精品解析：四川省南充高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

南充高中2024—2025学年度上学期期中考试 高2024级数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分 命、审题人：刘佳弘、刘琳、帅文飞、朱云川、蒋敏） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，能够构成集合的是（ ） A. 南充高中高2024级个子较高的学生 B. 高中数学人教A版必修第一册中的难题 C. 关于的方程的所有实根 D. 无限接近于的所有实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得. 【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，其否定为：，； 故选：A 3. 关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：A. 4. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件定义可判断. 【详解】，若，则，故不能推出； 又若，则成立，故是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得. 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为. 对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误； 对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确； 对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误； 故选：C. 6. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称，得，可求得；根据是偶函数，得，代入解析式，可求得，从而求得的值. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得. 由，得，解得. 所以. 故选：. 7. “高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数表示为分段函数的形式，分段求值域即可. 【详解】当时，函数， 由.由， 所以函数的值域为 故选：B 8. 已知函数的定义域为，都有，且，都有，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用赋值法先分析的奇偶性，再根据条件得到的单调性，然后将函数值大小关系转化为自变量大小关系，从而可求结果. 【详解】因为，都有， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则， 又的定义域为关于原点对称，所以为偶函数； 因为，都有， 即，都有， 所以在上单调递减， 所以在上单调递减，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 由此解得或， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过，两类情况讨论即可求解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，由题意可知：或，解得或， 综上的值可以是-1，0，1， 故选：ABD 10. 已知函数，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在上单调递增 D. 当时，，则的最小值为，最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A和B，利用函数解析式，代入求解即可，选项C，利用分段函数、一次、二次函数的性质，即可求解；选项D，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则，得到，满足题意， 若，则，即， 又，所以无解，故选项B正确， 对于选项C，当时，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误， 对于选项D，的图象如图， 由，得到，由，得到，解得， 由，得到，由，得到，解得或， 又时，， 由图知，当，或，或，时，满足题意， 所以的最小值为，最大值为，故选项D正确， 故选：ABD. 11. 函数，则下列选项中正确的有（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 若，则函数是定义域上的增函数 C. 若，则函数的值域为 D. 若，则，不等式（是一个无限小的正实数）恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数的定义，以及解析式直接判断函数单调性，基本不等式求最值，和对勾函数的单调性逐个判断即可. 【详解】对于A：函数定义域为，且，所以为奇函数，A正确； 对于B：当，取可得：，显然在定义域上不是增函数，B错误； 对于C：，当时， 在时，，当切仅当时取等号，再结合函数为奇函数， 故函数的值域为，C正确； 对于D：，由对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，又，（是一个无限小的正实数）,所以， 所以恒成立，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 13. 把集合用列举法表示为________________. 【答案】 【解析】 【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解. 【详解】当取时，对应的值为， 所以. 故答案为：. 14. 已知正实数满足，则的最小值为________________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，即， 又是正实数，所以，当且仅当时取等号 得到，所以，当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求函数的定义域； （2）已知，求函数的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据分式函数与幂函数的定义域，可得解不等式组即可求得定义域. （2）考查换元法求解析式，令，则，，再代入运算即可求得解析式. 【详解】（1）由已知得解得且， 函数的定义域为. （2）由已知，令，则，， ， . 16. 已知集合，. （1）若，求; （2）若，求实数的取值集合. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解化简集合,即可根据集合的交集和补集的定义求解， （2）根据，即可分类讨论求解. 【小问1详解】 若，则 或， 或 【小问2详解】 若，则 当时，有，即 当时，，解得 实数的取值集合是 17. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. （1）求函数的解析式； （2）记函数，求的最大值及相应的的值. 【答案】（1） （2）时，有最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意分、和三种情况，结合题意运算求解即可； （2）由（1）可得的解析式，分、和三种情况，结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 设直线与轴交于点，与线段或交于点， 由已知有，，， 当时，； 当时，； 当时，； 所以. 【小问2详解】 由（1）可得. 当时，； 当时，，当且仅当，即时取等号， 此时； 当时，； 综上所述：当时，有最大值为 18. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对任意的都成立，即可分类讨论求解， （2）根据，即可分类讨论求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，则不等式的解集为 当时， 若时，的解集为，符合题意， 若，的解集不是，不符合题意， 当时，则，解得或 实数的取值范围是 【小问2详解】 函数的值域为，令，记的取值范围为集合 则 当时， 若，，不合题意 若，，满足题意 当时，则，解得 实数的取值范围是 19. 已知函数的定义域为，都有，当时，. （1）求的值并证明； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，且，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 有 令得，所以 令得，即，所以 （2） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且，则， 函数在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）用赋值法即可求的值，观察得到，借用的结论即可证明； （2）根据单调性的定义证明即可，注意利用题目所给条件； （3）依题意在恒成立，由（2）的单调性及（1）中的结论，可求出的最小值，进而题目转化为在闭区间上的恒成立问题，变更主元后结合函数图象求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式即恒成立 则， 由（2）知函数在上单调第增，所以 由得， 恒成立 即恒成立 令，则函数的图象是一条线段， ， 解得或或， 实数的取值范围是 【点睛】方法点睛： 方法一：由题意可知，该抽象函数对应的是对数函数模型，借用对数函数模型即可证明求解； 方法二：抽象函数求值一般利用赋值法；单调性、奇偶性的证明一般利用定义证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中2024—2025学年度上学期期中考试 高2024级数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分 命、审题人：刘佳弘、刘琳、帅文飞、朱云川、蒋敏） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，能够构成集合的是（ ） A. 南充高中高2024级个子较高的学生 B. 高中数学人教A版必修第一册中的难题 C. 关于的方程的所有实根 D. 无限接近于的所有实数 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 不确定 7. “高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，都有，且，都有，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在上单调递增 D. 当时，，则的最小值为，最大值为 11. 函数，则下列选项中正确的有（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 若，则函数是定义域上的增函数 C. 若，则函数的值域为 D. 若，则，不等式（是一个无限小的正实数）恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为________________. 13. 把集合用列举法表示为________________. 14. 已知正实数满足，则的最小值为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求函数的定义域； （2）已知，求函数的解析式. 16. 已知集合，. （1）若，求; （2）若，求实数的取值集合. 17. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. （1）求函数的解析式； （2）记函数，求的最大值及相应的的值. 18. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，都有，当时，. （1）求的值并证明； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，且，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $