精品解析：安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥九中 命题教师：冯文华 审题教师：王伟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. 不存在 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点,求出的直线方程,进而可求倾斜角大小. 【详解】解:由题知直线l过、两点, 所以直线的方程为, 故倾斜角为. 故选:C 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，可得，所以A不正确，C正确； 对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确； 故选：C. 3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ） A. 0或-10 B. 0或-20 C. 15或-25 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线方程得：，利用两条平行线间的距离公式计算可得. 【详解】化简得：， 两平行直线，的距离为： ， ， 或， 故选：B. 【点睛】此题考两条平行线间的距离公式，关键是化简直线方程，使两个直线方程x，y的对应系数相同，属于简单题. 4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 5. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ） A. 不确定 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,2,，， ,1,， ． 故选：D． 6. 在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图象，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】如下图所示： 由题意可知，， 所以， 故选：A. 7. 台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ） A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 8. 已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解. 【详解】设弦的中点为，由题可知圆的半径为， 因为，，所以， 所以，， 可得，解得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可. 【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况， 则，解得，当，共线时，解得， 故且，对照选项知AC正确，BD错误. 故选：AC. 10. 已知直线：，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线过定点 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线方向向量、直线过定点、直线截距、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：由方程可得可得一个方向向量：，可判断A错误； 对于B：， 所以，则直线过定点，故B正确； 对于C，若，则直线，此时直线不过第二象限， 又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得， 所以若直线不经过第二象限，则，故C错误. 对于D：当时，直线方程为：，圆心到直线的距离为：， 而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，正确； 故选：BD 11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：将问题转化为求的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果. 【详解】A：因为，当最小时，取最小值， 取最小值时即为到直线的距离，所以最小值为， 所以的最小值为，故A错误； B：设，，所以中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 又圆，两圆方程相减可得， 即为 令，解得， 所以公共弦所在直线过定点，故B正确； 对于C：对于， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以中点的坐标为，， 故以为直径的圆的方程为， 又因为，且， 所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即， 因为与圆相切，所以，所以，解得， 所以切线方程为或，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据向量的运算法则得到，根据共面得到，得到答案. 【详解】由，得， 即． 因为点在平面内，所以，得． 故答案为：. 13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围. 【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为， 且，， 当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角， 此时，； 当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得，分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：与直线：的交点为. （1）求点关于直线的对称点； （2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）先求直线的交点，然后通过条件得到直线的方程，进而确定的中点坐标，最后确定的坐标； （2）先根据条件得到点到的距离不超过，然后在取到该值的条件下得到的斜率，进而确定直线的方程. 【小问1详解】 联立方程 ,解得 所以两直线，的交点为. 设，则的中点为. 联立方程，解得 所以. 【小问2详解】 因为， 所以点到经过点的直线距离的最大值为. 由题意，与垂直，则，故的斜率为. 所以直线的方程为，即 所以当距离最大时，直线的方程为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）构建空间直角坐标系，然后根据空间向量求解直线与法向量的夹角的余弦值即可； 【小问1详解】 ∵、分别为，的中点，∴， ∵为正方形， ∴，则 ， ∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 由题知平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， ∴，，， 设平面ADNM的一个法向量为， 则 令，则，， ∴. 设直线与平面所成的角为， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 18. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【小问1详解】 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. 【小问2详解】 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）证明：向量是平面的法向量； （2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明； （2）设直线l的方向向量，由与两平面的法向量垂直列方程求解； （3）写出三个平面的法向量，求得与交线的方向向量，进而可求解. 【小问1详解】 取平面内的任意两点，， 则两式相减得，， 即，所以，从而， 故是平面的法向量. 【小问2详解】 记平面，的法向量为，， 设直线l的方向向量， 因为直线l为平面和平面的交线，所以，， 即，取，则， 所以直线l的单位方向向量为. 【小问3详解】 设， 由平面经过点，，， 所以，解得，即， 所以记平面、、的法向量为，，， 与（2）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得. 【点睛】关键点点睛：本题的关键，结合已知概念求出相关法向量，即可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥九中 命题教师：冯文华 审题教师：王伟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. 不存在 B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ） A. 0或-10 B. 0或-20 C. 15或-25 D. 0 4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 5. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ） A. 不确定 B. 2 C. D. 4 6. 在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ） A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时 8. 已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知直线：，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线过定点 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于 11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________． 13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________． 14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：与直线：的交点为. （1）求点关于直线的对称点； （2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 18. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）证明：向量是平面的法向量； （2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $