指数与对数专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习4---指数与对数专项训练 一、单选题 1．设实数，，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，且，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．化简：＋等于（    ） A．2 B．2－2log23 C．－2 D．2log23－2 4．如果则等于（    ） A． B． C． D． 5．若＝＝＝1，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 6．设，使得成立，则实数的取值范围是(    ) A．(6，8) B．(3，4) C．(2，3) D．(1，2) 二、多选题 7．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．计算： . 10． . 11．= 12．设2a=5b=m，且=2，则m= ． 四、解答题 13．计算化简： (1) (2) (3)； (4)． (5)． (6)； (7)； (8)； 14．计算下列各式： (1)； (2) 15．如图所示，已知、、（其中）是指数函数图像上的三点． (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求关于的函数及其最大值. 16．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C D D AB ACD 1．C 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】解析：，∴． ，且， ∴．，∴， 故选：C． 2．B 【解析】利用基本不等式可求出的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值. 【详解】，，且，，， ，当且仅当时取等号. ，则的最小值是. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．B 【分析】根号内配凑完全平方，再开方化简，即可得出答案. 【详解】= ＝|－2|＝2－. ∴原式＝2－＋＝2－－＝2－2. 故选：B. 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.运算过程中，涉及到开平方的需注意加绝对值. 4．C 【分析】利用对数计算公式化简得到，代入计算得到答案. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查了对数的化简，意在考查学生的计算能力. 5．D 【分析】由求出的值，由求得的值，由＝1求得的值，从而可得答案． 【详解】由，可得 故 ， 由，可得，故， 由，可得，故 ， ． 故选D． 【点睛】本题主要考查对数的定义，对数的运算性质的应用，属于基础题． 6．D 【分析】化简不等式为，问题转化为当时﹒ 【详解】∵a＞1，∴,，由题意得，，使得成立， 即当时 ． 故选：D﹒ 7．AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 8．ACD 【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】正数x，y，z满足，设， 则，，． 对于A，，故A正确； 对于B，，，， ∵，∴， ∵，∴，∴，故B错误； 对于C，由（），两边平方，可得，故C正确； 对于D，由，可得（），故D正确． 故选：ACD 9．2 【分析】利用对数的运算法则直接运算即可. 【详解】原式 . 故答案为：2. 【点睛】本题考查对数的相关运算，构造是关键，属于基础题. 10． 【分析】利用对数式的运算性质计算即可． 【详解】原式， 故答案为：． 11． 【详解】分析：利用对数和指数幂运算性质计算即可. 详解： 即答案为-1. 点睛：本题考查对数运算和指数幂运算. 12． 【分析】根据指数与对数互换式，用m表示出a、b，代入表达式化简即可求得m． 【详解】因为2a=5b=m 则 利用换底公式可得 因为=2，即+=2 代入化简得 ，所以解得 【点睛】本题考查了对数与指数的互换，对数的运算及化简应用，属于中档题． 13．(1) (2)8 (3)0 (4)2 (5) (6) (7)0 (8)1 【分析】利用对数的运算性质和换底公式即可求得所给对数式的值. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 14．(1) (2) 【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可； （2）、利用对数的运算性质求解. 【详解】（1）. （2） 15．（1）48；（2） 【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）， ∴ 当时，；             (2)过作直线垂直于轴，分别过作垂直于直线，垂足分别为， 则 即关于的函数为：， 令，因为在上是增函数，∴ 再令，则在上是减函数，∴； 而在区间上是增函数， 所以，函数在区间上是减函数， 故当时，．               【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题. 16．(1) (2)为上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论； （2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论. 【详解】（1）∵为上的奇函数． ∴，∴，∴ 检验：此时为奇函数，满足条件； （2）为上的增函数， 证明：，且， ， ∵，∴，∴， ∴，即，∴为上的增函数． （3）∵，∴， ∵在上的奇函数，∴， ∵为上的增函数，∴， ∵对恒成立，∴， ∵在上单调递增，∴， ，使不等式成立，∴， ∵在上单增，在上单减， ∴，∴，∴， 另解：，使不等式成立， ∴， ∵，∴在上单减，在上单增 ∴ ∴即  ∴对恒成立 ∴， ∵在上单增，∴， ∴，∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$