第四章三角恒等变换单元测试卷-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章三角恒等变换单元测试卷 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.已知,,则( ) A. B. C. D. 2.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛,参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具,原材料为如图所示的是边上一点,,要求分别把的内切圆,裁去,则裁去的圆的面积之和为( ) A. B. C. D. 3.已知,且,则的值为 A. B. C. D. 4.若是函数图象的一个对称中心,则的一个取值是 A.2 B.4 C.6 D.8 5.已知,则( ) A. B. C. D. 6.求值:( ) A. B. C.1 D. 二、多选题 7.在平面直角坐标系xOy中,角以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点,,定义,,则( ) A. B.的最大值为2 C. D. 8.下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.的最小正周期为 C.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D.函数的单调递减区间为 三、填空题 9.已知函数的图象在上有且仅有3条对称轴,则实数的取值范围为 . 10.已知,,则 . 11.已知,,,,则 . 12. . 四、解答题 13.已知向量,向量,设函数的图象关于直线对称,其中常数. (1)求函数的单调递减区间; (2)将函数的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数的图象,求出函数对称中心. 14.如图所示,某开发区有一块边长为的正方形空地.当地政府计划将它改造成一个体育公园,在半径为的扇形上放置健身器材,并在剩余区域中修建一个矩形运动球场,其中是弧上一点,分别在边上.设,球场的面积. (1)求的解析式; (2)若球场平均每平方米的造价为元,问:当角为多少时,球场的造价最低. 15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,. (1)求角C的大小; (2)已知,的面积为6,求的值. 16.在中,,边满足,求的值. 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C C B D ACD ABD 1.D 【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值,再利用齐次式可求答案. 【详解】因为,所以, 又,所以,所以, 即,解得或, 因为,所以, 所以. 故选:D 2.C 【分析】设,根据已知条件在中利用正弦定理及三角公式求出,分别在内用等面积法求出内切圆半径即可得解. 【详解】在,设, 则,, 所以, 在中,,由正弦定理得, 即,即, 化简得或,因为,所以(负值舍去),, 故为等边三角形,为等腰三角形,, 在中,设圆的半径为,根据等面积有, 即,化简得, 在中,设圆的半径为,根据等面积有, 即,化简得, 所以圆的面积之和为, 故选:C. 3.C 【分析】由平方得,利用角的象限判断出正弦余弦的正负,然后求得,利用二倍角余弦公式求得结果. 【详解】∵,∴,又∵, ∴,∴,∴,, . 故选:C. 4.C 【详解】, 所以,, 所以可能的一个取值是6,故选C. 5.B 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为,所以, 所以. 故选:B. 6.D 【分析】利用凑角及两角和的正弦公式,结合降幂公式及两角和的正弦公式的逆用,然后再利用二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】 , . 故选:D. 7.ACD 【分析】计算,,代入数据计算A正确,,B错误,计算得到,C正确,根据诱导公式得到D正确,得到答案. 【详解】, , 对选项A:,正确; 对选项B: ,错误; 对选项C:,正确; 对选项D:,正确. 故选:ACD 8.ABD 【分析】对于A选项,利用降幂公式求解即可;对于B选项,利用正切的二倍角公式即可;对于C选项,利用函数的平移变换即可;对于D选项,利用正弦型三角函数的单调性求解即可. 【详解】对于A,, ,故A正确; 对于B,, 最小正周期:,故B正确; 对于C,函数的图象向右平移个单位长度得到函数, ,故C错误; 对于D,函数, 令, 解得:, 故的单调递减区间为,D正确. 故选:ABD 9. 【分析】先利用辅助角公式化一,再根据正弦函数的对称性结合整体思想即可得出答案. 【详解】, 由,得, 因为函数的图象在上有且仅有3条对称轴, 所以,解得, 故实数的取值范围为. 故答案为:. 10. 【分析】将已知两式平方相加,结合两角差的余弦公式,即可求得答案. 【详解】因为,, 故, , 以上两式相加可得, 即, 故. 故答案为:. 11./ 【分析】由题先利用两角和正切公式求出,再利用的范围求出角即可. 【详解】因为,,,, 所以,因为,所以. 故答案为: 12. 【分析】根据两角差的正弦公式的逆用得出结果. 【详解】. 故答案为:. 13.(1) (2) 【分析】(1)先通过向量的数量积及降幂公式进行化简,利用关于直线对称,求出参数,再利用正弦函数的单调递减区间求解; (2)直接将函数进行平移得到,再按照正弦函数的对称中心求解. 【详解】(1)∵向量,向量, ∴. ∵图象关于直线对称,其中常数. ∴,得,结合,可得, ∴, ∵令,得, ∴的单调减区间为 . (2)将函数的图象向左平移个单位, 得. 再向下平移1个单位后得到函数. 令,则有, 对称中心为. 14.(1) (2),球场的造价最低 【分析】(1)如图,过点作的垂线,垂足为.由三角函数的定义表示出,进而表示出,即可求解; (2)令,则,由题意可得球场的造价为,结合基本不等式计算即可求解. 【详解】(1)过点作的垂线,垂足为. 由题意得:,, 所以,, 所以. (2)依题意得球场的造价, 令,因为,所以, 所以, 故, 因为,当且仅当时取等号,此时,球场的造价最低. 15.(1) (2) 【分析】(1)根据三角恒等变形,求角的值; (2)首先根据面积公式求,再根据余弦定理和正弦定理,即可求解的值. 【详解】(1) 即,则, 且,则;, (2),所以, 根据余弦定理可知,, 即, 根据正弦定理,,即,解得:. 16.. 【分析】方法一:由余弦定理及已知可得,再根据正弦定理的边角关系、三角形内角性质及差角正弦公式得,即可求. 【详解】[方法一]:【最优解】利用正、余弦定理边化角 因为,,所以,即, 所以,即. [方法二]:和差化积公式的应用 由得,,即,即 ,因为,所以,即,所以.. 【整体点评】方法一:利用正、余弦定理边化角,再根据消元思想即可解出,是该题的最优解; 方法二:利用和差化积公式转化求值,需要较强的运算能力. 学科网(北京)股份有限公司 $$