精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（日新班）

丰城九中2024-2025学年上学期高一日新期中考试 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦恩图可得图中阴影部分表示的集合为，进而结合补集和交集的定义求解即可. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 因为，， 所以或，又， 所以. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘方运算化简，根据共轭复数定义即得答案. 【详解】由，则. 故选：A 3. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积. 【详解】∵在轴上，在轴上， ∴在x轴上，在y轴上， ，，如图， ∴. 故选：B. 4. 在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案. 【详解】因为，所以， 即，由正弦定理角化边得， 即，故． 因为，所以是钝角，即是钝角三角形． 故选：C 5. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为. 故选：C. 6. 如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，利用平面上两点间的线段距离最短，通过解三角形求解即可． 【详解】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示： 则即为的周长的最小值，又因为， 所以，在中，，由勾股定理得： ． 故选：C． 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先由，，求出，然后利用诱导公式化简式子求值即可. 【详解】因为，， 所以， ， 故选：A 8. ．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出外接圆半径，根据直三棱柱求出球心到平面的距离为，由及球的体积公式求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以， 又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为， 所以该三棱柱外接球的半径为，体积为. 故选：B. 【点睛】思路点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据条件可得与可能有平行、相交或；对于B，根据条件结合线与线位置关系即可得解；对于C，由垂直于同一条直线的两个平面平行即可得解；对于D，先由和得，再由结合面面垂直判定定理即可得解. 【详解】对于A，若，，则可能或与相交或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，故B错误； 对于C，若，，即平面和垂直于同一条直线，则，故C正确； 对于D，若，，则，又， 则存在使得，所以， 所以由面面垂直判定定理得，故D正确. 故选：CD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据图象求得求解判断；对于B，由求解判断；利用三角函数的对称轴对C选项进行判断，利用三角函数的单调性对D选项进行判断. 【详解】对于A，因为，所以由图象知， ，所以，A选项正确； 由图象知，又因为， 所以即， 因为，所以，B错误； 对于C，当时，， 则不是的对称轴，故C错误； 对于D，的单调增区间满足：，， 即单调增区间为，， 当时，增区间为，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 11. 一块正方体形木料如图所示，其棱长为3，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ） A. B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台 C. 截面的面积为 D. 以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：通过证明平面得；对B：作出截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱；对C：求出矩形各边长得面积；对D：过作于点，球面与截面的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧，求其弧长即可. 【详解】对于A，如图，连接，由平面平面，得． 又平面平面， 所以平面． 又平面，所以，正确． 对于B，过点作直线平行于，分别交于两点，连接， 显然，所以四边形为过点及直线的正方体的截面， 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，错误． 对于C，由选项B，得，则， 因此截面矩形的面积，正确． 对于D，过作于点， 由平面平面，得． 又平面平面，所以平面， 所以点为以点为球心，长为半径的球面被平面所截小圆圆心， 球面与截面的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧， 显然，因此交线长为，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】由向量线性运算及垂直的坐标表示求参数值即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，得． 故答案为： 13. 如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 14. 如图为一个圆锥形的金属配件，重90克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量为__________克. 【答案】40 【解析】 【分析】根据圆锥和球的体积公式，结合体积比求解即可得出结果. 【详解】由于该圆锥的轴截面为等边三角形，如图所示： 设内切球的半径为r，， 所以， 所以， 则：，解得. 故答案为：40. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，且，求的值； （2）设函数，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标关系可得的值，再由可得和的值，从而得到结果； （2）利用数量积的坐标运算公式，化简得到，结合，利用三角函数的图象性质可分析得到值域. 【小问1详解】 ，，又， ，. 【小问2详解】 由题意：， ， ，， ，的值域是. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证； （2）根据面面垂直的性质可得为平面与面所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点的中点，连接， 因为是正三角形，所以 又因为平面平面，且平面平面 ，平面， 所以平面 ，平面，故， 由题意可知平面，故平面 平面故， 故为平面与面所成二面角的平面角， 设 ， 则， ， 所以 . 综上所述：侧面与底面所成二面角的正弦值为. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． 【小问2详解】 ,，． ，,． ． . 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） 证明：选择条件①， 由平面，且平面， 知，， ，，平面， 平面， 平面，， 过点作于，，则四边形是正方形，， 又，， ，即， ， 又，平面， 平面. 选择条件②：， 过点作，交于点， ，四边形为平行四边形， ， ， ， ，即， ，， 又，，即， 由平面，且平面， 知，又，， 又，平面， 平面. （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）选择条件①：先证，过点作于，再证，结合，可得平面；选择条件②：过点作，交于点，先证，再证，结合，可得平面； （2）先证平面，可得平面平面，从而将问题转化为求的底边上的高，再结合勾股定理，余弦定理，求解即可； （3）过点作于点，先证平面平面，可得直线与平面所成角为，再利用，根据锐角三角函数求出的长，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，且平面，知， ，， 由（1）知， 平面，平面， 平面，平面平面， 点到平面的距离等价于的底边上的高， 由勾股定理知， 在中，由余弦定理知， ， ， ， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作于点，则， 由（2）知平面， 平面， 平面平面， 在平面上的投影落在上， 直线与平面所成角为， 则，， 在中，， ， 或， 故线段的长为或. 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 【小问3详解】 当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年上学期高一日新期中考试 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 5. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 8. ．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 11. 一块正方体形木料如图所示，其棱长为3，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ） A. B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台 C. 截面的面积为 D. 以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，则__________． 13. 如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为_______． 14. 如图为一个圆锥形的金属配件，重90克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量为__________克. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，且，求的值； （2）设函数，求函数的值域. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正弦值. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）求的取值范围． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $