2024年 九年级数学中考复习 二次函数与特殊平行四边形综合压轴题 专题突破训练

2024年春九年级数学中考复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》 专题突破训练（附答案） 1．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 2．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 3．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．      (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 5．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 7．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________； (2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标． 8．如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 9．综合与探究 如图1，欣欣利用几何画板绘制了抛物线，抛物线的顶点的坐标为，且经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，欣欣继续利用几何画板绘制了一条平行于轴的直线，当直线上所有点的纵坐标为时，在上取、两点（点在点的左侧），以为边在的下方利用几何画板软件构造正方形，且点、恰好在抛物线上，求点的坐标． (3)如图3，欣欣继续利用几何画板绘制了抛物线，抛物线的顶点的坐标为，向上平移（2）中的直线，使得直线与两条抛物线从左向右依次交于，，，四点，若点，，直接写出的长． 10．如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）． (1)求线段的长； (2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小； (3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围； (4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．求面积的最大值； (3)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． (1)求此二次函数的解析式． (2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． (3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． (4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 13．如图①，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是的中点，点是抛物线上的一个动点． (1)直接写出点的坐标______； (2)求该抛物线的解析式； (3)当时，求四边形的面积； (4)如图②，过点作直线的垂线，垂足为．以为对角线作正方形，当点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点的横坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式以及点C的坐标； (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值； (3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由． 16．综合与探究 如图，抛物线经过点与点，点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交于另一点E，与直线交于点C．再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条平行线交于点D．点F的横坐标为m，且． (1)求出抛物线与直线的函数关系表达式； (2)当四边形是正方形时，求出点F的坐标； (3)在满足（2）的条件下，在直线上取一点，连接．将线段以点P为中心，顺时针方向旋转，点F的对应点为Q．当点Q正好落在抛物线上时，直接写出这时点P的坐标． 17．如图①，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)如图②，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值． 18．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当P点的横坐标为4时，在抛物线上存在点Q（异于点P），使P、Q两点到直线的距离相等，求出所有满足条件的点Q的横坐标； (3)如图2，连接，，当点在直线上方运动时，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点，若的面积为，求出点的坐标； (4)过点P作轴交直线于点H，在y轴上是否存在点M，使得以P，H，A，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作矩形，点为边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，； (4)若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案： 1．（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，， ∴， 把A，E两点坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N， 在中， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上，符合条件的P点坐标是或． （3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时，如图， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 2．（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 3．（1）解：抛物线过点 答：抛物线的表达式为． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 如图1，作交轴于点，连接、， 点在上， ，， 连接， ∵， ， ∴，， ∵， ， ， 当时，， ， ， ， ， 轴，轴， ， 四边形是平行四边形． （3）解：如图2，由题意得，，连接， 在上方作，使得，， ，， ， ， ，，， ， ， （当，，三点共线时最短）， 的最小值为， ， 即的最小值为． 答：的最小值为． 4．（1）解：令，则，解得，， ∴点A，B的坐标为，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （2）， ∴当时，n随m的增大而减小时； （3）由（2）知当时，随的增大而增大，                              ∴点P在对称轴右侧， 过点作轴于点，点作轴于点，    则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 当时，即 解得： (舍去)， 当时，即 ，    解得： (舍去)， ∴点的坐标为或； （4）当时，解得， 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，    当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；   ，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，． 5．（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 在中，，， ∴， 第一种情况：如图所述，点在直线下方，    四边形是菱形，则，， 且直线的解析式为， ∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，过点作轴于点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 第二种情况：如图所示，点在直线上方，    四边形是菱形，，， 且，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 整理得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即， ∴设所在直线的解析式为， 把点代入得，， ∴直线的解析式为， 根据题意，设， ∴， 整理得，， ∴，即，， ，不合题意， ∴； 第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示： 作的垂直平分线，交于P，交于N， 在直线上截取，连接、得菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 代入，， 得， 解得， ， 与联立， 得， 解得， ， 将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C， 将点也做相同的平移得到点，即， 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 6．（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 7．（1）解：将，代入函数解析式得， ， 解得， 此二次函数的解析式为； （2）∵ ∴对称轴为直线 当时， ∴ ∵点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上 ∴设， 当四边形为矩形时，四边形为平行四边形 ∴，即 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴四边形为矩形，符合题意， ∴，； （3）抛物线 ∴顶点坐标 ∵， ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∵平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上， ∴新抛物线的顶点P的坐标为 ∴设新抛物线的表达式为 将代入得， ∴ ∵ ∴ 解得或 ∵新抛物线的顶点在的延长线上 ∴，故应舍去 ∴ ∴． 8．（1）解：将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴周长， ∴当时，周长的最大值为， 此时； （3）解：∵， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，， 令，则， 解得或， ∴， 当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，， ， 解得或， ∴或； 综上所述：N点坐标为或或或． 9．（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）直线上所有点的纵坐标为， 直线为， 设，， ，， 四边形是正方形， ， ， 由①得：， ， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，，代入②式得：， 解得：或（舍去）， ， ； （3）点，，，都在直线上，且直线平行于轴， ， 抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ， ， ． 10．（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴； （2）设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∵两条抛物线的开口向上， ∴， ∴； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上，且满足， ∴点距离对称轴近， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：或， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，或； ∴当或时，； （4）不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由图象可知：， ∴， ∴，， 把，，分别代入和， 得：， ∴抛物线的解析式为， 抛物线的解析式为 当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况： ①当为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； ②当为对角线时，则的中点也是的中点， ∵，设的中点为，则：， 以为圆心，的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则：都在圆上，且也为圆的直径， 如图：    由图可知，不存在点分别在两条抛物线上且为圆的直径， 故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； 综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形． 11．解：（1）∵抛物线经过， ∴，解得 ∴该抛物线所对应的函数解析式为 （2）设直线的解析式为 把，代入得：，解得： ∴直线的解析式为 设，则 当时，； （3）存在； ∵抛物线与x轴交于A、两点 当时，解得：或5 ∵ ∴ ∵ 当四边形为菱形时，此时 ∴垂直平分 ∴点P与点E关于x轴对称 由（2）得：， ，即 解得：（舍） ∵点M与点B关于对称 ∴； 当四边形为菱形时，此时 ∴点P与点A重合 ； 当四边形为菱形时，此时 由（2）得： 解得：（舍） 综上，点M的坐标为或或 12．（1）解：把，代入，得 ， 解得：， ∴； （2）解： ∵ ∴抛物线顶点坐标为， 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， ∵P、N是关于轴的对称点， ∴轴， ∴点P纵坐标为， ∴点P与抛物线的顶点重合， 即， ∴点， ∴， ∵过点作轴垂线交直线于点， ∴点横坐标为1， 当时， ∴， ∴ ∴矩形的面积； 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， 同理可得点Q的纵坐标为， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴P点的横坐标为， 当时，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积； 综上，矩形的面积为12或36． （3）解：由题意得， 当点P在第二象限，点M恰好在抛物线上时，如图： 则， ∴， 解得：或（舍）， 此时符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 当点P向右运动，此时时，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，如图： 当点继续向右运动与点重合时，此时矩形不存在，如图： 此时，， 解得：或（舍）， 当点向右运动，点在点下方时，如图： 此时不符合题意， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小； 当点与点重合时，矩形不存在， 当点继续向右运动，在第四象限时，此时，如图，符合题意： 当点继续向右运动，均符合题意，如图： 当点与点重合时，矩形不存在，此时， 解得：或（舍）， 当点继续向右运动，在点上方时，不符合题意 ，如图： ， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 综上所述，m的取值范围为：或； （4）解：∵， ∴顶点为，而， 联立， 解得：或， ①当且时，即：，如图： 此时，而， ∴， 解得：（舍）或（舍）或； ②当，即时，记顶点为点，如图： 此时， 则， 整理得，或， 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ③当时， 此时：， 即：， 整理得，， 解得：或（舍）或（舍）； ④时， 此时， 即： 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ⑤当时，不存在． 综上所述：或或或． 13．（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵点是的中点， ∴点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：把点，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵，点D的坐标为， ∴点P的纵坐标为4， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∴四边形的面积； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形正方形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴轴， 即点M与点Q的横坐标相等，轴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点M与点Q的横坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， 即点P的横坐标为或． 14．解：（1）∵， ∴，，. 设抛物线的表达式为.将代入，得. ∴抛物线的函数表达式为，即. （2）①联立.整理，得. 设，. 由根与系数的关系，得. ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为.将代入，得. ∴点D在直线上运动，且.…… 如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长. 设直线的函数表达式为， 将，代入，得.解得. ∴直线的函数表达式为， 令，得. ∴. 将点代入，得. ②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p. 由①知，， ∴. ∴. 同理可得，即. ∴. ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为， ∴. ∴，即. ∴. ∴ . ∴. （ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q. 由①知，，， ∴，. ∴，. 由（ⅰ）得， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴. ∴，. ∴. 综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或. 15．（1）解：将，代入， 得到， 解得：， ． 将C点的横坐标代入，得， ； （2）设直线的函数解析式是 ， ， 解得：， 直线的函数解析式是． 设P点的横坐标为，则P、E的坐标分别为：，， 点在E点的上方，， 当时，的最大值，此时； （3）存在．理由：如图， ∵抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，直线的函数解析式是，抛物线的解析式是． ， ， 点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，轴， ， 由（2）知， ，解得或0（舍去）， 点P的坐标为． 16．（1）解：把，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，把点代入，得： ，解得． 直线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设点，则点的坐标为， ， 根据抛物线的轴对性知， 四边形是正方形时， ，即， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为； （3）解：过作轴交延长线于，过作于，如图： 设，由（2）知， 将线段以点为中心，顺时针方向旋转，点的对应点为， ，， ， ， ， ，， ，即， 点正好落在抛物线上， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 17．（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：已知抛物线的解析式为：， ∴令时，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵设点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为，点三点共线， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 18．（1）解：由题意得：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作直线的平行线交轴于，交抛物线于，则点与点到直线的距离相等， 由，得直线， 设直线为，将坐标代入得， ， 得，（舍）， ； 同理，将直线往下平移4个单位得直线，可以得，， 综上，点Q的横坐标为：2或或； （3）解：过点作轴于点（如下图）， 则， ， ，即， 又为等腰直角三角形， ，即， ， ， ， ，即，代入得， 解得或 ∴； （4）解：存在，理由： 当为对角线时， 此时四边形是正方形，则点的纵坐标为6， ∴， 解得或， ∴， ∴， ∴； 当为边，且当点在上方， 设点，则点， 则， 而， 解得：（舍去）或， 则， 则； 当点在下方，同理可得：， 综上，点M的坐标为或或． 19．解：（1）∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）过点作于点，过点作轴交于点， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∴当最大时，有最大值， 设的解析式为， ∴， ∴， 解得：， ∴设的解析式为， 设点且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴； ②∵， ∴点， ∵点， ∴对称轴为：， 设点， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴．    （3）存在，理由如下： 由（2）得，对称轴为； 设点，， ①当为平行四边形的对角线时 ∴， 解得：， ∴点，； ②当为平行四边形的对角线时； ∴， 解得：， ∴点，； ③当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得：， ∴点，；      综上所述，点的坐标为或或． 20．（1）解：设过，，三点的抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴经过，，三点的抛物线的解析式为； （2）点，，以、为边作矩形， ∴，， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴ ； （3）由运动时间为秒，则，，则 ∵沿直线折叠得到， ∴， 若， 则， ∴，即． ∴， 解得； （4）①如下图，当点在对称轴右侧，即为点， 当且时，四边形为平行四边形， 过作垂直对称轴于点，则， ∴，又对称轴为直线， ∴此时点的横坐标为2， 对于， 当时，， ∴点的坐标为； ②如下图，当点在对称轴左侧，即为， 当且时，四边形为平行四边形， 过作垂直对称轴于点，则， ∵，对称轴直线， ∴此时点的横坐标为． 对于， 当时，， ∴点的坐标为； ③如解图，当点在抛物线的顶点上，即为点， 当且时，四边形为平行四边形， 与相交于点，则为线段的中点， 又∵点在对称轴上，则的横坐标为， 对于， 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为、、时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$