测）若函数的四个零点成等差数列，则 ． 13．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是 ． 14．（21-22高二·全国·课后作业）在等比数列中，，，则 ． 四、解答题 15．（2024·浙江·一模）已知数列满足，记数列的前项和为． (1)求； (2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围． 16．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足. (1)求，，，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前和. 18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足 (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; (3)若，求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025二轮复习专项训练15 等差数列、等比数列 [考情分析]　高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式考查，属于中档题目． 【练前疑难讲解】 一、等差数列、等比数列的基本运算 1．等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝＝na1＋d. 2．等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1； q≠1，Sn＝＝. 二、等差数列、等比数列的性质 1．等差数列常用性质： (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列． 2．等比数列常用性质： (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； (2)an＝am·qn－m. 三、等差数列、等比数列的判断与证明 证明数列{an}是等差(比)数列的方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明(an≠0，n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，证明a＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)． 一、单选题 1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2024·河南郑州·二模）已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．－36或36 B．－36 C．36 D．18 二、多选题 3．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知等差数列的前项和为，的公差为，则（    ） A． B． C．若为等差数列，则 D．若为等差数列，则 4．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（    ） A．若取，，则 B．满足题意的也必是一个等比数列 C．在的前100项中，的可能项数最多是6 D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 三、填空题 5．（23-24高三上·江苏·期末）若数列满足，（），则 . 6．（2024·湖北·一模）设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为 ． 四、解答题 7．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 8．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D C BD AB 1．D 【分析】由题意得到是等比数列，进而得到，利用错位相减法求出，构造函数，并利用导数判断函数的单调性，即可求出符合条件的的最小值. 【详解】是，的等差中项， ，故， 而，， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， ， 记，则， ， 两式相减可得，， 即，令，即， 设，则， ，，在单调递减， 是递减数列， 当时，， 当时，， 使得成立的最小的的值为11. 故选：D. 2．C 【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可. 【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，， 则，则， 则， 则， 故选：C. 3．BD 【分析】A选项，根据等差数列性质得到，A错误；B选项，由等差数列性质得到；C选项，计算出，要想为常数，则，故C不正确；D选项，根据等差数列通项公式的函数特征得到，D正确. 【详解】A选项，，而不一定相等，A不正确； B选项，因为，， 所以，故B正确； C选项，因为， 若为等差数列，则 ， 要想为常数，则，故C不正确； D选项，由题可知， 若为等差数列，则为关于的一次函数， 所以，即，故D正确． 故选：BD 4．AB 【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】因为数列的通项公式为， 对于A，取，，则，， 由于为等比数列，则，则有，即，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 若为等比数列，即，，，，，是等比数列， 则，，，，，，是等比数列， 故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确； 对于C，在的前项中，可以取，，，，，，， 可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误； 对于D，取，，则，则， 不是数列的项， 所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误． 故选：AB． 5．3268 【分析】由数列递推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案. 【详解】由题意可得，作差得， 故 ， 故答案为：3268 6． 【分析】 由可得，，讨论或，即可得出答案. 【详解】由 ， 因为，所以由， 可得， 由可得， 即， 即， 即，即， 则，因为 若，则，解得：， 若，则，解得：， 所以公比的取值范围为：. 故答案为：. 7．(1)； (2) 【分析】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求. 【详解】（1）当时，，即，， 所以，同理． 当时，，化简得： ，因为，所以， 即，故，又，所以． 同理，或， 因为是等比数列，所以，即，所以． （2）由（1）知， 所以当为奇数时， ， ， 同理当为偶数时，． 所以. 8．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式； （2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 【详解】（1）因为，故，故， 而为等比数列，故其公比为， 又，故，故， 故. （2）由题设可得， 若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，因为等差数列， 故即，故， 故即，这样不同矛盾， 故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足：，且数列为等差数列，则（    ） A．10 B．40 C．100 D．103 2．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 6．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．168 C．121 D．163 8．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 9．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 10．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ） A．等差数列，若，则 B．等比数列，若，则 C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列 D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列 12．（22-23高二上·广东广州·期末）记为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若对，，有，则数列一定是等差数列 B．若对，，有，则数列一定是等比数列 C．已知，则一定是等差数列 D．已知，则一定是等比数列 三、填空题 13．（23-24高三下·湖南·开学考试）若数列满足，，则的最小值是 ． 14．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）设是等比数列，且，，则 . 四、解答题 15．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 16．（2024·山东·二模）已知数列．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和的最大值． 17．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 18．（2023·吉林·模拟预测）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝﹣m. (1)求m的值，并求出数列{an}的通项公式； (2)令，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C A C D B A 题号 11 12 答案 AC AC 1．D 【分析】设数列的公差为，借助等差数列的性质可计算出，即可得，即可得解. 【详解】设数列的公差为，则， 故，所以． 故选：D. 2．C 【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果. 【详解】成等差数列，，又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或. 故选：C. 3．D 【分析】设出公差为，列出方程组，求出首项和公差，根据判断①正确， 写出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正确； 根据与，得到当时，取得最大值，③正确； 利用通项公式求出的值，得到④错误. 【详解】设等差数列的公差为， 故，解得：， 由于，故是递减数列，①正确； ，令， 解得：，且， 故使成立的的最大值是9，②正确； ， 当时，，当时，， 故当时，取得最大值，③正确； ，④错误. 故选：D 4．B 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 5．C 【分析】由题意结合等差数列的定义求出通项公式，再由前项和公式计算即可. 【详解】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 6．A 【分析】由题意知对折后的等腰直角三角形的腰长成首项为，公比为的等比数列，进而求出对折6次后的腰长，即可求解. 【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为， 故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形， 所以斜边长为. 故选：A． 7．C 【分析】由条件结合等比数列性质求出，再列方程求出数列的公比，利用等比数列求和公式可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 因为，又， 所以，因为， 所以或， 若，则，解得，， 所以， 若，则，解得，， 所以， 所以， 故选：C. 8．D 【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立. 【详解】不妨设，则，满足， 但是严格减数列，充分性不成立， 当时，是严格增数列，但，必要性不成立， 故甲是乙的既非充分又非必要条件. 故选：D 9．B 【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：B 10．A 【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出. 【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即， 所以为首项为，公比为的等比数列，. 故选：A 11．AC 【分析】利用等差数列下标和性质判断A；举例说明判断B；利用等差数列定义判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由等差数列下标和性质知，A正确； 对于B，取，显然数列成等比数列，且，而，B错误； 对于C，等差数列的公差为，， ， 有，因此成等差数列，C正确； 对于D，当等比数列的公比，为正偶数时，，显然不成等比数列，D错误. 故选：AC 12．AC 【分析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前项和的形式，可逐一判断. 【详解】由和等差中项的性质， 可得数列是等差数列，即A正确； 当时，由和等比中项的性质， 可得数列是等比数列，即B不正确； 由等差数列前项和， 得可看成的二次函数，且不含常数项，则C正确； 由等比数列前项和， 若，则，所以， 则此时数列不是等比数列，则D错. 故选：AC 13．/ 【分析】利用累加法求得，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由已知，，…，，， 所以 ， 又也满足上式，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是． 故答案为： 14．189 【分析】 由是等比数列，则， ，，成等比数列，再根据新等比数列的性质计算即可. 【详解】 由是等比数列，设其公比为， 则，，，构成等比数列，且公比为， ， ， 则. 故答案为：189. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据作差即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时， 当时， 所以， 又当时，也成立， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 则 . 16．(1)； (2)28 【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式； （2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案. 【详解】（1）由，可知， 所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）可知， 令，解得， 令，解得， 即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大， 最大值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得，，即可求解公比得解， （2）利用错位相减法求和即可求解. 【详解】（1）由以及可得， 又，故， 因此公比， 故 （2）， 则， ， 两式相减可得， ， ， . 18．(1)m＝， (2)n 【分析】（1）直接利用数列的递推关系求出m的值； （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和. 【详解】（1）等比数列{an}的前n项和Sn＝﹣m①. 当n＝1时，解得， 当n≥2时，②， ①﹣②得：， 又{an}是等比数列，n＝1时也符合， 当n＝1时，， 故m＝. （2）由（1）得：， 所以T2n＝﹣1+2﹣3+4+...+﹣（2n﹣1）+2n ＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n） ＝n. 【能力提升训练】 一、单选题 1．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 4．（2022·江西上饶·二模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 8．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 二、多选题 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 10．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 11．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 三、填空题 12．（2024·山东日照·模拟预测）若函数的四个零点成等差数列，则 ． 13．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是 ． 14．（21-22高二·全国·课后作业）在等比数列中，，，则 ． 四、解答题 15．（2024·浙江·一模）已知数列满足，记数列的前项和为． (1)求； (2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围． 16．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足. (1)求，，，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前和. 18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足 (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; (3)若，求数列的前项和. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C B A D B BC ABD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得. 【详解】由等差数列的公差为，得，则， 当时，，而，则，因此，为递增数列； 当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 2．A 【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可． 【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，，，. 故选：A 3．C 【分析】利用基本量法可求的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为，，是公比为2的等比数列， 所以，由前者得到，代入后者可得， 故， 故选：C. 4．C 【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可. 【详解】由题意得，由等比中项性质得， 故. 故选：C 5．B 【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果. 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列， 所以 . 故选：B 6．A 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 7．D 【分析】根据，再结合为等比数列，表示，求出的值. 【详解】当时，； 当时，， 又是等比数列，所以，解得. 故选：D. 8．B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 9．BC 【分析】由题意得，结合等差数列求和公式可判断ABD；进一步有，由此可判断C. 【详解】由题意可知，故B正确D错误； 所以，故A错误； 而，所以当时，取得最小值，故C正确. 故选：BC. 10．ABD 【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 11．BC 【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D. 【详解】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，， 故选项A错误； 当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为， 或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以， 故选项B正确； 因为，所以， 而，所以，即， 故选项C正确； 因为当时，，所以， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，所以. 当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以； 当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减， 所以； 综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误. 故选：BC 12． 【详解】根据给定条件，求出函数的4个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得. 【点睛】由，得，由函数有4个零点，得， 即有或，则的4个零点从小到大依次为， 依题意，，即，解得， 所以. 故答案为： 13． 【分析】将已知化简为，由前n项和与通项关系可求得，进而可得，结合等差数列前n项和取最大值时的性质即可求得结果. 【详解】因为，即， 当时，， 两式相减得， 所以，（）， 又满足， 所以，（）， 令，，显然数列是等差数列， 若的最大值为，则，解得， 所以实数的最大值是. 故答案为：. 14．31 【分析】设，则， 利用等比数列的性质进行求解， 【详解】设，则 ， 所以． 故答案为：31 15．(1) (2)． 【分析】（1）由递推关系首先得结合等差数列求和公式即可求解. （2）由题意首项得，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集. 【详解】（1）① ② ②-①得，，得． 当时，①式为，得，也满足上式． ，数列是等差数列，所以． （2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ， 又，得， 得． 令，即，即． 当时，经验证，（*）式满足要求． 令，则 ， 所以当时，， 即当时，式不成立． 使得成立的的取值范围是． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得，结合即可求解； （2）由（1）知，利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意，，所以， 由于，则是以首项为1，公差为的等差数列， 所以，所以， 当时，. 验证时满足通项公式，故数列的通项公式为. （2）由（1）知. 设的前项和为，则当为偶数时， . 当为奇数时，， 设的前项和为，则. 因为，所以 17．(1)，，， (2) 【分析】（1）根据题意理解可求，，，结合与互素的个数可求数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意可知，，， 由题意可知，正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个， 所以； （2）由（1）知，所以， 所以 ， ， 所以，① ，② 所以①－②得 ， 所以. 18．(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推式，分别令，2，3，计算可得所求值； （2）推得，由等比数列的定义，可得证明； （3）求得，，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）由 可得；；； （2）证明：由题可得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得，即， ， ， 前项和， ， 两式相减可得， 化简可得． 学科网（北京）股份有限公司 $$