不等式专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习3---不等式专项训练 一、单选题 1．若，，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 2．若，是方程的两相异实根，则（    ） A．，且 B． C．且 D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知不等式对任意恒成立，其中a，b是整数，则的取值的集合为（   ） A． B． C． D． 5．设，均为负数，且，那么有（    ）. A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 6．已知，，是三个不全相等的实数且满足则的值是（    ） A．1 B． C．3 D．6 二、多选题 7．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．一元二次不等式，对一切实数恒成立的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 10．已知，，则的取值范围是 11．设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 12．若函数的值域为，则的最小值为 ． 四、解答题 13．试比较与的大小. 14． 若命题：，是真命题，求实数的取值范围． 15．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 16．已知函数. (1)若，试求函数的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围； (3)存在，使方程成立，试求x的取值范围. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D A D C ACD ABD 1．D 【分析】通过举例的方法判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A.取，则，故错误； 对于B.取，则，故错误； 对于C.取，则，故错误； 对于D.由不等式的性质“在不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变”可知D正确， 故选：D. 2．D 【解析】由题意可得，求出或，再利用韦达定理即可求解. 【详解】，是方程的两相异实根， ， 解得或， ，， . 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程有两个不相等的实根的条件以及一元二次方程根与系数的关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3．D 【分析】取特殊值可判断ABC不正确，由不等式性质可知D正确. 【详解】若，则不正确，故A错误； 若，则，故B不正确； 若，则，，故C不正确； 若，则，由不等式性质知成立，故D正确. 故选：D 4．A 【分析】对分类讨论，设，画出图象，数形结合思考即可； 【详解】当时，因为，所以， 由一次函数图象可得对任意时不成立； 当时，设， 画出大致图象可得 ，又a，b是整数， 所以或， 所以的取值的集合为， 故选：A. 5．D 【分析】设，，由题意结合均值不等式可得ab的取值范围，然后结合函数的图像即可确定的性质与最值. 【详解】设，，则，.由得. 由函数的图像得，当时，在处取得最小值， ，当且仅当时取等号成立. 综上可得，有最小值. 故选D. 【点睛】本题主要考查对勾函数的应用，基本不等式求最值的方法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C 【分析】先判断，，均不为，再结合代数变形可得，故可求的值. 【详解】若，则，进而， 与，，是三个不全相等的实数矛盾，所以，，均不为． 题中三式相加，可得． 又， 从而． 又， 于是， 故，而， 从而． 故选：C 7．ACD 【分析】利用不等式的性质、做差法比较大小可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以 ，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确；     对于D，因为，， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．ABD 【分析】根据一元二次不等式对一切实数恒成立得到，然后判断充分条件即可. 【详解】若一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解得， 设，一元二次不等式对一切实数恒成立的充分条件构成集合，则，所以ABD正确，C错. 故选：ABD. 9． 【分析】结合一元二次不等式的性质计算即可得. 【详解】由题意可得，解得． 故答案为：. 10． 【分析】由不等式的性质求解即可 【详解】，， ， 即的取值范围是 故答案为： 11． 【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 12．3 【分析】根据函数的值域为得到所以，代入到利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由题意得，得 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3. 13． 【分析】利用作差法可得到大小关系. 【详解】恒成立，. 14． 【分析】利用二次函数恒成立条件即可求得的取值范围. 【详解】∵不等式， ∴不等式等价为恒成立， 若时，不等式等价为，不满足条件， 若，要使不等式恒成立， 则， 即， ∴， 解得， 即实数的取值范围为. 15．(1) (2)AD=120cm，， 【分析】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可. （2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时和的值. 【详解】（1）根据题意，矩形海报纸面积为， 所以， 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以四个宣传栏的总面积， 其中所以. 即. （2）由（1）知， 则 ，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 即,时， 可使用宣传栏总面积最大为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式求得的最小值. （2）由构造函数，结合二次函数的性质列不等式组，由此求得的取值范围. （3）由由分离常数，根据的范围列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，（当且仅当时取“=”）.∴. （2）由题意知：对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 令，则，解得：，∴a的取值范围为. （3）由可得：，即，∵，∴，解得：，即x的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$