北京市海淀区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是(    ) A. 1 B. C. 2 D. 4 2.下列图中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，是四边形ABCD的外角，若，，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是的交点． A. 三条角平分线 B. 三条中线 C. 三条高的交点 D. 三条垂直平分线 6.如图，AD是的中线，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且，连接BF，CE，则下列说法错误的是(    ) A. ≌ B. 和周长相等 C. D. 和面积相等 7.已知，，则的值为(    ) A. 9 B. 39 C. 12 D. 108 8.如图，在中，，将沿直线l折叠，使点C落在点D的位置，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，P为内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是______. 12.已知是完全平方式，则常数k等于______. 13.若点与点关于y轴对称，则______；______. 14.若与的乘积中不含一次项，则m的值为______. 15.如图，中，AD为的角平分线，作BD垂直AD于D，的面积为8，则的面积为______. 16.如图，已知三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且，，若，则的度数为______. 三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 计算： ； 18.本小题5分 已知，求代数式的值. 19.本小题6分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点即三角形的顶点都在格点上 在图中作出关于直线l对称的；要求A与，B与，C与相对应 若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有______个； 求的面积. 在直线l上找到一点Q，使的值最小. 20.本小题5分 如图，在中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，，，求和的度数. 21.本小题5分 如图，在中，，D为BC边上一点，过D作，分别与AB，AC相交于点E和点 求证：； 若，求证： 22.本小题7分 填空：____________； 若，则______； 若求的值. 23.本小题6分 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形. 观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 利用中的等式解决下列问题. ①已知，，求ab的值； ②已知，求的值. 24.本小题6分 如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点，交AD于点 判断和的大小关系，并说明理由； 连结PD，若PD平分，，求的度数. 25.本小题7分 在中，AO、BO分别平分、 如图1，若，则______； 如图2，连结OC，求证：OC平分； 如图3，若，，，求OB的长. 26.本小题5分 【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、E三点在一条直线上，，，则BE的长度为______. 【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． 【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，，，面积为，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园的面积为______ 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：设三角形第三边的长为x，则： ，即， 只有选项D符合题意． 故选： 先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可． 本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2.【答案】C  【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选： 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 3.【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解答】 解：A、原式，错误； B、原式，错误； C、原式，正确； D、原式，错误． 故选： 4.【答案】C  【解析】解：由题意知，，， ， 故选： 根据，，，计算求解即可． 本题考查了邻补角，四边形内角和．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：探照灯的位置到这三条公路的距离都相等， 探照灯位置是三条角平分线的交点． 故选： 根据角平分线的性质进行判断． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质． 6.【答案】B  【解析】解：是的中线， ， 又，， ≌，故A不符合题意． ， ，故C不符合题意； ，， 和周长不相等，和面积相等，故B符合题意，D不符合题意， 故选： 本题先证明≌可判断A，由全等三角形的性质可得，可判断C，由AD为三角形的中线可判断B，D，从而可得答案． 本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 7.【答案】C  【解析】解：，， 故选： 先将变形为，然后将，代入求解即可． 本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键在于先将变形为，然后将，代入求解． 8.【答案】D  【解析】解：由题意得： ， ，， ， 故选： 由轴对称的性质得出，再由，，即可得到，从而求出答案． 本题主要三角形外角的性质及轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：， ， 、N分别在PA、PC的中垂线上， ，， ，， ， ， 故选： 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，坐标是 ， 经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同， 经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为 故选： 由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，且经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，进而可得答案． 本题考查坐标与图形变化-对称、规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11.【答案】三角形具有稳定性  【解析】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性解答．本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 12.【答案】64  【解析】【分析】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值． 【解答】 解：因为是完全平方式， 所以 故答案为 13.【答案】；3  【解析】解：点与点关于y轴对称， ，， 故答案为：， 直接利用关于y轴对称点的性质，进而得出答案． 此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：由题意得： ， 式子不含一次项， ， 解得： 故答案为： 根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求m的值． 本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是明确不含一次项即一次项的系数为 15.【答案】16  【解析】解：如图所示，延长BD交AC于E， 为的角平分线，， ，， 又， ≌， ， ，， ， ， 即， 故答案为： 如图所示，延长BD交AC于E，利用ASA证明≌，得到，进而推出，，即可得到答案． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图所示： 、BO、CO是三个内角的平分线， ，，， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 又， ， 故答案为 由角平分线的定义得，，，边角边证明≌，根据其性质求得；再根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求得的度数为 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质． 17.【答案】解： ；   【解析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； 先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】解：原式， ， 原式  【解析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可． 此题主要考查了整式的混合运算，掌握多项式乘以多项式、多项式乘以单项式的运算法则是解题关键． 19.【答案】4  【解析】解：如图，即为所求； 由图可知，，，，满足到点A，B的距离相等， 网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4； ； 如图，点Q即为所求． 根据轴对称的性质作图即可； 利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； 根据割补法即可求得三角形的面积； 连接，交直线l于点Q，连接BQ，此时的值最小． 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 20.【答案】解：是高， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ，   【解析】由高线可得，由三角形的内角和可求得，，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为 21.【答案】证明：，，， ； ， ， 在与中， ， ≌，   【解析】根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； 根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 22.【答案】2 2 23  【解析】解：，， ， 故答案为：2，2； ， ， ， 故答案为：23； ， ， ， ， 根据完全平方公式计算即可； 根据中结论计算，得到答案； 根据等式的性质得到，计算即可． 本题考查的是分式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 23.【答案】解：由题意得：阴影部分的面积， 即； ①由可得：， ，， ，解得：； ②设，， ， ， ，   【解析】利用面积法进行计算，即可解答； ①利用的结论可得：，然后进行计算即可解答； ②设，，则，，然后利用的结论进行计算即可解答． 本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方式，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24.【答案】解：， 理由：长方形纸片ABCD沿AP折叠， ， 四边形ABCD是长方形， ， ， ； 平分， ， ， ， ， ， ，   【解析】利用折叠的性质可得，然后利用长方形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； 先利用角平分线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平角定义可得，从而可得，即可解答． 本题考查了翻折变换折叠问题，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 25.【答案】  【解析】解：， ， 、BO分别平分、， ，， ， ， 故答案为：； 证明：如图2，过O作于E，于F，于G， 、BO分别平分、， ，， ， 平分； 解：在AC上截取，连接OM， 平分， ， ， ≌， ，， 平分，OC平分， ，， ， ， ， ， ， 根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形 的内角和定理得到； 如图2，过O作于E，于F，于G，根据角平分线的性质和角平分线的定义即可得到结论； 解：在AC上截取，连接OM，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形 的判定和性质即可得到结论． 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 26.【答案】  【解析】解：， ， 在和中， ， ≌， ，， ； 故答案为：； 如图，过D作交BC延长线于E， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； 如图，过A作于E，过B作交DC延长线于F， 面积为，且CD的长为6km， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 河流另一边森林公园的面积为 故答案为： 证明≌，得，，进而可以解决问题； 过D作交BC延长线于E，证明≌，得，进而可以求的面积； 过A作于E，过B作交DC延长线于F，根据面积为，且CD的长为6km，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明≌，可得，进而可以解决问题． 本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到≌ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$