精品解析：河北省邯郸市永年区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷（冀教版） 本试卷共8页；满分为120分；测试时间：90分钟 一、选择题（本大题共12个小题，共36分．每小题3分．只有一项是A符合题目要求的） 1. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表： 锻炼时间（时） 3 4 5 6 7 人数（人） 6 13 14 5 2 这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是( ) A. 14,5 B. 14,6 C. 5,5 D. 5,6 2. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且． B. 且． C. 且 D. 且． 3. 为了调查某中学学生的身高情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 2000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生是个体 4. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 6. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 7. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A. 12海里 B. 6海里 C. 12海里 D. 24海里 10. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 11. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 12. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请把正确答案填在题后的横线上．） 13. 为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙） 14. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 15. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为_____． 16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 三、解答题（本大题共8个小题，第17小题6分，第18小题6分，第19小题8分，第20小题9分，第21小题6分，22题12分，第23题12分，第24题13分；共72分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 某校举办国学知识竞赛，设定满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组： 5，6，6，6，6，6，7，9，9，； 乙组： 5，6，6，6，7，7，7，7，9，． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c S乙2 （1）以上成绩统计分析表中 ， ， ； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 18. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习方式，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出本次调查的学生总人数______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 19. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 20. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． （1）求线段的取值范围； （2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． （3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB． 22. 图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到米） 参考数据：，，，，， 23. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒． （1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与相似？ （2）如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷（冀教版） 本试卷共8页；满分为120分；测试时间：90分钟 一、选择题（本大题共12个小题，共36分．每小题3分．只有一项是A符合题目要求的） 1. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表： 锻炼时间（时） 3 4 5 6 7 人数（人） 6 13 14 5 2 这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是( ) A. 14,5 B. 14,6 C. 5,5 D. 5,6 【答案】C 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数的平均数即为中位数． 【详解】由统计表可知：体育锻炼时间最多的是5小时，故众数是5小时； 统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间都是5小时，故中位数是5小时． 故选C． 【点睛】本题考查了确定一组数据的众数和中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数． 2. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且． B. 且． C. 且 D. 且． 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【详解】根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：B． 【点睛】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定． 3. 为了调查某中学学生的身高情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 2000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生是个体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．此次调查属于抽样调查，故A不符合题意； B．样本容量是300，故B符合题意； C．2000名学生的身高情况是总体，故C不符合题意； D．被抽取的每一名学生的身高情况称为个体，故D不符合题意； 故选：B． 4. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 5. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 6. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax=b2的方程的图解法是： 画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a， 设AD=x，根据勾股定理得：， 整理得：，（a≠0，b≠0）， ∵△=4a2+4b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为-b2＜0，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，已知，判断两个三角形是否相似，需满足两角对应相等或两边成比例且夹角相等，据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②， ∴不能判定和相似的是C， 故选：C． 8. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意做出示意图，证明，由相似三角形的性质可得出，进而可求出答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：D． 9. 如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A. 12海里 B. 6海里 C. 12海里 D. 24海里 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 10. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】B 【解析】 【分析】过O作，过A作于G，求出，进而求出，即可求解． 【详解】过O作，过A作于G， ∵米，， ∴米， ∵，， ∴， 在中， (米)， 点A位于最高点时到地面的距离为(米)， 答：点A到地面的距离为5米； 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件，构造直角三角形． 11. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于D，由题意得，，利用三角形内角和定理求出，再求出，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图所示，过点B作于D， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴千米，， ∴千米， ∴千米， 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 【答案】C 【解析】 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请把正确答案填在题后的横线上．） 13. 为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙） 【答案】甲 【解析】 【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论． 【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则 鱼的概率近似，解得x＝2000； 设乙鱼池鱼的总数为y条，则 鱼的概率近似，解得y＝1000； ， 可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系． 14. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 15. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】2.9 【解析】 【详解】在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米. 三、解答题（本大题共8个小题，第17小题6分，第18小题6分，第19小题8分，第20小题9分，第21小题6分，22题12分，第23题12分，第24题13分；共72分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 某校举办国学知识竞赛，设定满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组： 5，6，6，6，6，6，7，9，9，； 乙组： 5，6，6，6，7，7，7，7，9，． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c S乙2 （1）以上成绩统计分析表中 ， ， ； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2）甲 （3） 选乙组参加决赛．理由如下： ， ∵甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量． （1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在甲组中属中游略偏上，； （3）计算乙组的方差，两组平均数相同，方差进行比较，选择方差小的组参加比赛． 【小问1详解】 解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数； ， 乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，∴众数； 故答案为：6，7，7； 【小问2详解】 小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上， 故答案为：甲； 【小问3详解】 略 18. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习方式，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出本次调查的学生总人数______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）补全的条形统计图如下图所示； （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体． （1）利用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得出总人数； （2）用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图； （3）求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以即得出答案； （4）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 本次调查的学生总人数：， 故答案为：； 【小问2详解】 在线听课的学生有：（人）， 略 【小问3详解】 扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：， 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°； 【小问4详解】 （人）， 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人． 19. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 20. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． （1）求线段的取值范围； （2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． （3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长和宽分别为， （3） 解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下： 根据题意得， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解； （2）表示出矩形面积，求出即可； （3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题． 此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设线段的长为，则的长为， 根据题意得，解得， 线段的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意列方程，得， 解得，； 当时，， 当时，，而墙长，不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，； 【小问3详解】 略 21. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB． 【答案】树高AB是9米 【解析】 【分析】先证得△DEF∽△DCB，可得，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解． 【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB， ∴， ∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5 m，CD＝10 m， 由勾股定理得DE＝＝0.4 m， ∴， ∴BC＝7.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m）， 答：树高AB是9m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到米） 参考数据：，，，，， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）过作于，根据正弦的定义计算，得到答案； （2）根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可； 熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：过作于， 根据题意，得：，， 在中，， ∴（米）． 答：真空管上端到水平线的距离约为米； 【小问2详解】 在中， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 23. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 【答案】（1） 解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）购物车把手到的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒． （1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与相似？ （2）如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（2）t=时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图2，当∠APQ=90°时，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出其t值； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，当△BQP∽△BAC时，根据相似三角形的性质可以求出t的值． 【详解】解：（1）如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB， ∴． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB==10（cm）． ∵BP=t，AQ=t， ∴PA=10-t， ∴， ∴t=； 如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB， ∴， ∴， t=． 综上所述，t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时， ∴． ∵BQ=14-t，BP=t， ∴， ∴t=， 当△BQP∽△BAC时， ∴， ∴， ∴t=， ∵Q在CB上， ∴t>8， ∴t=舍去， ∴t=时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时证明三角形相似是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $