精品解析：山西省阳泉市平定县2024－2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

平定县2024-2025学年第一学期九年级期中考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，可配方得（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 抛物线与y轴交点的坐标是 6. 根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3=0有一个根的近似值（精确到0.1）是（　　） x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x﹣3 ﹣0.36 ﹣0.01 0.36 0.75 A. 1.5 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 7. 我县某校为增强学生的身体素质，特在全校开展“青春杯”足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为6，点E在边上，点F在的延长线上，且，四边形是矩形，则矩形的面积y与的长x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，是经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ） A. 绕点逆时针旋转，再向下平移1个单位 B. 绕点顺时针旋转，再向下平移1个单位 C. 绕点逆时针旋转，再向下平移3个单位 D. 绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位 10. 如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 13. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第___象限． 14. 为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 _____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点都在坐标轴上，对角线的交点为坐标原点，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，若点F的对应点为，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 18. 如图，设计修建一个矩形花坛，已知花坛长150米，宽80米．设计在花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等且为x米． （1）用含x的式子表示横向通道的面积； （2）当三条通道的面积是矩形面积的八分之一时，求通道的宽． 19. 阅读理解，并解决问题： 在数学活动课上，陶老师给出了这样一道题：“解方程：．”如下是小明和小亮两位同学的做法． 小明： 解： 两边同时除以，得， 解，得． 小亮： 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解，得，． 任务一：小亮解方程的方法为______； 任务二：小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程； 任务三：你认为你的解法体现的数学思想是______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴的一个交点为C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求出直线的函数解析式． 21. 月饼是久负盛名的中国传统糕点之一，宋代大诗人苏东坡有诗句“小饼如嚼月，中有酥和饴”赞美月饼.为满足市场需求，某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元.超市规定每盒售价不低于45元且不超过58元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒. (1)试求出每天的销售量(盒)与每盒售价(元)之间的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润(元)最大？最大利润是多少？ 22. 某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75 米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？ 请结合图象，直接写出m的取值范围． 23. 综合与探究 在中，，的角度记为． （1）操作与证明；如图①，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．求证：； （2）探究与发现：如图②，若，点D变为延长线上一动点，连接将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．可以发现：线段和的数量关系是 ； （3）判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平定县2024-2025学年第一学期九年级期中考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围是解题的关键；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程时，可配方得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 抛物线与y轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，找到函数的开口方向、对称轴、与轴交点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：中， ∵， ∴抛物线开口向上，故选项A说法错误，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B说法错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标是，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3=0有一个根的近似值（精确到0.1）是（　　） x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x﹣3 ﹣0.36 ﹣0.01 0.36 0.75 A. 1.5 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 【答案】C 【解析】 【详解】解：由表格可得：当x的值是1.3时，x2+x﹣3的值与0最接近． 因而方程的近似解是1.3． 故选C． 7. 我县某校为增强学生的身体素质，特在全校开展“青春杯”足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设应邀参加的足球队有个，则比赛场次为，由此即可求出答案． 【详解】解：设应邀参加的足球队有个， 根据题意，可列方程为． 故选：D． 8. 如图，正方形的边长为6，点E在边上，点F在的延长线上，且，四边形是矩形，则矩形的面积y与的长x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 由已知图形可以分析得到矩形的长为，宽为，由面积公式即可计算得到正确答案． 【详解】解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为，宽的长为 ∴矩形的面积为： 故选A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，是经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ） A. 绕点逆时针旋转，再向下平移1个单位 B. 绕点顺时针旋转，再向下平移1个单位 C. 绕点逆时针旋转，再向下平移3个单位 D. 绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，坐标与图形变化—平移，掌握旋转和平移的性质是解题关键．根据旋转和平移的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据图形可以看出，绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位可以得到． 故选：D． 10. 如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可． 【详解】解：根据题意，得， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故抛物线解析式为， 故 ， 故顶点坐标为， 故最大高度为， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b， 把A（0，3）代入，得 3=-1+b， 解得b=4， 则该函数解析式为y=x2+2x+3． 故答案为：y=x2+2x+3 13. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第___象限． 【答案】四 【解析】 【详解】解：根据图象，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0． 因此，由于函数y=bx+c的，，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：四 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系：对于，函数，①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 14. 为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 _____． 【答案】20% 【解析】 【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ∴x的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点都在坐标轴上，对角线的交点为坐标原点，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，若点F的对应点为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，旋转的性质，找到旋转规律是本题解题的关键．先求出，得出点F的坐标，根据旋转的性质即可得出答案． 【详解】解：∵点， ∴， ∴在正方形中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点F的坐标为， ∵菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，点F的对应点为， ∴坐标为， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用公式法直接求出方程的解即可； （2）先移项整理，再提取公因式得出，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 原方程可化为， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 ∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 18. 如图，设计修建一个矩形花坛，已知花坛长150米，宽80米．设计在花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等且为x米． （1）用含x的式子表示横向通道的面积； （2）当三条通道的面积是矩形面积的八分之一时，求通道的宽． 【答案】（1） （2）通道的宽是5米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据横向通道的面积等于矩形长乘以通道宽计算即可； （2）根据题意得出甬道总面积为各通道面积之和，即可根据当三条通道的面积是矩形面积的八分之一列方程求解即可． 【小问1详解】 解：横向通道的面积为：； 【小问2详解】 解：横向通道的面积为：， 通道总面积为， 依题意：， 整理得：， ，（不符合题意，舍去）， ∴通道的宽为5米． 19. 阅读理解，并解决问题： 在数学活动课上，陶老师给出了这样一道题：“解方程：．”如下是小明和小亮两位同学的做法． 小明： 解： 两边同时除以，得， 解，得． 小亮： 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解，得，． 任务一：小亮解方程的方法为______； 任务二：小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程； 任务三：你认为你的解法体现的数学思想是______． 【答案】任务一：因式分解法； 任务二：小明与小亮的解法均不正确， 正确的解法为：解：， 移项，得， 提取公因式，得，则，或， 解，得，． 任务三：转化思想 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：任务一：因式分解法； 任务二： 略 任务三：转化思想 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴的一个交点为C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求出直线的函数解析式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式． （1）利用二次函数的性质求解即可； （2）利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，． ∴点B的坐标是． 当时，即． 解得，． ∵点C在对称轴的右侧， ∴点C的坐标是． ∵， ∴顶点A的坐标是； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 将点，的坐标代入，得， 解，得， ∴直线的函数解析式是． 21. 月饼是久负盛名的中国传统糕点之一，宋代大诗人苏东坡有诗句“小饼如嚼月，中有酥和饴”赞美月饼.为满足市场需求，某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元.超市规定每盒售价不低于45元且不超过58元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒. (1)试求出每天的销售量(盒)与每盒售价(元)之间的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润(元)最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)每盒售价定为58元时，每天销售的利润(元)最大，最大利润是7920元. 【解析】 【分析】（1）根据每天的销售量=700-超过45元的部分×20，即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据每盒利润×每天的销售量=每天的利润，即可找出P关于x的二次函数关系式，利用配方法将其变形为顶点式，利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：(1)由题意，得：； (2) ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，(元)； 答：当每盒售价定为58元时，每天销售的利润(元)最大，最大利润是7920元. 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是正确找出等量关系，列出关系式. 22. 某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75 米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？ 请结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：能，理由如下： ， 抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时的高度为米， ， 绳子能顺利从他头顶越过； （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）利用待定系数法，把，代入，求出、的值，即可得到该抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； （3）令，求出的值，即为m的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可知，、、、、， 把，代入得， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 23. 综合与探究 在中，，的角度记为． （1）操作与证明；如图①，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．求证：； （2）探究与发现：如图②，若，点D变为延长线上一动点，连接将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．可以发现：线段和的数量关系是 ； （3）判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点A逆时针旋转角度至位置，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 结论：． 理由：∵， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的证明是解题的关键． （1）由旋转的性质得，从而证明，即可得到结论； （2）同第（1）小题的方法，证明，即可得到结论； （3）由（2）可得，从而得，进而即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结论：． 理由：∵， 由旋转可知：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $