精品解析：河南省南阳市方城县2024-2025学年上学期期中质量评估九年级数学试卷

2024年秋期期中九年级阶段性调研 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 等式成立的条件是(　 ) A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：． 故选：A． 2. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先计算出原式等于 ，可得，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， 的值应在7和8之间， 故选：B． 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、∵， ∴，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意得，，证明，，则，，可求，，则，，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 6. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定，先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 7. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 9. 如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 32 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵点E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，且． 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理：，， 又∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴四边形的面积， 即四边形的面积是12． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形的含义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 10. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 13. 如图，，则______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：6． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 15. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作， 正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 三、解答题（本题含8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式乘除法，再根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （3）先把原方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 18. 如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 19. 已知的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． （2）若，求的周长． 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，即方程的，代入即可求出m的值，然后代入原方程求解,即可得出结论； （2）将代入原方程求出m，代入解方程求出方程的解，然后求周长即可． 【小问1详解】 ∵四边形是菱形, ∴． ∵的长是关于的方程的两个实数根, ∴, 解得, ∴当时,四边形是菱形． 将代入原方程,得, 整理得,解得, ∴菱形的边长为． 【小问2详解】 把代入原方程得, 解得． 将代入原方程,得, 解得,, ∴, ∴的周长． 【点睛】此题考查了菱形和平行四边形的性质；一元二次方程根的判别式，利用解一元二次方程得到菱形的边长是解决本题的关键． 20. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据，即可得到，结合相似三角形的判定即可得到证明； （2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 21. 某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． （1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：．” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； （2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 【答案】（1） 解：嘉嘉的说法不正确，理由如下： ， 解得：， 元， ∵15元16元， ∴亏本， ∴小宇的说法不正确． （2） ①两人的说法都正确，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴降价元或元都能达到期望目标， ∴两人的说法都正确； ②由于增加销售量可以减少库存， ∴应采取王经理的意见． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程中的销售问题， 一元二次方程的应用，掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键． （1）根据已知的方程可求出具体降价金额， 从而可求出售价， 将售价与进价比较即可求解； （2）①根据题意列出方程，整理得到，求解即可得出结论； ②从增加销售量可以减少库存，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 22. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 【小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 23. 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）观察发现：如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”（即，），，，则______，______； （2）实践探究：如图2，若四边形为“垂中平行四边形”（即，），且，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，在中，，，交于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上．（温馨提示：不限作图工具） 合作探究：同学们通过合作探究，画出了两种情况的图形，如图，所示．但是，老师告诉同学们，还有一种情况，请同学们在图3的基础上画出第三种情况的图形． ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2） ，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3） ①画出第三种情况的图形如图所示： ②或 【解析】 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①作的平行线，使，连接，延长交于点； ②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得；第三种情况无交点，不符合题意． 【小问1详解】 解：∵在中，为的中点，，，， ，， ， 即， 解得， ， ； 故答案为：1；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②第一种情况：如图所示： 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ,， ， ，即 ∴； 第二种情况：如图所示： 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ， 即， ， 第三种情况：则没有交点，不存在PE（不符合题意） 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期中九年级阶段性调研 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 等式成立的条件是(　 ) A. B. 且 C. D. 2. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 6. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 32 D. 12 10. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 13. 如图，，则______ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 15. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 三、解答题（本题含8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） 18. 如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 19. 已知的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． （2）若，求的周长． 20. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 21. 某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． （1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：．” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； （2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 22. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 23. 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）观察发现：如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”（即，），，，则______，______； （2）实践探究：如图2，若四边形为“垂中平行四边形”（即，），且，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，在中，，，交于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上．（温馨提示：不限作图工具） 合作探究：同学们通过合作探究，画出了两种情况的图形，如图，所示．但是，老师告诉同学们，还有一种情况，请同学们在图3的基础上画出第三种情况的图形． ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $