精品解析：北京市顺义区仁和中学2024-2025学年八年级上学期期中数学考试

仁和中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初二年级数学试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 任何实数都有互为相反数的两个平方根 B. 零的立方根是零 C. 的平方根就是 D. 无理数就是带根号的数 5. 如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 扩大4倍 6. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 为一切实数 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段AE、BD交于点C，，请你添加一个条件，使得．你的选择是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 二、填空题（每题2分，共20分） 11. 当_______时，分式有意义； 12. 如果，那么的算术平方根是_________． 13. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 15. 如图，已知为的外角，，，则的度数是________． 16. 若分式的值为0，则x的值为__________． 17. 在实数范围内分解因式：__________． 18. 把根式根号外的移到根号内，得_____． 19. 当______时，方程无解． 20. 已知三个数，x，y，z满足，则y的值是______ 三、解答题（21题3分，22题每问3分，23题每问3分，24题3分，25题5分，26题4分，27-28题每题4分，29-30每题6分，31题7分） 21. 计算： 22. 计算 （1） （2） （3） （4） 23. 解方程： （1）； （2）． 24. 先化简，再求值： ，其中． 25. 计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 26. 已知，，求代数式的值． 27. 已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO． 28. 研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，求特快列车的平均速度． 29. 对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 30. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． （3）应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 31. 将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． （1）①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； （2）已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； （3）现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁和中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初二年级数学试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】分析： 根据“分式”的定义进行分析判断即可. 详解： 由“分式的定义”可知：上述四个式子中属于分式的是：，共2个. 故选B. 点睛：熟记分式的定义：“形如，其中A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式”是解答本题的关键. 2. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 3. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确； B、=，不是最简二次根式，错误； C、=，不是最简二次根式，错误； D、=，不是最简二次根式，错误； 故选A. 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 任何实数都有互为相反数的两个平方根 B. 零的立方根是零 C. 的平方根就是 D. 无理数就是带根号的数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根的概念，立方根的概念，实数的概念，熟悉理解概念是解题的关键．根据平方根的概念，立方根的概念，实数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：负数没有平方根，故此说法错误，不符合题意； B：零的立方根是零，故此说法正确，符合题意； C：的平方根就是，故此说法错误，不符合题意； D：无理数是无限不循环小数，故此说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析： 分式的值不变. 故选A. 6. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 7. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 为一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 解得，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 9. 如图，线段AE、BD交于点C，，请你添加一个条件，使得．你的选择是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据AB＝DE，∠ACB＝∠ECD，可得∠A＝∠E，∠B＝∠D，则△ABC≌△DEC． 【详解】解：∵AB＝DE，∠ACB＝∠ECD， ∴当，可得∠A＝∠E，∠B＝∠D，依据AAS可得，△ABC≌△DEC． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，解题关键是掌握全等三角形的判定． 10. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运用，求一个数的平方根，掌握完全平方公式，开方的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，将原式变形得，根据求一个数的平方根即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 二、填空题（每题2分，共20分） 11. 当_______时，分式有意义； 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：当分母时，分式有意义， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查是的分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 12. 如果，那么的算术平方根是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据2a-18=0求得a=9，再根据算术平方根的定义即可求a的算术平方根． 【详解】解：∵2a-18=0， ∴a=9， ∴a的算术平方根是3． 故答案为：3． 13. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】解：∵，，且18＞12， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜ 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 15. 如图，已知为的外角，，，则的度数是________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟悉掌握三角形的外角的运算方法是解题的关键．根据三角形外角的定义运算求解即可． 【详解】解：∵为的外角，，， ∴， 故答案为：． 16. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 17. 在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 18. 把根式根号外的移到根号内，得_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型．由于根号内为，所以，所以将移到根号内时根号外面要加负号，然后再把根号内值化简即可． 【详解】解：有意义， ，即， 原式 故答案为： 19. 当______时，方程无解． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的无解问题．先按照解分式方程的步骤得到，再把增根代入即可求出答案． 【详解】解析： 对 去分母可得：， 整理可得：， ∵当时，此分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 20. 已知三个数，x，y，z满足，则y的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，得到，利用，求出，代入即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 得， ∴， 将代入，得， ∴y=， 故答案为：． 【点睛】此题考查分式的性质，分式的变形计算，根据分式的性质得到是解题的关键． 三、解答题（21题3分，22题每问3分，23题每问3分，24题3分，25题5分，26题4分，27-28题每题4分，29-30每题6分，31题7分） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，因式分解，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 通分结合括号内的式子，再对整个式子进行因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 22. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式后运算即可； （2）化简二次根式后运算即可； （3）利用分配律运算后，再化简二次根式运算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式运算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 23. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可； （2）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 24. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据异分母分式加减法先计算括号里的式子，再利用分式除法法则进行运算求出化简结果，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 当时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、最简二次根式，掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 25. 计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 【答案】（1）甲（或乙）； （2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母； （3）正确解答过程如下： . 【解析】 【分析】甲的错误是第②步通分时，分子没有乘，乙的错误是第③步直接去掉了分母，任选一个作答即可，按照通分，合并的步骤写出正确过程即可. 【详解】解：（1）甲（或乙）； （2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母； （3）略 【点睛】本题考查分式的计算，注意通分时不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程区分开. 26. 已知，，求代数式的值． 【答案】22 【解析】 【分析】把所求的式子变形为（x＋y）2-3xy，然后再把x，y的值代入进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ＝ ＝ = ＝-3×2 =28-6 ＝22， 故答案为：22. 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式的运算，将原式变形为变形为（x＋y）2-3xy是解题的关键. 27. 已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO． 【答案】 证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD， ∴∠B=∠D=90°． 在△ABO和△EDO中 ， ∴△ABO≌△EDO． 【解析】 【分析】利用AAS即可证明△ABO≌△EDO． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 28. 研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，求特快列车的平均速度． 【答案】特快列车的平均速度为100千米/时． 【解析】 【分析】设特快列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度为千米/时，根据题中“乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时”列出分式方程求解即可. 【详解】设特快列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度为千米/时． 由题意，得 ． 解得 ． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：特快列车的平均速度为100千米/时． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中所给的等量关系. 29. 对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 30. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． （3）应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】（1）； （2）； （3）①20；②57. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）①②根据（2）中的规律即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立, 故答案为：； 【小问3详解】 ① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 31. 将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． （1）①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； （2）已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； （3）现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 【答案】（1）①；② （2）或或或或或． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据定义直接判定即可； ②根据定义直接计算即可； （2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可； （3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，的最大值为，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可． 【小问1详解】 解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． 【小问3详解】 解：∵， ∴、中对应的元都不相等或、中对应的元都相等且为， ∵、是不同的两个完美数组， ∴、中对应的元都不相等， ∴的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $