精品解析：江苏省扬州市邗江区北片2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

江苏省邗江中学（集团）北区校维扬中学2024-2025学年度 第一学期九年级数学学科期中考试试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”来进行求解即可． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选B． 2. 有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子可能出现11种结果，是次品的有2种可能， ∴次品的概率是， 故选：C． 3. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，．则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，，，， ， ∴射击成绩最稳定的是甲， 故选：A． 4. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，熟记配方法的一般步骤是解此题的关键． 5. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 6. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，列式，即可作答． 【详解】解：设平均每月降价的百分率为， 根据题意有：， 故选：C 7. 如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：，． 10. 某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如表：若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5、3、2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是_______． 演讲内容 演讲能力 演讲效果 分数 90 80 85 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．利用加权平均数的计算方法解题即可． 【详解】解：（分） ∴小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是86分． 故答案为：． 11. 在一个透明的盒子里装有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸出红球的概率是0.2，则值为__________ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可． 【详解】解：∵摸到红球的概率为 ∴ 解得．经检验，是原方程的解． 故答案为：8． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用阴影部分的面积除以整个大正方形的面积即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则整个大正方形的面积为， 阴影部分的面积为， 所以这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求几何概率，正确求出阴影部分的面积是解题关键． 14. 用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．先求出扇形的弧长，然后再根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径即可． 【详解】解：∵扇形的半径为，面积为， ∴扇形的弧长为：， ∴圆锥的底面半径， 故答案为：15． 15. 如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆O相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 17. 如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，当的面积是？，长为多少______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，设运动时间为秒，由题意得：，，则，根据题意列出一元二次方程，解方程得出，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设运动时间为秒， ∵（秒）， ∴， 如图，连接， ， 由题意得：，， ∴， ∵的面积是，， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，根据题意找出，当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 连接，利用直径定理得出直角，确定，得出当点在同一条直线上时，的值最小，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， 当点在同一条直线上时，的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 20. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生： （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好?请给出一条理由． 【答案】（1）8，9 （2）八 （3） 解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好 理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，6，6，7，8，8，8，9，11，12，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为； 九年级10名学生每周锻炼9小时的最多有4人，所以众数， 故答案为：8，9； 【小问2详解】 解：A同学平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生； 故答案为：八； 【小问3详解】 略 21. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有小明和小华两名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中随机选购1种． （1）小明恰好选购宫灯的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或B的概率. （1）根据概率计算公式，计算出所求的概率． （2）利用画树状图或列表，结合概率计算公式，计算出所求的概率． 【小问1详解】 解：∵从宫灯、纱灯、吊灯中随机选购1种， ∴小明恰好选购宫灯的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：分别用字母A，B，C表示宫灯、纱灯、吊灯， 方法一：画树状图如图所示： 共有9种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的结果只有3种， 所以，小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的概率为． 方法二：列表如图所示： 第1次摸球 第2次摸球 A B C A B C 共有9种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的结果只有3种， 所以，小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的概率为． 22. 已知关于的方程． （1）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），方程的另一根为 （2） 证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k，然后解这个方程即可； （2）根据进行判断； 【小问1详解】 解：把代入方程，得， 解得， 此时方程可化为， 解得，． 方程的另一根为； 【小问2详解】 略 23. 已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 24. 水果店小华以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出100斤，为保证每天至少售出260斤，小华决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤？（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，小华需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）； （2）小华需将每斤的售价降低元或元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低元，每天可多售出斤”结合售价为4元时每天销售100斤，即可得出售价降低元时的每天销售量； （2）根据“盈利总金额每斤利润每天销量”结合（1）的结论，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，售价每降低元，每天可多售出斤，即售价每降低元，每天可多售出斤， ∴售价降低元时，每天销售量为：； 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得：， 解得：，， 答：销售这种水果要想每天盈利元，小华需将每斤的售价降低元或元． 25. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 26. 尺规作图：如图，已知等边和直线．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） （2）在图（2）中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 【答案】（1）如图，点P即为所求； （2）如图，点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，，根据圆周角为圆心角的一半，即可得． （2）分别作线段和线段的垂直平分线，交于点，以交点为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得． 【小问1详解】 解：以为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，，如图： ∵为等边三角形， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：分别作线段和线段的垂直平分线，交于点，以交点为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，； ∵为等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查垂直平分线和圆的作图，圆周角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标________； （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②若以点M为圆心，r为半径的与x轴、y轴都相切，则半径r等于________； ③直线：与x轴交于点A，直线过点，且直线与直线相交于点，若由①得到的点M在的内部，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②1；③ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根组成的点的坐标问题．正确的解出一元二次方程，理解衍生点的定义是解题的关键． （1）求出方程的两个根，根据衍生点的定义，求出M的坐标即可； （2）①解出方程的根，写出衍生点的坐标即可；②以点M为圆心，r为半径的与x轴、y轴都相切，则，解得，即可求出答案；③根据衍生点M在的内部，M点的横坐标在A、B之间，纵坐标在两条直线下方，x轴上方，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：①， ， 解得：或， ∵， ∴； ②∵以点M为圆心，r为半径的与x轴、y轴都相切， ∴点M到x轴和y轴的距离相等，且此距离即为半径， ∴， 解得， ∴半径r等于， 故答案为：1 ③解：， 当时，，解得：， ∴ 设：，则： ， 解得：， ∴， 如图：∵在的内部， 当时，即时：，解得： ， ∴ ； 当时：即时：，解得：， ∴， 综上：当时，在△ABC的内部． 28. 定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； （3）如图3，有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是______（只填序号）； 【深入研究】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点、，点C是y轴正半轴上的一个动点，当时，求的最小覆盖圆的半径以及点C的坐标． 【生活应用】 （5）某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为_______． 【答案】（1）；（2）；（3）①②③；（4），点C的坐标是；（5） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由勾股定理，得正方形的对角线长为，即可求出答案； （2）边长为的两个正方形并列在一起得矩形，由勾股定理，得矩形的对角线长为，据此即可得到答案； （3）根据题意可知识；①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆； （4）求出点N的坐标是，点M的坐标是，则，即，得到则，即可求出答案； （5）作直径，连，中，，，得到，即，则，即四边形的最小覆盖圆半径为． 【详解】解（）∵正方形的边长为， ∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （）∵边长为的两个正方形并列在一起得矩形，由勾股定理，得矩形的对角线长为， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （3）有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是①②③， 故答案为：①②③ （4）设圆心为点M，连接 过点M作于点N，于点D， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴点N的坐标是，点M的坐标是， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴点C的坐标是 （5）解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖， ∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆， 作直径，连，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴，即， ∴ ∴四边形的最小覆盖圆半径为． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省邗江中学（集团）北区校维扬中学2024-2025学年度 第一学期九年级数学学科期中考试试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，．则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 6. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 方程的解为_______． 10. 某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如表：若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5、3、2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是_______． 演讲内容 演讲能力 演讲效果 分数 90 80 85 11. 在一个透明的盒子里装有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸出红球的概率是0.2，则值为__________ ． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 13. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____． 14. 用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为______． 15. 如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为___________ ． 16. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 17. 如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，当的面积是？，长为多少______． 18. 如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值___________ 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生： （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好?请给出一条理由． 21. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有小明和小华两名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中随机选购1种． （1）小明恰好选购宫灯的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小华两名同学恰好选购同一种彩灯的概率． 22. 已知关于的方程． （1）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 23. 已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，求的大小． 24. 水果店小华以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出100斤，为保证每天至少售出260斤，小华决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤？（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，小华需将每斤的售价降低多少元？ 25. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 26. 尺规作图：如图，已知等边和直线．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） （2）在图（2）中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 27. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标________； （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②若以点M为圆心，r为半径的与x轴、y轴都相切，则半径r等于________； ③直线：与x轴交于点A，直线过点，且直线与直线相交于点，若由①得到的点M在的内部，求m的取值范围． 28. 定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； （3）如图3，有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是______（只填序号）； 【深入研究】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点、，点C是y轴正半轴上的一个动点，当时，求的最小覆盖圆的半径以及点C的坐标． 【生活应用】 （5）某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $