精品解析：山东省临沂市沂南县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度上学期期中教学质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 4. 已知的半径为3，，则点和的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有 ①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴， ∴点在圆外， 故选B 5. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 故选：D 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 7. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 方程有相等的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据题意得，然后解关于c的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为： 13. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___． 【答案】-4 【解析】 【分析】由表格可知，（0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（-1，-4）即可． 【详解】观察表格可知，当x=0或2时，y=-2， 根据二次函数图象的对称性， （0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点， 对称轴为x==1，顶点（1，-2）， 根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4． 故答案为：-4 15. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于________． 【答案】##85度 【解析】 【分析】本题考查了几何—旋转问题．解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．根据旋转可得，再结合旋转角以及三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴， 把代入， 解得， 两壁灯之间的距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第__________步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）， （2）①二；②解答过程见解析 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）①时，两边除以无意义，据此可判断求解；②把右式移到左边，利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：①上面的运算过程第二步出现了错误， 故答案为：二； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称的； （2）请画出绕C点顺时针旋转的； （3）可以通过旋转得到，写出旋转中心坐标______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握中心对称性质，旋转性质，是解题的关键． （1）关于原点对称的点为，首尾顺次连接即得； （2）绕C点顺时针旋转得，与点C首尾顺次连接即得； （3）可以绕点逆时针旋转得到． 【小问1详解】 解：（1）如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 是绕点逆时针旋转得到． 故答案为：． 19. 已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． （1）求这个二次函数解析式和它的图象的顶点坐标； （2）求该二次函数在范围内的最大值与最小值； （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）最大值为10，最小值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用抛物线图象求不等式解集．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出当时， 当时，求出y值，再将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线的最小值，由抛物线的性质可求解． （3）利用图象法，根据抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上，数形结合即可求不等式的解． 【小问1详解】 解：把和代入，得 ，解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， 当时， ， 当时， ， ∴，抛物线对轴为直线， ∴抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值，当时，y随x增大 而减小，当时，y随x增大 而增大， ∴当时，最大值为10，最小值为． 【小问3详解】 解：由图可知，抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上， ∴不等式的解集或． 20. 已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点，为上的一点，连接． （1）若，连，求的度数； （2）若为中点，求证：直线是的切线． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）由切线的性质可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （）连接，由圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，即得，又由得，进而可得，据此即可求证． 【小问1详解】 解：∵是的直径，是的切线，是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 22. 某校九年级数学学习小组在探究学习的过程中，用两块完全相同的且含角（）的直角三角板与按图①所示的方式放置．现将绕直角顶点按逆时针方向旋转，如图②，与交于点，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）当旋转角时，四边形是什么样的特殊四边形？说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，难度较低． （1）利用证明即可得证； （2）当旋转角时，可证明，，得到四边形为平行四边形，又，从而四边形为菱形． 【小问1详解】 解：由旋转可知， 又由已知可得，， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 四边形是菱形，理由如下： 当旋转角时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 则，， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 23. 小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点的坐标为，球在最高点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）已知某市男子实心球的得分标准如表： 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远（米） 8.5 8.3 8 7.7 7.3 6.9 6.5 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8 4.4 4.0 3.5 3.0 假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分； （3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有插有一根高1.2米的标杆，该实心球是否有可能砸到标杆，请说明理由． 【答案】（1）； （2）分 （3）能砸中，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查主要考查了二次函数的应用，解题的关键是由题意列出相应的函数解析式，并且可以求出相应的函数解析式，根据题目要求巧妙的利用函数解析式解答问题． （1）根据题意设函数解析式为顶点式，求出函数解析式； （2）将代入第一问求得的函数解析式，求出的值，然后与表格中的数据对照即可求得小明的得分； （3）将代入第一问求得的函数解析式，求出相应的值，然后与1.2比较大小，即可解答本题． 【小问1详解】 解：设函数解析式为 ∵在此抛物线上， ∴， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：将代入， 解得， ∵掷出的距离为正值， ∴小明掷出的距离是米，得分是分， 即小明在实心球训练中得分是分； 【小问3详解】 解：有可能砸中标杆，理由如下： 将代入， 可得， ∵ ∴能砸中标杆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期中教学质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程方程的根为（ ） A. B. C. D. 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为3，，则点和的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不确定 5. 已知二次函数图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A. B. C. D. 7. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 方程有相等两个实数根，则__________． 13. 如图，是直径，是的弦，连接．若，则________． 14. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___． 15. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于________． 16. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第__________步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 18. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称的； （2）请画出绕C点顺时针旋转的； （3）可以通过旋转得到，写出旋转中心坐标______． 19. 已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． （1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标； （2）求该二次函数在范围内的最大值与最小值； （3）请直接写出不等式的解集． 20. 已知是直径，是的切线，是切点，与交于点，为上的一点，连接． （1）若，连，求的度数； （2）若为的中点，求证：直线是的切线． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 22. 某校九年级数学学习小组在探究学习的过程中，用两块完全相同的且含角（）的直角三角板与按图①所示的方式放置．现将绕直角顶点按逆时针方向旋转，如图②，与交于点，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）当旋转角时，四边形是什么样的特殊四边形？说明理由． 23. 小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点的坐标为，球在最高点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）已知某市男子实心球的得分标准如表： 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远（米） 8.5 8.3 8 7.7 7.3 6.9 6.5 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8 4.4 4.0 3.5 3.0 假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分； （3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有插有一根高1.2米的标杆，该实心球是否有可能砸到标杆，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$