精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

内江六中2024—2025学年（上）高27届半期考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：卢亚俊 做题人：叶智慧 审题人：王锋 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中为偶函数的是 （ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列说法错误的是（ ） A. 已知函数，则 B. 与是同一函数 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域为 6. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且， B. 已知正数、满足，则的最小值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，，，则的最小值是8 10. 设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（ ） A. 在上的最大值为2 B. 在上的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 函数的值域为 C. 当时，函数的值域为 D. 若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______. 13. 已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_________. 14. 若定义在上的函数满足：对任意的，，都有：，当，时，还满足：，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知定义在上的函数满足：对任意，都有，且当时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 18. 安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数 （1）判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2024—2025学年（上）高27届半期考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：卢亚俊 做题人：叶智慧 审题人：王锋 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，，则. 故选：A. 2. 下列函数中为偶函数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 3. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察四个选项函数图像的差别，发现在定义域上取值不同，故利用特殊值点的函数值来确定函数大致图像. 【详解】定义域为： ， ， 故选：D 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式确定的范围，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由得． 若，则成立，故“”是“”的必要条件； 若，则不一定成立，故“”不是“”的充分条件． 故选：B． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 已知函数，则 B. 与是同一函数 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】利用配凑法变形，再赋值计算判断A；利用相同函数的定义判断B；利用抽象函数的定义域求解判断C；求出值域判断D. 【详解】对于A，，令，而方程有实数解，所以，A正确； 对于B，函数的定义域相同，对应法则相同，它们是同一函数，B正确； 对于C，在函数中，，则，于是在函数中，， 解得，所以函数的定义域是，C错误； 对于D，函数中，，解得或， 的取值集合是，因此函数的值域为，D正确. 故选：C 6. 已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 7. 已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据题意，得到在区间上为增函数，且为偶函数，把不等式，转化为，得出，即可求解. 【详解】由题意，令函数， 因为若且，都有， 即，所以函数在区间上为单调递增函数， 又因为为上的奇函数，即， 所以，所以函数为上的偶函数， 又由，可得，则， 所以不等式，即为， 则满足，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对勾函数与二次函数的性质，可得两个函数分别在给定区间上的值域，由题意可得集合的包含关系，建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立； 由对勾函数可知当时，， 由函数，则其对称轴为直线， 所以函数在上单调递减，当时，， 由题意可得，可得，解得， 可得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且， B. 已知正数、满足，则的最小值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，，，则的最小值是8 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断B；由基本不等式取等号条件判断C；利用基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，，而，A错误； 对于B，正数满足，则，， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，函数，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不成立，C错误； 对于D，，由，得， 解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 10. 设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（ ） A. 在上的最大值为2 B. 在上的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分段函数，画图分析即可判断. 【详解】解：如下图实线是函数的图象，方程的根为，该函数的最大值为 所以可得函数的图象如图所示实线部分， 故当，有，或时， 由图可知在上有最大值2，且的取值范围为. 故选：AC. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 函数的值域为 C. 当时，函数的值域为 D. 若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用取整函数的定义即可判断；对于B，利用取整函数定义得到即即可得解； 对于C，由题意结合取整函数的定义得且，代入解析式即可求解； 对于D，依据已知条件的结构特征得到，再由得到，从而得解. 【详解】对于A，表示不超过的最大整数，若，， 因为是整数，则，矛盾，故A错误； 对于B，由取整函数定义可得，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，因为，所以且， 所以， 且，当且仅当时取等号， 所以当时，函数的值域为，故C正确； 对于D，若，使得，，，…，同时成立， 则，且，且，且，…，且， 因为，所以若，则不存在t满足和， 所以只有当时，存在满足题意. 所以满足题意的正整数的最大值是.故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：对于D选项，关键在于依据已知条件的结构特征，依次选定关于t取值的特殊的解的范围：，且，且，且，…，且，从而得到t的解是这些不等式的公共部分，再结合得到无解，从而得到而得解. 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程组即可得解. 【详解】依题意，，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 又， 所以，即， 两式相加得. 故答案为： 13. 已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，进而得的定义域与单调性，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题可设，因为函数过点， 所以，所以函数， 所以函数是定义在上的增函数， 所以若，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若定义在上的函数满足：对任意的，，都有：，当，时，还满足：，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法判断出数的奇偶性，再利用判断单调性，最后分类求解即可. 【详解】对任意的，都有， 令，得，解得， 令，得，解得， ，令，得， 因此函数为偶函数； 当时，，则， 因此函数在上单调递减，令，， 当时，在上单调递减， 又，即是偶函数， 不等式 因此，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解抽象的函数不等式，探讨函数的奇偶性和单调性是求解的关键. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式得到集合，再利用集合的交集求得，利用集合的补集求得再求并集得到； （2）由充分不必要条件可知，求得集合后建立不等式组，解出实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，，解得，即. 解得，即， ∴， 或，则或 【小问2详解】 由题意可知， ∵，∵， ∴， 由（1）知， ∴且等号不能同时取，解得. 16. 已知定义在上的函数满足：对任意，都有，且当时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数为奇函数. 证明：对任意，都有， 令，得，解得， ，令，则，即， 所以为奇函数. （2） 函数在上单调递增. 证明： ，则， 而当时，，于是， 则， 即，所以函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）令可求得的值，令，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立. （2）设，则，，作差，并判断出的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立. （3）由奇函数的性质变形不等式，再利用单调性脱去法则，分离参数转化成恒成立问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式， 由（1）知 ，由（2）知，， 因此对任意，不等式恒成立，即恒成立， 而当时，， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2） 【解析】 【分析】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【小问1详解】 ， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ，，， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【小问2详解】 不等式，即， ， 恒成立，， 问题转化为：存在，使得成立，， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 18. 安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】（1）； （2）千克，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）利用利润公式直接求解即可； （2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值． 【小问1详解】 根据题意知 ， 整理得； 【小问2详解】 当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数 （1）判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式 【答案】（1）是，； （2）设， 任取 则 则 则也是型函数. （3），或， 【解析】 【分析】（1）（2）根据定义型函数的定义求解； （3）先根据型函数的定义演绎推理求得K，再利用反证法和分类讨论求出函数的解析式. 【小问1详解】 假设是型函数， 则任取，都有恒成立 即 当时， 当时， 综上所述， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设且 则 由于 或 ①当时，假设存在且 若，则 若，则 均矛盾，故对任意，都有 此时，的解析式为 ②同理，当时，的解析式为 综上，的解析式为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $