北京市第十五中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中错误的是(    ) A. 等弧所对的弦相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 同弧或等弧所对的圆周角相等 D. 的圆周角所对的弦是直径 4.下列关于函数的结论中，正确的是(    ) A. y随x的增大而减小 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而减小 5.小敏注意到中国文化遗产标志如图内的图案源自商周太阳神鸟金饰，图案分内外两层，内层等距分布着十二条弧形齿状芒饰，外层图案由四只等距分布作引颈飞翔状的鸟构成，整个图案仿佛四只神鸟裹着一只大火球顺时针滚转，暗示着太阳东升西落.如图2，内层每条弧形齿状芒饰可以绕圆心O旋转得到，则图中角的度数为(    ) A. B. C. D. 6.电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约亿元，第三周累计票房约亿元.若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，AB是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下面四个结论：①；②；③；④为实数上述结论中，所有正确结论的个数是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是______. 10.一元二次方程的根是______. 11.已知的半径为4，若点P在内，则OP ______填“>”“=”或“<” 12.写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______. 13.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______. 14.如图，PA，PB是的两条切线，切点为A，B，若，，则的半径为______. 15.已知点P到上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则的半径为______ 16.已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如表： x … 1 2 3 4 5 … … 0 1 2 3 4 … … 0 0 3 8 … 二次函数的表达式为______； 关于x的不等式的解集是______. 三、计算题：本大题共1小题，共5分。 17.解方程： 四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题5分 已知二次函数 将化成的形式； 抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式. 19.本小题5分 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程. 已知：直线l及直线l外一点 求作：直线PQ，使 作法：如图， ①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点； ②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； ③作直线 所以直线PQ就是所求作的直线. 根据小明设计的尺规作图过程， 使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹 完成下面的证明. 证明：连接PB， ， ______. ______填推理的依据 ______填推理的依据 20.本小题5分 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的一个交点为 ______； 画出函数的图象； 当时，结合函数图象直接写出y的取值范围. 21.本小题5分 已知关于x的一元二次方程， 求证：此方程总有两个实数根； 若此方程的一根是另一根的2倍，求m的值. 22.本小题5分 如图，AB是的弦，半径于点若，求的半径的长. 23.本小题6分 已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，， 根据点和的位置确定旋转中心是点______. 请在图中画出； 请具体描述一下这个旋转：______. 24.本小题6分 如图，AC与相切于点C，AB经过上的点D，BC交于点E，，CE是的直径. 求证：AB是的切线； 若，，求AC的长. 25.本小题6分 阅读理解： 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： 自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表： x … 0 1 2 3 … y … m 2 1 2 1 … 其中______； 如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； 根据函数图象，回答下列问题： ①当时，则y的取值范围为______； ②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______. 26.本小题6分 在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线 求t的值； 已知，是该抛物线上的任意两点，对于，，都有，求m的取值范围. 27.本小题7分 如图1，在中，，，点D，E分别在边AB、AC上，，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点. 观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______； 探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断的形状，并说明理由； 拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值. 28.本小题7分 在平面直角坐标系xOy中，给定，若将线段AB绕原点O逆时针旋转，使得旋转后对应的线段所在直线与相切，并且切点P在线段上，则称线段AB是的旋转切线段，其中满足题意的最小的称为关于和线段AB的最小旋转角. 已知，的半径为 如图1，，线段OA是的旋转切线段，写出关于和线段OA的最小旋转角为______； 如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数.在线段，，中，的旋转切线段是______； 已知，，若线段BD是的旋转切线段，求t的取值范围； 已知点M的横坐标为m，存在以M为端点，长度为的线段是的旋转切线段，直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：抛物线的顶点坐标是 故选： 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 本题考查二次函数的性质，记住顶点式，顶点坐标是，对称轴是 2.【答案】B  【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、既不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： 根据中心对称图形的概念求解即可． 本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3.【答案】B  【解析】解：A、等弧所对的弦相等，说法正确，故选项不符合题意； B、平分弦弦不是直径的直径垂直于弦，原说法错误，故选项符合题意； C、同弧或等弧所对的圆周角相等，说法正确，故选项不符合题意； D、的圆周角所对的弦是直径，说法正确，故选项不符合题意． 故选： 根据垂径定理以及圆周角定理逐一分析判断即可． 本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 4.【答案】B  【解析】解：由题知， 函数的图象开口向上，以y轴为对称轴， 所以当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； 当时，函数有最小值 故选： 根据二次函数的图象和性质即可解决问题． 本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：内层每条弧形齿状芒饰可以绕圆心O旋转得到，则图中角的度数为 故选： 用除以12即可得出答案． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 6.【答案】C  【解析】解：根据题意得： 故选： 利用第三周的票房=第一周的票房每周票房的增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：如图，连接BC， 为的直径， ， ， ， 故选： 连接BC，如图，利用圆周角定理得到，则，然后利用圆的内接四边形的性质求的度数． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 8.【答案】C  【解析】解：①由图可知，抛物线开口向上，所以， 抛物线与y轴交于负半轴，所以， 又因为抛物线的对称轴是直线，即，所以， ，故①错误； ②由图可知，当时，， 即， ， ，故②正确； ③时，，即；时，，即， ， ，所以③正确； ④时，y有最小值， ， 即，所以④正确． 综上，正确的有②③④共3个， 故选： 利用抛物线开口向上，可得，抛物线与y轴交于负半轴，可得，又因为抛物线的对称轴是直线，即，所以，即可判定①；由图可知，当时，，即，把代入即可判定②；利用时，；时，得到，则判定③；利用时，y有最小值得到可对判定④． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于；抛物线对称轴为直线，抛物线的最值，当时，当，y有最小值，当时，y有最大值． 9.【答案】  【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，据此求解即可． 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握对应点横纵坐标的关系是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：移项得，，开方得， 这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求49的平方根． 解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数． 11.【答案】<  【解析】解：的半径为4，点P在内， 故答案为： 根据点与圆的三种关系即可判断得到答案． 本题考查点与圆的关系，解题关键是熟知点与圆的三种关系． 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：抛物线解析式为答案不唯一 故答案为：答案不唯一 根据二次函数的性质，抛物线开口向下，然后写出即可． 本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系． 13.【答案】4  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 故答案为： 根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根得，进行计算即可得． 本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系． 14.【答案】3  【解析】解：，PB是的两条切线，切点为A，B， ， ， ， 四边形AOBP是矩形， ， 的半径为3， 故答案为： 根据切线的性质和正方形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理． 15.【答案】1或4  【解析】解：①点P在圆内；如图， ，， ， ； ②点P在圆外；如图， ，， ， 故答案为：1或 分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可． 本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键． 16.【答案】    【解析】解：把，，代入得： ， 解得：， ； 故答案为：； 当时，；当时，， 直线与抛物线的交点为和， 而时，， 不等式的解集是 故答案为： 把，，代入，求出a、b、c的值，即可得出的表达式； 利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，时，，从而得出不等式的解集． 本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求二次函数；解题关键在于掌握对于二次函数、b、c是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 17.【答案】  ， 解：， ， ， ， ，  【解析】本题主要考查解一元二次方程的知识，解答本题的关键是知道运用配方法解一元二次方程的方法，先把配方成，然后再求出方程的解. 18.【答案】解： ； 抛物线的顶点为，抛物线的顶点， 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到  【解析】直接利用配方法写成顶点式； 找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与几何变换，解答时能够正确配方，以及抓住点的平移规律和求出关键点的坐标是解题的关键． 19.【答案】  等弧所对的圆周角相等  内错角相等两直线平行  【解析】解：图形如图所示： 理由：连接PB， ， 等弧所对的圆周角相等 内错角相等两直线平行 故答案为：，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行． 根据要求画出图形即可． 根据平行线的判定方法解决问题即可． 本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】  【解析】解：把代入得， 解得； 故答案为：； 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， ， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线与y轴的交点坐标为， 如图， 当时，， 当时，， 而当时，y有最小值， 当时，y的取值范围为 直接把A点坐标代入可得到c的值； 先求出抛物线与坐标轴的交点，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后描点即可； 先计算出自变量为和2对应的函数值，然后根据二次函数的性质求解． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．运用数形结合得思想是解决问题的关键． 21.【答案】证明： ， 此方程总有两个实数根； 解：方程的一根为t，则另一根为2t， 根据题意得，， ， 整理得， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，m的值为或  【解析】先计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； 方程的一根为t，则另一根为2t，利用根与系数的关系得到，，先消去m得到，解方程求出t，然后计算对应的m的值即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，分类讨论是解决问题的关键． 22.【答案】解：如图，连接OA， 的弦，半径， ， 设的半径为r，则， 在中，， 即， 解得 故的半径的长为  【解析】先根据垂径定理求出AC的长，设的半径为r，再连接OA，在中利用勾股定理求出r的值即可． 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 23.【答案】解：； 如图所示，即为所求， 将绕点顺时针旋转得到  【解析】解：如图，根据点和的位置确定旋转中心是点， 故答案为； 如图所示，即为所求; 是由绕点顺时针旋转得到； 故答案为将绕点顺时针旋转得到 分别作、的中垂线n、m，交点即为所求； 作出点C绕点顺时针旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得； 根据旋转的定义可得答案． 本题主要考查作图-旋转变换． 24.【答案】证明：连接 ， ， ， ，， 在和中， ， ≌， 与相切于点C， ， 又是的半径， 是的切线． 解：， 在中，，， ， ， 与AB和AC都相切， 在中，， 即：， 解得：  【解析】连接OD，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，进而证得≌，得到，即可证得结论； 根据勾股定理求得BO，得到，然后根据勾股定理列出关于AC的方程，解方程即可． 本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 25.【答案】  【解析】解：当时，， 故答案为：1； 利用平滑的曲线连接各点即可画出该函数的图象，如图， ①观察图象可知：当时，函数y的最大值为2，最小值为1， 的取值范围为，： 故答案为：； ②关于x的方程有4个互不相等的实数根， 直线与函数的图象有四个交点， 直线经过点， 直线与y轴的交点在和之间， 的取值范围是： 故答案为： 将代入解析式计算即可得出结论； 利用平滑的曲线连接各点即可得出函数的图象； ①观察图象中当时，函数的最大值与最小值即可得出结论； ②观察图象，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，此时直线与函数的图象有四个交点，可得直线与y轴的交点应在和之间，由此得到b的取值范围． 本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，函数图像点的坐标的特征，函数图像与坐标轴的交点，借助函数的图象利用数形结合的方法解答是解题的关键． 26.【答案】解：由题意，点在抛物线上， ，即 抛物线的对称轴是直线 故 如图，若点与点关于抛物线对称轴直线对称， 可得， 解得， 对于，，都有， 故m的取值范围是  【解析】利用抛物线的对称性即可求解． 求得点与点关于抛物线对称轴直线对称时的m的值，结合图象即可求解． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性，数形结合是解题的关键． 27.【答案】  【解析】解：点P，N是BC，CD的中点， ，， 点P，M是CD，DE的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 是等腰直角三角形．理由如下： 由旋转知，， ，， ≌， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同的方法得，， ， 同的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 方法1：如图2同的方法得，是等腰直角三角形， 最大时，的面积最大， 且DE在顶点A上面， 最大， 连接AM，AN， 在中，，， ， 在中，，， ， 方法2：由知，是等腰直角三角形，， 最大时，面积最大， 点D在BA的延长线上， ， ， 利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论； 先判断出≌，得出，同的方法得出，，即可得出，同的方法即可得出结论； 先判断出BD最大时，的面积最大，而BD最大是，再利用三角形的面积公式求解即可． 此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解的关键是判断出，，解的关键是判断出≌，解的关键是判断出MN最大时，的面积最大． 28.【答案】，  【解析】解：如图1， 作OD与相切于点D， ， ， ， ，， 关于和线段OA的最小旋转角为， 故答案是； 如图2， 连接，，，， ， 绕点O旋转无法与相切，所以不是旋转切线， ，， ， 是旋转切线， ， 是旋转切线， 故答案是，； 如图3， B点旋转路线是半径是1的，当OD与相切时如图所示， 由知，， 当时，线段BD是的旋转切线段； 如4，当m取最大值时， M点运动最小半径是O到过的直线l的距离是m， ，， ， ， 的最大值时4， 如图5，当m取最小时， 开始时存在ME与相切， ，， ， ， ， 综上所述： 作OD与相切于点D，可得，从而求得； 判断线段的两个端点到原点的距离在1和3之间即可； 以O为圆心，半径为1作圆，以O为端点作射线与相切，观察可得； 分为当m最大和最小时，作出图形，数形结合观察求解． 本题是新定义下的阅读理解，考查了与圆的位置关系，解直角三角形，图形的旋转等相关知识，解决问题的关键是数形结合，在观察下计算． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$