精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

2024-2025年度河南省高三期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集和补集的知识求得正确答案. 【详解】. 故选：B 2. 已知为实数，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将化成，再根据复数为实数的条件求解即可 【详解】因为为实数， 则，∴ 故选：B. 3. 命题“若，则”的否定是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在一个实数，满足，但 D. 对任意实数，满足，但 【答案】C 【解析】 【分析】求出给定命题的否定即可得解. 【详解】命题“若，则”的否定是存在一个实数，满足，但. 故选：C 4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A． 考点：函数图像的特征． 5. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）（，）． A. 4.5m B. 4.0m C. 3.5m D. 3.0m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，构造三角函数模型，求得三角函数解析式，进而求解问题即可. 【详解】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系： 根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：； 因为筒转动的角速度为，故； 又；，解得，则； 又当时，，则，，则； 故当时，. 故选：B. 6. 数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 7或8 D. 6或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，判断其单调性及值的正负即可得解. 【详解】由，得当时，数列递减，当时，数列递增， 由，得，因此，当时，， 所以当该数列的前项和取得最小值时，的值为6或7. 故选：D 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，借助基本不等式比较大小. 【详解】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 8. 若直线通过点，则下列结论错误的是（ ） A. 当且时，存在唯一的值，使得 B. 当且时，存在两个值，使得 C. 当且时，无最大值 D. 当时，存在无数个值，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得点的轨迹，再结合直线与圆或圆弧的位置关系逐项分析判断. 【详解】当时，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 对于A，当时，直线，点到直线的距离， 直线与圆相切，因此值存在且唯一，A正确； 对于B，当时，直线，点到直线的距离， 直线与圆相交，因此值有两个，B正确； 对于C，当且时，，函数在上单调递增， 函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 当且仅当时，函数取最大值，因此有最大值，C错误； 对于D，由选项C知，当，时，，使得的所有角均有，即； 当，时，，令，取点， 直线的斜率，而每个点，存在唯一点， 因此存在无数个值，使得，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解析本题的关键是确定出点的轨迹，利用直线与圆的位置关系求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于，的方程，下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 若，，则该方程表示两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，， 方程表示椭圆，其焦点在轴上，A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，B错误； 对于C，当时，，， 方程表示椭圆，其焦点在轴上，C正确； 对于D，，，方程表示两条直线，D正确. 故选：ACD 10. 记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若的图象关于直线对称，则 C. “”是“为等边三角形”的充要条件 D. “”是“为等边三角形”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】化函数为分段函数，求出最小值判断A；求出对称轴判断B；利用充分条件、必要条件的定义判断CD 【详解】对于A，当时，，当或时，取最小值0，A错误； 对于B，当时，图象的对称轴为，不符合题意； 当时，图象对称轴，不符合题意； 当时，图象对称轴，由，得，B正确； 对于CD，为等边三角形，则，； 取，，此时，而是不是等边三角形， 所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件，C错误，D正确. 故选：BD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象只有一条公切线 B. 函数的图象上任一点关于直线的对称点都在函数的图象上 C. 当时，恒成立 D. 函数的图象与函数的图象和直线分别交于，两点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先设直线与两曲线相切于，两点，结合导数的几何意义可得，进而构造函数，结合导数分析方程的根的情况，进而判断；对于B，结合反函数的性质即可判断；对于C，转化问题为判断，构造函数，进而利用导数分析判断即可；对于D，设，，可得，设，进而利用导数求解判断即可. 【详解】对于A，设直线与函数的图象相切于点， 与的图象相切于点，， 因为，，所以，， 则，消去得，， 令，则， 设，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，且时，， 所以存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，， 所以方程有两个不相等的实数根， 则函数的图象与函数的图象有两条公切线，故A错误； 对于B，函数与函数互为反函数，图象关于直线对称， 所以函数的图象上任一点关于直线的对称点都在函数的图象上，故B正确； 对于C，由，得， 由于，则， 设，，则， 因为函数和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，由，， 设，，其中，且， 所以，设， 则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于结合导数的几何意义可得，进而构造函数，结合导数分析方程的根的情况，进而判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先需要求出向量和的坐标，然后根据向量夹角余弦值公式来计算. 【详解】已知，，则. 已知，，则. . ，. . 故答案为：. 13. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得． 【详解】直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，）， l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，）， ∵A（a，0）， ∴=（﹣，），=（，﹣）， ∵， ∴﹣=， ∴b=2a， ∴c2﹣a2=4a2， ∴e2==5，∴e=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用． 14. 某工厂去年12月试产1050个某款电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的若干年中将正式生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么从正式生产这款产品算起，在第__________个月，月不合格品的数量达到最大. 【答案】5或6 【解析】 【分析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． 【详解】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，． 由题意，知， ，其中，2，…，24， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 由通项公式列表， n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减， 由，得． 所以，当时，单调递减． 所以在第5或6个月，月不合格品的数量达到最大， 故答案为：5或6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的值； （2）若，当取得最大值时，求的面积. 【答案】（1）3； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用差角的正切，结合基本不等式求出得，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得 ， 因此， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，当且仅当时取等号， 因此当，，即时，取得最大值， 此时，由，得，所以的面积. 16. 已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且. （1）求的解析式； （2）求（1）中的在上的极值. 【答案】（1）； （2）当，没有极大值，也没有极小值；当，有极小值为，没有极大值. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得答案； （2）利用导数判断出的单调性，分、讨论，结合单调性可得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又因为，所以 ， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由题可得， 当时，在上单调递减， 所以没有极大值，也没有极小值； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以在时有极小值，为，没有极大值. 综上所述，当，没有极大值，也没有极小值； 当，有极小值为，没有极大值. 17. 已知数列是等差数列，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，证明：中的任意不同的三项均不能成等比数列. 【答案】（1） （2）证明：设等差数列的公差为，，， 则，解得， 所以， 假设存在，且两两不相等，使得， 所以， ， ， 由于两两不相等，上式两边不同时为，且是整数， 是无理数，两边不相等，所以假设不成立， 所以中的任意不同的三项均不能成等比数列. 【解析】 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）先求得，然后利用反证法，先假设存在，然后推出矛盾，从而证得结论成立. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，，， 依题意，解得， 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知函数，. （1）求的单调区间与极值. （2）当且时，证明：. （3）设函数，若和的图象有两个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）递减区间，递增区间，极小值为；无极大值 （2）证明：设，对求导得, 由（1）知 ， 所以在上单调递增，，即； （3） 【解析】 【分析】（1）求函数单调区间与极值，需要用到导数知识，导数大于零的区间为单调增区间，导数小于零的区间为单调减区间，导数为零的点可能为极值点； （2）可构造函数，通过研究其单调性来证明不等式； （3）函数图象有两个交点，可转化为方程有两个解，通过参变分离，研究函数的单调性和极值等情况来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 首先对求导，得， 令，即，解方程，得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 那么在处取得极小值， 故函数的单调减区间为，单调增区间为，函数极小值为，无极大值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，和的图象有两个交点， 所以方程有两个解， 整理得 ， 当时，，显然无解. 当，参变分离，即. 设，导数. 令，即，因为，，所以，解得或. 当时，，，函数单调递增. 当时，，，函数单调递减. 当时，，，函数单调递减. 当时，，，函数单调递增. 当时，. 当时，. 当时，；当时，； 当时，； 当时，且. 因为函数与直线有两个交点. 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明. 19. 已知平面内的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. （1）求点到线段的距离； （2）设是长度为2的线段，求点的集合所表示的图形面积； （3）求出到两条线段，距离相等的点的集合，其中，，，，. 【答案】（1） （2） （3）， . 【解析】 【分析】（1）涉及两点间距离公式，通过设线段上的点的坐标，根据距离公式表示出的长度，再根据二次函数的性质求最小值. （2）需要根据点到线段的距离定义，分不同情况讨论点的位置，从而确定集合所表示的图形，再求其面积. （3）根据点到线段距离相等的条件,求出满足条件的点的集合. 【小问1详解】 设是线段上一点，则 ，当时，. 【小问2详解】 设线段的端点分别为，不妨取，点集由如下曲线围成， 其面积为. 【小问3详解】 根据题意，可得线段AB,CB的方程分别为 设，根据定义： 若，则不可能成立，若，则恒成立，此时； 若，只有时符合题意，此时； 若，只有时符合题意，此时； 若，只有时符合题意，此时； 综上， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度河南省高三期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，则实数等于（ ） A. B. C. D. 3. 命题“若，则”的否定是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在一个实数，满足，但 D. 对任意实数，满足，但 4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是 A. B. C. D. 5. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）（，）． A. 4.5m B. 4.0m C. 3.5m D. 3.0m 6. 数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 7或8 D. 6或7 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线通过点，则下列结论错误的是（ ） A. 当且时，存在唯一的值，使得 B. 当且时，存在两个值，使得 C. 当且时，无最大值 D. 当时，存在无数个值，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于，的方程，下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 若，，则该方程表示两条直线 10. 记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 若的图象关于直线对称，则 C. “”是“为等边三角形”的充要条件 D. “”是“为等边三角形”的必要不充分条件 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象只有一条公切线 B. 函数的图象上任一点关于直线的对称点都在函数的图象上 C. 当时，恒成立 D. 函数的图象与函数的图象和直线分别交于，两点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，则____________. 13. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是______． 14. 某工厂去年12月试产1050个某款电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的若干年中将正式生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么从正式生产这款产品算起，在第__________个月，月不合格品的数量达到最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的值； （2）若，当取得最大值时，求的面积. 16. 已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且. （1）求的解析式； （2）求（1）中的在上的极值. 17. 已知数列是等差数列，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，证明：中的任意不同的三项均不能成等比数列. 18. 已知函数，. （1）求的单调区间与极值. （2）当且时，证明：. （3）设函数，若和的图象有两个交点，求实数的取值范围. 19. 已知平面内的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. （1）求点到线段的距离； （2）设是长度为2的线段，求点的集合所表示的图形面积； （3）求出到两条线段，距离相等的点的集合，其中，，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $