第三章指数运算与指数函数单元测试-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第三章指数运算与指数函数单元同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，不能化为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b满足，则下列各式中正确的是 A． B． C． D． 3．已知，若，且，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．1 4．设函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D． 6．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-2)等于(　　). A．-7 B．-3 C．7 D．3 二、多选题 7．下列能成为x＞2充分条件的是（　　） A． B． C． D． 8．在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数的图像恒过定点 . 10．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的实数，有， 则不等式的解集是 . 11．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝ ． 12．已知函数，则 . 四、解答题 13．已知函数. (1)证明：函数在区间上单调递增； (2)若时，记函数的最大值为，求. 14．已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)用单调性的定义证明：在R上是增函数． 15．求不等式且中的的取值范围. 16．已知函数为定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)，判断的单调性，并用单调性定义证明． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D C A BD AC 1．B 【解析】根据指数函数概念直接判断选择. 【详解】对于A，是指数函数； 对于B，不是指数函数； 对于C，是指数函数； 对于D，是指数函数． 故选：B. 2．D 【分析】先根据幂函数在上为增函数得到，再由指数函数在上为减函数得到，即可得出答案. 【详解】当时，幂函数在上为增函数， 所以当时有， 因为， 所以指数函数在上为减函数， 因此有 ， 所以有： 故选：D 【点睛】本题考查了学生对幂函数、指数函数的单调性，属于较易题. 3．B 【分析】由题目条件得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【详解】由题意得，故， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3. 故选：B 4．D 【解析】由条件利用函数的单调性的性质可得，解不等式组即可求解. 【详解】由函数是R上的单调递增函数， 可得，解得. 故实数a的取值范围为. 故选：D 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，注意增函数的定义，在分段函数单调性中，不仅各段单调递增，也要保证整体单调递增，属于基础题. 5．C 【分析】利用代换1法,结合均值不等式来求最小值. 【详解】由函数的图像恒过定点， 再由点在直线上，则， 而， 取等号条件是,此时， 故选：C. 6．A 【详解】为定义在上的奇函数，当时，为常数），，解得，，， ，故选A. 7．BD 【分析】根据绝对值不等式，指数不等式，分式不等式的解法以及充分，必要条件的定义对各个选项逐个化简求解即可判断． 【详解】解不等式，可得或，所以充分性不成立，故A错误； 解不等式，可得，是充分条件，故B正确； 由不等式可得：或，不是充分条件，故C错误； 由不等式可得：，，是充分条件，故D正确. 故选：BD． 8．AC 【分析】根据给定条件对a值进行分类讨论函数的单调性及0一侧的函数值，再结合图象与y轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当时，函数图象与y轴交点在点上方，排除B，C， 而，因此，在上递减，且x<0时，0<f(x)<1，D不满足，A满足； 当时，函数图象与y轴交点在原点上方，点下方，排除A，D， 而，因此，f(x)在上递增，且x>0时，0<f(x)<1，B不满足，C满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC 9． 【解析】根据，结合条件，即可求得答案. 【详解】 ，令，得，， 函数的图象恒过定点， 故答案为：. 10． 【分析】由题意可知，存在唯一实数，使得，则，可得出，利用函数单调性求出的值，令，分析函数的单调性，结合单调性可得出不等式的解集. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数，则存在唯一实数，使得， 又因为，则，则，所以，， 因为函数、均为上的增函数，所以，函数在上为增函数， 且，故，所以，， 因为函数在上为增函数， 设，其中，则函数在上为增函数，且， 当时，由可得，则， 当时，，，则恒成立， 所以，不等式的解集为. 故答案为：. 11．2 【分析】根据指数函数的图象所过定点求解． 【详解】由，得m＝2. 故答案为：2 12．/ 【分析】由得，再由，代入解析式得到答案. 【详解】，所以， 故答案为：. 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可， （2）先判断函数为偶函数，则结合（1）可得在区间上单调递减，然后根据偶函数图象的对称性和函数的单调性可求出的最大值 【详解】（1）任取，且，则 ， 因为，所以，， 所以， 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递增， （2）因为， 所以函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 所以当时，时函数取得最大值，即， 当时，时函数取得最大值，， 所以 14．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义结合指数幂运算分析证明； （2）先分类常数可得，再结合函数单调性的定义分析证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域是R，对任意的， 均有， 即，所以是奇函数． （2）因为， 设是R上的任意两个值，且， 则， 因为，且在R上是增函数，则， 可得，故， 即，故在R上是增函数． 15．当时，；当时， 【分析】分别在和两种情况下根据指数函数单调性得到一元二次不等式，解不等式求得结果. 【详解】①当时，由得：，解得：或 ②当时，由得：，解得： 综上所述，当时，；当时， 【点睛】本题考查指数型不等式的求解，关键是利用指数函数单调性将问题转化为一元二次不等式的求解，易错点是忽略的范围的讨论，从而无法确定指数函数的单调性. 16．(1) (2)函数在区间上是增函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数是奇函数，由在上恒成立求解； （2）由（1）得到，设，判断符号即可. 【详解】（1）解：∵函数为定义在上的奇函数， 在上恒成立， 在上恒成立， 恒成立， 则恒成立， 解得． （2）由（1）知， 则，是增函数． 下面用单调性的定义证明这个结论． 设，且，则， ， ， ， ， 所以在区间上是增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$